函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性考试要求1结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义1函数的奇偶性知识梳理奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f(x)是偶函数关于____对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f(x)是奇函数关于____对称f－＝fy轴f－＝－f原点2函数的周期性1周期函数：对于函数y＝f，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的任何值时，都有______________，那么就称函数y＝f为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数f的所有周期中________________的正数，那么这个最小正数就叫做f的______正周期f＋T＝f存在一个最小最小11如果一个奇函数f在原点处有定义，即f0有意义，那么一定有f0＝0 2如果函数f是偶函数，那么f＝f||2奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性4对称性的三个常用结论1若函数y＝f＋a是偶函数，则函数y＝f的图象关于直线＝a对称2若对于R上的任意都有f2a－＝f或f－＝f2a＋，则y＝f的图象关于直线＝a对称3若函数y＝f＋b是奇函数，则函数y＝f的图象关于点b，0中心对称诊断自测1判断下列结论正误在括号内打“√”或“×”解析1由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝2在0，＋∞上不具有奇偶性，1错2由奇函数定义可知，若f为奇函数，其在＝0处有意义时才满足f0＝0，2错答案1×2×3√4√2新教材必修第一册P84例6改编下列函数中为偶函数的是 Ay＝2sin By＝2cos Cy＝|ln| Dy＝2－ 解析根据偶函数的定义知偶函数满足f－＝f且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为0，＋∞，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数 答案B答案142020·济南一中月考已知f＝a2＋b是定义在上的偶函数，那么a＋b的值是答案B52019·全国Ⅱ卷设f为奇函数，且当≥0时，f＝e－1，则当<0时，f＝ Ae－－1 Be－＋1 C－e－－1 D－e－＋1 解析由题意知，当<0时，f＝－f－＝－e－－1＝－e－＋1 答案D62020·衡水中学调研已知定义在R上的偶函数f，满足f＋2＝f，当∈时，f＝e－1，则f－2017＋f2018＝________ 解析由f＋2＝f可知，函数f的周期为2，又f为偶函数，∴f－2017＋f2018＝f－2016－1＋f0＝f－1＋f0＝f1＋f0＝e－1 答案e－1角度1函数奇偶性的判断【例1－1】判断下列函数的奇偶性：考点一函数的奇偶性及其应用多维探究因此f－＝－f且f－＝f，∴函数f既是奇函数又是偶函数∴函数f为奇函数3显然函数f的定义域为－∞，0∪0，＋∞，关于原点对称∵当<0时，－>0，则f－＝－－2－＝－2－＝－f；当>0时，－<0，则f－＝－2－＝2－＝－f；综上可知：对于定义域内的任意，总有f－＝－f成立，∴函数f为奇函数4显然函数f的定义域为R，故f为奇函数规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：1定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；2判断f与f－是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f＋f－＝0奇函数或f－f－＝0偶函数是否成立角度2函数奇偶性的应用又ft＋1－3为奇函数，所以它在区间上的最大值、最小值之和为0，也就是＝0，解得m＝－1，故f＝2－1≥0，则f－3＝－f3＝－23－1＝－7答案1C2－7规律方法利用函数奇偶性可以解决以下问题：1求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值2求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出3求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f±f－＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程组，进而得出参数的值4画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象5求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值所以f一定不是偶函数；设f为奇函数，则由奇函数的定义知f－＋f＝0即当b＝1时，f为奇函数，当b≠1时，f为非奇非偶函数，所以f的奇偶性与a无关，但与b有关2由于f－＝f，即lne－3＋1－a＝lne3＋1＋a，化简得2a＋3＝0∈R，则2a＋3＝0，考点二函数的周期性及其应用解析1因为f＋2π＝f，所以f的周期为2π2由题意，得f1＝f4＝11，f2＝5，f3＝8故f1＋f2＋f3＝24，所以f1＋f2＋f3＋…＋f100＝33×＋f33×3＋1＝803答案1C2803规律方法1注意周期性的常见表达式的应用2根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式或函数值得到整个定义域内的解析式或相应的函数值2因为当0≤<2时，f＝3－是R上最小正周期为2的周期函数，且f0＝0，则f6＝f4＝f2＝f0＝0又f1＝0，∴f3＝f5＝f1＝0，故函数y＝f的图象在区间上与轴的交点有7个角度1函数的单调性与奇偶性【例3－1】1已知奇函数f在R上是增函数，g＝f若a＝g－log251，b＝g208，c＝g3，则a，b，c的大小关系为 Aa<b<c Bc<b<a Cb<a<c Db<c<a考点三函数性质的综合运用多维探究解析1易知g＝f在R上为偶函数，∵奇函数f在R上是增函数，且f0＝0∴g在0，＋∞上是增函数又3>log251>2>208，且a＝g－log251＝glog251，∴g3>glog251>g208，则c>a>b2由已知得函数f为偶函数，所以f＝f||，由f>f2－1，可得f||>f|2－1|由f||>f|2－1|，可得||>|2－1|，两边平方可得2>2－12，整理得32－4＋1<0，规律方法1比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2对于抽象函数不等式的求解，应变形为f1>f2的形式，再结合单调性，脱去法则“f”变成常规不等式，如1<2或1>2求解角度2函数的奇偶性与周期性【例3－2】1多选题2020·济南模拟已知定义在R上的奇函数f满足f－4＝－f，且在区间上是增函数，则 Af2019＝f2017 Bf2019＝f2016 Cf2016＜f2019 Df2016＞f2018答案1AC2A解析1因为f满足f－4＝－f，所以f－8＝f，所以定义在R上的奇函数f是以8为周期的函数，则f2016＝f0＝0，f2017＝f1，f2018＝f2，而由f－4＝－f得f2019＝f3＝－f－3＝－f1－4＝f1，又因为f在上是增函数，所以f2＞f1＞f0＝0，即f2019＝f2017，f2016＜f2019，故选AC2因为f是定义在R上的以3为周期的偶函数∴f5＝f－1＝f1<1规律方法1周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解满足的关系fa＋＝fb－表明的是函数图象的对称性，函数f满足的关系fa＋＝fb＋a≠b表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆【训练3】1角度1已知定义在R上的偶函数f在[0，＋∞上单调递增， 若fln<f2，则的取值范围是 A0，e2 Be－2，＋∞ Ce2，＋∞ De－2，e2 2角度2已知奇函数f的图象关于直线＝3对称，当∈时，f＝－，则f－16＝________ 解析1根据题意知，f为偶函数且在[0，＋∞上单调递增， 则fln<f2⇔|ln|<2，即－2<ln<2，解得e－2<<e2，即的取值范围是e－2，e22根据题意，函数f的图象关于直线＝3对称，则有f＝f6－，又由函数为奇函数，则f－＝－f，则有f＝－f6－＝f－12，则f的最小正周期是12，故f－16＝f－4＝－f4＝－f2＝－－2＝2答案1D22赢得高分高考中函数性质“瓶颈题”突破函数的单调性、奇偶性、周期性在高考中占有重要地位，不仅单独考查，且常融合渗透于一体，考查性质的综合应用，如2019·全国Ⅰ卷·T11，2019·全国Ⅲ卷·T11，2018·全国Ⅱ卷·T11，2017·全国Ⅲ卷·T15等，着重考查利用函数性质求值、比较大小、求解参数或解不等式【典例】一题多解2018·全国Ⅱ卷已知f是定义域为－∞，＋∞的奇函数，满足f1－＝f1＋若f1＝2，则f1＋f2＋f3＋…＋f50＝ A－50 B0 C2 D50 解析法一∵f在R上是奇函数，且f1－＝f1＋ ∴f＋1＝－f－1，即f＋2＝－f 因此f＋4＝f，则函数f是周期为4的函数， 由于f1－＝f1＋，f1＝2， 故令＝1，得f0＝f2＝0， 令＝2，得f3＝f－1＝－f1＝－2，故f1＋f2＋f3＋…＋f50＝12×＋f1＋f2＝12×＋2＋0＝2答案C令＝3，得f4＝f－2＝－f2＝0，故f1＋f2＋f3＋f4＝2＋0－2＋0＝0，所以f1＋f2＋f3＋…＋f50＝12×0＋f1＋f2＝2思维升华1周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解2对于选择题、填空题，还常借助特殊性如法二，或函数图象的几何直观进行优化求解【训练】2020·湖南百校大联考已知定义在R上的奇函数f满足当≥0时，f＝log2＋2＋＋b，则|f|>3的解集为 A－∞，－2∪2，＋∞ B－∞，－4∪4，＋∞ C－2，2 D－4，4 解析由题意，f0＝log22＋b＝0，解得b＝－1 所以f＝log2＋2＋－1，f2＝3，且在R上单调递增，又|f|>3，所以|f|>f2，即f>f2或f<f－2，解得>2或<－2 答案A数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神类型1奇函数的最值性质已知函数f是定义在区间D上的奇函数，则对任意的∈D，都有f＋f－＝0特别地，若奇函数f在D上有最值，则fma＋fmin＝0，且若0∈D，则f0＝0解析显然函数f的定义域为R，∴g为奇函数，由奇函数图象的对称性知gma＋gmin＝0，∴M＋m＝min＝2＋gma＋gmin＝2答案2类型2抽象函数的周期性【例2】已知函数f为定义在R上的奇函数，当≥0时，有f＋3＝－f，且当∈0，3时，f＝＋1，则f－2023＋f2024＝ A3 B2 C1 D0 解析因为函数f为定义在R上的奇函数， 所以f－2023＝－f2023， 因为当≥0时，有f＋3＝－f， 所以f＋6＝－f＋3＝f，即当≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次又当∈0，3时，f＝＋1，∴f2023＝f337×6＋1＝f1＝2，f2024＝f337×6＋2＝f2＝3故f－2023＋f2024＝－f2023＋3＝1答案C类型3抽象函数的对称性【例3】已知定义在R上的函数f在[1，＋∞上单调递减，且f＋1是偶函数，不等式fm＋2≥f－1对任意的∈恒成立，则实数m的取值范围是 A B－∞，－3∪∪[2，＋∞ 解析由于f＋1是偶函数，所以f－＋1＝f＋1， 因此函数y＝f的图象关于＝1对称 由f在上递增 又∈， ①当m＋2≤1，即m≤－1时，fm＋2≥f－1对∈恒成立，则有m＋2≥－1对∈恒成立，∴－3≤m≤－1，②当m＋2>1，即m>－1时，fm＋2≥f－1＝f3－，则有m＋2≤3－对∈恒成立，则－1<m≤1，由以上知，实数m的取值范围是答案A【例4】函数y＝f对任意∈R都有