行列式计算的技巧性分析

行列式计算的技巧性分析

列是重要的数学工具和概念之一，来自解线性方程组。时至今日行列式理论的应用却远不止于此,它在消元法、矩阵论、坐标变换、多重积分中的变量替换、解行星运动的微分方程组、将二次型及二次型束化简为标准型、运筹学中线性规划和图与网络理论等诸多的问题中都有广泛的应用,然而这些应用最终离不开行列式的计算,它是行列式理论中的一个重要问题[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]。行列式是大学数学中重要的计算工具之一,而高阶行列式的计算,其基本方法和技巧是“化零”和“降阶”,即先利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后套用特殊的行列式的值来计算(如上(下)三角行列式)或利用按行(列)展开定理降低行列式的阶数。因此特将行列式的计算方法归纳总结,并通过对一些大专院校历年典型研究生入学考试试题的特征进行分析,说明其求解方法与技巧。1角形行列式根据行列式定义可知,如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个),可以直接利用行列式的定义求解,或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶)。如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律,如上(下)三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解。例1(a1-c1)|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|=|a1b1a2b2||a1c1a3c3|-|a1b1a3b3||a1c1a2c2|(中山大学)证明右端=|a1b1a2b2|(a1c3-a3c1)-|a1b1a3b3|(a1c2-a2c1)=a1[|a1b1a2b2|c3-|a1b1a3b3|c2+|a2b2a3b3|c1]-c1[|a1b1a2b2|a3-|a1b1a3b3|a2+|a2b2a3b3|a1]=a1|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|-c1|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|=左端2化到主线索的情形此法是把行列式变换为如下形式:使位于对角线一侧的所有元素全部等于零,次对角线的情形,可以用改变行(或列)的次序成相反次序的方法,化到主对角线的情形,所得的行列式等于主对角线元素的乘积。3线性行列式若已知某个行列式的值,来求另一个行列式,可利用行列式的定义以及性质找出这两个行列式之间的关系,从而求出未知的行列式。例2设A为3×3矩阵,|A|=-2,把矩阵A按列分块为(A1,A2,A3),其中Aj(j=1,2,3)是矩阵A的第j列,则|A3-2A1,3A2,A1|=______。(湖南大学,2001)解因为|A3-2A1,3A2,A1|=|A3,3A2,A1|=-3|A1,A2,A3|=6。4行列式d:生成“方式”d当行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,这种方法叫作滚动消去法。一般利用此方法后,最好在化简后行列式的第一行或者列能产生较多的零,以便利用降级法来做。例3计算行列式D=|123⋯n-1n212⋯n-2n-1321⋯n-3n-2⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn-1n-2⋯21|(n≥2)(北京师范大学,2001)解从第二行开始每行减去上一行,有D=|123⋯n-1n212⋯n-2n-1321⋯n-3n-2⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn-1n-2⋯21|=|123⋯n-1n1-1-1⋯-1-111-1⋯-1-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯111⋯1-1|=|123⋯n-1n200⋯0-2220⋯0-2⋯⋯⋯⋯⋯⋯111⋯1-1|=2n-2|123⋯n-1n+1100⋯00010⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯10|=(-1)n+1(n+1)2n-25dnx-ydn-1+c把行列式的某行或者列的各元素均写成量数和,再利用行列式的性质写成两个行列式的和,使问题简化以便计算。例4计算n级行列式Dn=|xyy⋯yzxy⋯yzzx⋯y⋯⋯⋯⋯⋯zzz⋯x|(安徽大学)解1)当y=z时,容易计算得Dn=(x-y)n-1[x+(n-1)y]。2)当y≠z时,将n列写成两项和y=y+0;x=y+(x-y)。那么Dn可以拆成两个行列式之和,即Dn=(x-y)Dn-1+C,其中C=|xy⋯yyzx⋯yy⋯⋯⋯⋯⋯zz⋯xyzz⋯zy|=|xy⋯yyz-xx-y⋯00⋯⋯⋯⋯⋯z-xz-y⋯x-y0z-xz-y⋯z-y0|=(-1)n+1y|z-xx-y⋯00z-xz-y⋯00⋯⋯⋯⋯⋯z-xz-y⋯z-yx-yz-xz-y⋯z-yz-y|=(-1)n+1y|z-xx-y⋯000z-x⋯00⋯⋯⋯⋯⋯00⋯z-x000⋯0z-x|=y(x-z)n-1因此有Dn=(x-y)Dn-1+y(x-z)n-1。根据y,z的对称性,类似可得:Dn=(x-z)Dn-1+z(x-y)n-1。作差可得(y-z)Dz=y(x-z)n-1-z(x-y)n-1,即Dn=y(x-z)n-1-z(x-y)n-1y-z。6u2004+1x0.0.建议加边法我国理解将n级行列式增加一行一列变为n+1级行列式,再利用行列式的有关性质简化出结果。例5计算n级行列式Dn=|x+1xx⋯xxx+12x⋯x⋯⋯⋯⋯⋯xxx⋯x+1n|(华中师范大学,2000)解利用加边法得Dn=|1xx⋯x0x+1x⋯x0xx+12⋯x⋯⋯⋯⋯⋯0xx⋯x+1n|=|1xx⋯x-110⋯0⋯⋯⋯⋯⋯-100⋯1n|=|1+∑k=1nkxxx⋯x010⋯0⋯⋯⋯⋯⋯000⋯1n|=(1+n(n+1)2x)1n!7cos10.2cos22cos22cos30.2cos301001010101010101010101010101010101010101010100.2cos31012cos310100.2cos210.2cos310100.2cos31012cos31012cos31012cos31012cos31012cos211012cos211012cos3解先通过计算一些初始行列式D1,D2,D3等,找出它们的结果与级数之间的关系,用不完全归纳法对Dn的结果提出猜想,然后用数学归纳法证明其猜想成立。例6计算n级行列式Dn=|cosθ10⋯0012cosθ1⋯00002cosθ⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯2cosθ1000⋯12cosθ|(广西大学,兰州大学)解由于D1=cosθ,D2=2cos2θ-1=cos2θ,因而猜想Dn=cosnθ。现在用第二数学归纳法来证明。当n=1时结论成立。归纳假设结论对≤n-1都成立,再证明n时,对于Dn按照最后一行展开得Dn=2Dn-1cosθ-Dn-2=2cosθcos(n-1)θ-cos(n-2)θ=cos[θ+(n-1)θ]+cos[(n-1)θ-θ]-cos(n-2)θ=cosnθ8级行列式的鉴定如果一个行列式在元素分布上比较有规律,则可设法找出n级行列式Dn与较低级的行列式之间的关系,以此类推来计算行列式的值。a)如果n级行列式满足关系式:aDn+bDn-1+c=0。一般通过在寻找Dn与Dn-1之间的关系,进而形成一个以Dn,Dn-1为未知量的二元一次方程组,求出Dn。b)如果n级行列式满足关系式:aDn+bDn-1+cDn-2=0,则作特征方程ax2+bx+c=0。ⅰ)若特征方程的判别式Δ≠0,则特征方程有两个不相等的根:x1,x2,则Dn=Ax1n-1+Bx2n-1。其中A,B为待定系数,令n=1,2,求出A,B。ⅱ)若特征方程的判别式Δ=0,则特征方程有两个相等的根:x1,x2,则Dn=(A+nB)x1n-1。其中A,B为待定系数,令n=1,2,求出A,B。例7计算n级行列式Dn=|2120⋯0012212⋯00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯212000⋯122|(北京航空航天大学)解按照第一行展开得Dn=2Dn-1-14Dn-2,作特征方程4x2-8x+1=0,解得x1=2+32,所以Dn=A(2+32)n-1+B(2-32)n-1。当n=1,2有方程组{A+B=2(4+23)A+(4-23)B=15,解之得A=12+7312‚B=12-7312。因此Dn=(12+7312)(2+32)n-1+(12-7312)(2-32)n-1。9na-nnan-11a-1a-1a-1a-1a-1a-1a-n11121212222122222222222222222222212121212121212112111111122251512515151511112111111111111111121112111112111111111121111211112111112111121111211111211111211111112111111211111121111111112111111111211111111121111111111111211111111111112111将已知的行列式化为熟悉的公式,如范德蒙公式,三角形式(上或者下三角形行列式)以及利用拉普拉斯定理等重要结论。例8计算行列式Dn+1=|an(a-1)n⋯(a-n)nan-1(a-1)n-1⋯(a-n)n-1⋯⋯⋯⋯aa-1⋯a-n11⋯1|(兰州大学,云南大学)解将第n+1行与上面各行作两两对换,将它换到第1行,经过n次对换,再将第n行作两两对换,…,直到第2行作一次对换放在第n行。得Dn+1=(-1)n(n+1)2(-1)n(n+1)2|11⋯1a-na-(n-1)⋯a⋯⋯⋯⋯(a-n)n-1[a-(n-1)]n-1⋯an-1(a-n)n[a-(n-1)]n⋯an|=n!(n-1)!⋯2!10可逆矩阵与相关矩阵的关系设λ1,λ1,…,λn是n级矩阵A的全部特征值,则有公式|A|=λ1λ2⋯λn。故只要能求出矩阵A的全部特征值,那