用向量方法研究立体几何中的度量关系（第一课时夹角问题）（课件）高二数学（北师大版2019选择性）

3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系（第一课时夹角问题）温故知新

用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.一、用向量法研究夹角问题如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线a′和b′，abPa′b′O

则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ

称为异面直线a，b所成的角.Oa′若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直也记作a⊥b.异面直线所成角θ的取值范围：.平移一、线线角夹角问题：lmlm异面直线所成角例1

如图3-41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=2,BC=1,AA'=3.求AC'与A'D所成角的余弦值.

例1

如图3-41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=2,BC=1,AA'=3.求AC'与A'D所成角的余弦值.

你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成角的一般方法吗？

化为向量问题进行向量运算回到图形问题

解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：

所以与所成角的余弦值为解2立体几何法

二、线面角直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点称为斜足．可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？斜足平面的斜线

如何作直线与平面所成的角？过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂直，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影．追问

直线与平面所成的角的范围是多少？根据直线与平面所成的角定义可知，范围是［0，90°］．平面的一条斜线与在这个平面上的投影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角．夹角问题：ll

变式：

的棱长为1.解1建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yzEF

的棱长为1.解2立体几何法

A1xD1B1ADBCC1yzEF

P变式：三、面面角平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。1、半平面：2、二面角：半平面及二面角的定义棱面面半平面半平面1、二面角的画法：（1）平卧式（2）直立式二面角的画法与记法2、二面角的记法：

面1－棱－面2（1）、以直线为棱，以为半平面的二面角记为：

（2）、以直线AB为棱，以为半平面的二面角记为：AB二面角的画法与记法二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。=?（1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。（2）平面角是直角的二面角叫做

直二面角。（3）二面角的取值范围一般规定为[0,π]。注：

注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。

（2）角的两边分别在两个面内。

（3）角的边都要垂直于二面角的棱。

oAB探究点用向量求两个平面所成的角

一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1,n2〉相等(如图3-47(1))或互补(如图3-47(2)).注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角二面角夹角问题：PP’Al例3如图3-48,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角.图3-48

例3如图3-48,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角.

变式的棱长为1.解1建立直角坐标系.A1xD