第06讲 直线的方程（原卷版）

第6讲直线的方程【知识点梳理】1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程.(2)点斜式方程的使用方法：①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(3)斜截式方程的使用方法：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.3．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点，，则方程叫作直线l的两点式方程.(2)两点式方程的使用方法：①已知直线上的两个点，时，可以直接使用该公式求直线方程.②当时，直线方程为(或).③当时，直线方程为(或).4．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方程的使用方法：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.5．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.(2)一般式方程的使用方法：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.题型目录：题型一：求直线的方程题型二：直线过定点问题题型三：直线的图像问题题型四：直线方程在几何中运用题型五：直线中的最值问题【典型例题】题型一：求直线的方程【例1】（2022·全国·高二课时练习）方程表示（

）A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线【例2】（全国高二课时练习）写出满足下列条件的直线的方程.（1）经过点，斜率是；（2）经过点，且与x轴垂直；（3）斜率是，在y轴上的截距是7；（4）经过，两点；（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．【例3】（福建）下面说法正确的是（）.A．经过定点的直线都可以用方程表示B．不经过原点的直线都可以用方程表示C．经过定点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示【例4】（2021·广东·南海中学高二多选题）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（

）A． B．C． D．【例5】（2022·内蒙古包头·高一期末）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（

）A． B．或C． D．或【例6】（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B． C． D．【例7】（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．【例8】（2022·全国·高二课时练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________.【题型专练】1.（2022·江苏·高二多选）下列说法正确的是（

）A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为bD．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为2.（2022·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．3.（2022·全国·高三专题练习）过点且与直线垂直的直线的方程是（

）A． B．C． D．4.（2022·四川巴中·高一期末（理））若直线过点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．5.（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）下列说法错误的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为C．过，两点的所有直线的方程为D．直线的倾斜角的取值范围是6．（重庆高二期末）已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为（）A． B． C．2 D．47.（全国高二课时练习）求满足下列条件的直线的方程.（1）经过点，且与直线平行；（2）经过点，且平行于过和两点的直线；（3）经过点，且与直线垂直．8．（2022·全国·高二课时练习）过点，且在轴与轴上的截距的绝对值相等的直线方程是________．题型二：直线过定点问题【例1】（2022·四川达州·高一期末（理））直线恒过定点（

）A． B． C． D．【例2】（惠民县第二中学高二期末）已知直线恒过定点，则点的坐标为（）．A． B． C． D．【例3】（2022·江苏·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（

）A． B．5 C． D．【题型专练】1.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（全国高二课时练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（）A． B． C． D．3．（黑龙江伊春市·伊春二中高二期中（文））直线：必过定点（）A． B． C． D．4．（全国高二课时练习）已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．5．（2021·全国·高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（

）A．3 B． C．5 D．6．（2021·全国·高二专题练习），动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为_________题型三：直线的图像问题【例1】（全国高二课时练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（）A．，B．，C．，D．，【例2】（安徽六安市·六安一中）直线不过第二象限，则的取值范围为（）A． B． C． D．【题型专练】1．（全国高二专题练习）在直角坐标系中，直线经过（）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．一、三、四象限 D．二、三、四象限2．（全国高二课时练习）方程表示的直线可能是A． B． C． D．3．（全国高二课时练习）若直线（）经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（）A．同号B．C．D．题型四：直线方程在几何中运用【例1】（全国高二课时练习）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：（1）边AC所在直线的方程；（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；（3）BC边上的高AE所在直线的方程.【例2】（2020·广西·兴安县第三中学高一开学考试）△ABC的三个顶点是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是（

）A． B．1＋ C．1＋ D．【例3】（2022·广东深圳·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（

）A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D．过两点的直线方程为【例5】（2020·福建·福清西山学校高二期中）已知等腰三角形的底边所在直线过点，两腰所在的直线为与，则底边所在的直线方程是_____________.【例6】（2020·上海·高三专题练习）已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为________．【题型专练】1．（青海西宁市·高二期末（文））一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（）.A． B．C． D．2．（山西（多选））三条直线，，构成三角形，则的值不能为（）A．B．C．D．－23．（广西）已知直线l的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程．4．（全国高二课时练习）的三个顶点是，，，求：（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高所在直线的方程；（3）边BC的垂直平分线的方程．5．（2022·江苏淮安·高二期末）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______．6．（2020·河北·涞水波峰中学高一阶段练习）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（

）A． B． C． D．7.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知三个顶点是.(1)求边中线所在直线方程；(2)求边上的高线所在方程；(3)求的重心的坐标.题型五：直线中的最值问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【例2】（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．【例3】（2022·全国·高二课时练习）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.(1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程；(2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程.【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知直线和点，．(1)在直线l上求一点P，使的值最小；(2)在直线l上求一点P，使的值最大．【例5】（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求当取得最小值时直线l的方程．【题型专练】1.（2022·陕西·长安一中高一期末）在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（

）A． B． C． D．2.（2021·海南·海口中学高二阶段练习）已知直线.（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值；（3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.3.（全国高二课时练习）已知直线的方程为．（1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限．（3）当时，求直线上的动点到定点，距