专题提升课一　关于平行与垂直的探索性问题

8专题提升课一关于平行与垂直的探索性问题立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中的热点题型.空间向量作为一种工具,在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性,运用空间向量法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思路直观明了.一、平行关系中的探索性问题【典例1】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE.若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.【解析】如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),D1(0,1,1),Ea2,1,0,B1(a,0,1),所以=(0,1,1),=-a2,1,-1,=(a,0,1),=a2,1,0.(1)因为·=-a2×0+1×1+(-1)×1=0,所以⊥,即B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t)(0≤t≤1),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,t).设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z).由得ax+z取x=1,可得平面B1AE的一个法向量为n=1,-a2,-a.要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,即n·=0,即a2-at=0,解得t=12又DP⊄平面B1AE,所以存在点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP=12平行关系中的探索性问题的解题步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)假设存在这样的点,设出该点的坐标,将直线与平面的平行关系转化为直线的方向向量与平面法向量的关系;(3)利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程,若方程有解,则点存在;否则,点不存在.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面PCG.若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在,请说明理由.【解析】由题意知PA⊥平面ABCD,又因为底面ABCD是菱形,所以AB=BC,且∠ABC=60°,所以△ABC是正三角形,连接AE,又E是BC的中点,所以BC⊥AE,故AE,AD,AP两两垂直,以AE,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图),因为PA=AB=2,故A(0,0,0),B(3,-1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),C(3,1,0),所以=(0,0,-2),=(3,1,-2),=(0,1,1).假设在线段AB上存在点G,使得AF∥平面PCG,则=λ(0≤λ≤1).因为=(3,-1,0),所以=λ=(3λ,-λ,0).所以=+=(3λ,-λ,-2).设平面PCG的法向量为n=(x,y,z),由即3令y=1,得n=λ+13(λ-因为AF∥平面PCG,所以·n=0,解得λ=12,故当G是线段AB的中点时,AF∥平面PCG.二、垂直关系中的探索性问题【典例2】如图1,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,AB=2.D,M分别是AC,BD的中点.现将三角形ABD沿BD边折起,记折起后的点A位于点P的位置,且平面PBD⊥平面DBC(如图2所示),点N为BC边上的一点,且|BN||BC(1)若DB⊥平面PMN,求λ的值;(2)是否存在λ,使平面PDN⊥平面PMN.若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.【解析】(1)折叠前,在直角三角形ABC中,AB⊥BC,∠BAC=60°,D是AC中点,所以AD=AB=DB=2,∠DBC=30°,BC=23.折叠后,因为DB⊥平面PMN,所以DB⊥MN,△PDB为等边三角形,PD=PB=DB=2,又因为点M为BD的中点,所以DM=BM=1.在直角三角形BMN中,∠DBC=30°,所以BN=BMcos30°=233,所以λ=(2)由平面PBD⊥平面DBC,PM⊥DB,得PM⊥平面DBC.由(1)知,当BN=BC3=233时,DB⊥MN,记此时点N的位置为以MN0所在直线为x轴,MB所在直线为y轴,PM所在直线为z轴,M为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,则M0,0,0,P0D0,-1,0故=0,0,-3,==3λ,设平面PDN的一个法向量n1=x1则,所以-y令z1=1,则n1=2-设平面PMN的一个法向量n2=x2则,所以-3令y2=3,则n2=3λ-1λ,3,0.要使平面PDN⊥平面即2-3λ12λ2-9λ+2=0,由于Δ=-15<0,该一元二次方程无实数解,所以不存在λ,使平面PDN⊥平面PMN.垂直关系中的探索性问题的解题步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)假设存在这样的点,设出该点的坐标,将直线与平面的垂直关系转化为直线的方向向量与平面法向量的关系;(3)利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程,若方程有解,则点存在;否则,点不存在.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上(不含端点).(1)是否存在点E,使PC⊥平面BDE.(2)是否存在点E,使平面PCD⊥平面AED.【解析】因为底面ABCD为正方形,所以AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,所以以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=a,AP=c,a>0,c>0,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,c).(1)设=λ,0<λ<1,=(-a,a,0),=(a,a,-c),=(a,0,-c),=-=λ-=λ(a,a,-c)-(a,0,-c)=(λa-a,λa,c-λc),设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量,得令x=1,则y=1,z=a-所以n=1,1,a-2aλc-λc是平面BDE得a1=-ca-2即存在点E满足PE=c2+使得PC⊥平面BDE.(2)=(a,a,-c),=(a,0,0),=(0,0,-c),设n1=(x1,y1,z1)是平面PCD的法向量,则令y1=c,则x1=0,z1=a,所以n1=(0,c,a)是平面PCD的一个法向量,设=μ,0<μ<1,则=-=μ-=(μa,μa