湘教版第1章-二次函数-导学案

第1章二次函数1．1二次函数1．理解具体情境中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．自学指导：阅读教材P2～3，理解二次函数的概念及意义．(一)知识探究1．如果函数的表达式是自变量的________次多项式，那么，这样的函数称为二次函数．2．二次函数的一般形式是________________(a，b，c是常数，a≠0)．其中________是自变量，a，b，c分别是函数表达式的________系数、________系数和________，自变量的取值范围是____________．但在实际问题中，它的取值范围会有一些限制．(二)自学反馈1．下列函数中，是二次函数的是()A．y＝8x2＋1B．y＝8x＋1C．y＝eq\f(8,x)D．y＝eq\f(8,x2)＋12．二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．活动1小组讨论例如图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm，在木板4个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积S(cm2)与x之间的函数表达式．分析：本问题中的数量关系是：木板余下面积＝矩形面积－截去面积．解：木板余下面积S与截去正方形边长x有如下函数关系：S＝120×80－4×x2＝－4x2＋9600，0<x≤40.几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用含x的代数式表示出来，再利用面积公式表示出函数关系式．活动2跟踪训练1．下列具有二次函数关系的是()A．正方形的周长y与边长xB．速度一定时，路程s与时间tC．三角形的高一定时，面积y与底边长xD．正方形的面积y与边长x2．关于x的函数y＝(m＋1)x2＋(m－1)x＋m，当m＝0时，它是________函数；当m＝－1时，它是________函数．3．三角形一边上的高等于此边的两倍，如果设此边长为x，三角形的面积为S，则S与x之间的函数表达式是________________________________________________________________________．4．正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数表达式为________________．5．当m为何值时，函数y＝(m2＋m)xm2－2m－1是二次函数？注意二次函数的一般形式中二次项系数不能为0.活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？【预习导学】知识探究1．二2.y＝ax2＋bx＋cx二次项一次项常数项所有实数自学反馈1．A2.140【合作探究】活动2跟踪训练1．D2.二次一次3.S＝x24.y＝x2＋6x5.根据二次函数的定义，得m2－2m－1＝2，解得m＝－1或m＝3.又∵m2＋m≠0，∴m≠0且m≠－1.∴当m＝3时，这个函数是二次函数．

1．2二次函数的图象与性质第1课时二次函数y＝ax2(a＞0)的图象与性质1．会用描点法画函数y＝ax2(a＞0)的图象，并根据图象理解、掌握其性质．2．体会数形结合的转化，能用y＝ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题．自学指导：阅读教材P5～7，自学“例1”，学会用描点法画出函数y＝ax2(a＞0)的图象，理解其性质．(一)知识探究1．一般地，当a＞0时，y＝ax2的图象是一条曲线，它的开口向________，对称轴是________，对称轴与图象的交点是____________；升降性是“左________右________”；当x＝________时，函数值最小，最小值为________．2．画y＝ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用________性，画出图象在y轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、________、________”三个步骤．(二)自学反馈在同一坐标系中画出函数y＝x2、y＝eq\f(1,2)x2和y＝2x2的图象，然后回答下列问题：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，再对称取点．(1)观察上述图象的特征：形状是________________，开口________，图象关于________对称，其顶点坐标是________，其顶点是____________(最高点或最低点)．(2)找出上述三条抛物线的异同：______________________________________________________________．可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．活动1小组讨论例已知函数y＝(k＋2)xk2＋k－4是关于x的二次函数．(1)求k的值；(2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大？分析：此题是考查二次函数y＝ax2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k＋2＞0，求出k的取值范围，最后由y随x的增大而增大，求出x的取值范围．解：(1)由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋2≠0，,k2＋k－4＝2，))解得k＝2或k＝－3.所以当k＝2或k＝－3时，函数y＝(k＋2)xk2＋k－4是关于x的二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k＋2＞0.由(1)知k＝2，最低点是(0，0)，当x≥0时，y随x的增大而增大．抛物线y＝ax2中，当a>0时，开口向上，图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大．活动2跟踪训练1．下列在二次函数y＝x2图象上的点是()A．(1，0)B．(0，1)C．(1，－1)D．(－1，1)2．已知点A(1，y1)，B(2，y2)在二次函数y＝eq\f(2,3)x2图象上，则y1，y2的大小关系是()A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1与y2的大小关系不确定3．关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是()A．图象最低点是原点B．y有最大值C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x<0时，y随x的增大而减小4．二次函数y＝ax2的图象经过点(2，4)，则a＝________.5．对于函数y＝x2，点(1，________)在函数图象上，点(－1，________)在函数图象上，即点(m，________)，(－m，________)均在这个函数的图象上．由此可知：二次函数y＝x2的图象关于________对称．6．画二次函数y＝eq\f(3,2)x2的图象，并回答下列问题：(1)当x＝1时，函数值y是多少？(2)当y＝1时，x的值是多少？(3)当x取何值时，y有最小值，最小值是多少？(4)当x>0时，y随x的增大怎样变化？当x<0时呢？活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？【预习导学】知识探究1．上y轴原点(0，0)降升002.对称描点连线自学反馈(1)抛物线向上y轴(0，0)最低点(2)开口向上，关于y轴对称，顶点坐标为(0，0)【合作探究】活动2跟踪训练1．D2.A3.B4.15.11m2m2y轴6.图略．(1)y＝eq\f(3,2).(2)±eq\f(\r(6),3).(3)x＝0时，y有最小值，最小值是0.(4)当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小．

第2课时二次函数y＝ax2(a＜0)的图象与性质1．会用描点法画函数y＝ax2(a＜0)的图象，并根据图象理解、掌握其性质．2．体会数形结合的转化，能用y＝ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题．自学指导：阅读教材P7～10，自学“例2”，掌握用描点法画出函数y＝ax2(a＜0)的图象，理解其性质．(一)知识探究1．一般地，当a＜0时，y＝ax2的图象是一条曲线，它的开口向________，对称轴是________，对称轴与图象的交点是________________；升降性是“左________右________”；当x＝________时，函数值最大，最大值为________．画图象时，可结合其对称轴，利用________性画图．2．二次函数y＝ax2的图象都是________________，且关于________对称，抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y＝ax2的________．(二)自学反馈在同一坐标系中画出函数y＝－x2、y＝－eq\f(1,2)x2和y＝－2x2，并找出它们图象的异同．活动1小组讨论例已知二次函数y＝－eq\f(2,5)x2，画出这个函数的图象．(1)当x＝2时，函数值y是多少？(2)当y＝－2时，x的值是多少？(3)当x取何值时，y有最大值，最大值是多少？(4)当x>0时，y随x的增大而怎样变化？当x<0时呢？解：函数的图象略．(1)－eq\f(8,5).(2)±eq\r(5).(3)x＝0时，y有最大值，最大值是0.(4)当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大．抛物线y＝ax2中，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，a越大，开口越小．活动2跟踪训练1．下列二次函数中：①y＝－eq\f(1,2)x2；②y＝3x2；③y＝－eq\f(2,3)x2；④y＝－eq\f(1,6)x2，图象开口向下的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知点A(2，y1)，B(3，y2)在抛物线y＝－eq\f(2,5)x2上，则y1，y2的大小关系是()A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1与y2的大小关系不确定3．抛物线y＝－eq\f(1,2)x2不具有的性质是()A．开口向下B．当x>0时，y随x的增大而减小C．对称轴是y轴D．有最小值4．函数y＝－3x2的图象的顶点坐标是________，此函数的最大值是________．5．若二次函数y＝(a－3)x2的图象的开口向下，则a的取值范围是________________．活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？【预习导学】知识探究1．下y轴原点(0，0)升降00对称2.抛物线y轴顶点自学反馈略【合作探究】活动2跟踪训练1．C2.B3.D4.(0，0)05.a<3

第3课时二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．自学指导：阅读教材P10～12，自学“探究”与“例3”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质．(一)知识探究1．二次函数y＝a(x－h)2的图象是____________，它的对称轴是________________，顶点坐标是________．当a>0时，抛物线的开口向________；当a<0时，开口向________．画图象时，可结合其对称轴，利用____________画图．2．当h＞0时，二次函数y＝ax2的图象向________平移h个单位，得到y＝a(x－h)2的图象；当h＜0时，二次函数y＝ax2的图象向________平移|h|个单位，得到y＝a(x－h)2的图象．(二)自学反馈1．下列抛物线中，对称轴是直线x＝1的是()A．y＝－(x－1)2B．y＝(x＋1)2C．y＝－(x＋1)2D．y＝x22．已知抛物线(1)y＝3(x－3)2，(2)y＝3(x＋3)2，(3)y＝3x2，试说明它们两两之间通过怎样平移得到？活动1小组讨论例在直角坐标系中画出函数y＝eq\f(1,2)(x＋3)2的图象．(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答：当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？(3)怎样平移函数y＝eq\f(1,2)x2的图象得到函数y＝eq\f(1,2)(x＋3)2的图象？解：如图所示．(1)对称轴是直线x＝－3，顶点坐标为(－3，0)．(2)当x<－3时，y随x的增大而减小；当x>－3时，y随x的增大而增大；当x＝－3时，y有最小值．(3)将函数y＝eq\f(1,2)x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y＝eq\f(1,2)(x＋3)2的图象．二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．活动2跟踪训练1．二次函数y＝x2的图象向左平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是()A．y＝x2＋3B．y＝x2－3C．y＝(x＋3)2D．y＝(x－3)22．已知二次函数y＝(x－3)2.(1)当x＝1时，函数值y是多少？(2)当y＝9时，x的值是多少？(3)当x在什么范围内，y随x的增大而增大；当x在什么范围内，y随x的增大而减小？(4)这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？这时x的值是多少？性质从增减性、最值来描述．活动3课堂小结1．利用探究y＝ax2的图象与性质的方法探究y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质．2．体会类比探究的方法．【预习导学】知识探究1．抛物线直线x＝h(h，0)上下对称性2.右左自学反馈1．A2.由y＝3(x－3)2得到y＝3(x＋3)2：向左平移6个单位；由y＝3(x－3)2得到y＝3x2：向左平移3个单位；由y＝3(x＋3)2得到y＝3(x－3)2：向右平移6个单位；由y＝3(x＋3)2得到y＝3x2：向右平移3个单位；由y＝3x2得到y＝3(x－3)2：向右平移3个单位；由y＝3x2得到y＝3(x＋3)2：向左平移3个单位．【合作探究】活动2跟踪训练1．C2.(1)4.(2)0或6.(3)当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．(4)这个函数有最小值，最小值是0，这时x的值是3.

第4课时二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．自学指导：阅读教材P13～15，自学“探究”与“例4”“例5”，掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2＋k的相关性质．(一)知识探究1．填表：抛物线y＝a(x－h)2＋k对称轴顶点坐标开口方向性质在对称轴的左边在对称轴的右边a>0,x＝____,____,向____,y随x的增大而____,y随x的增大而____a<0,x＝____,____,向____,y随x的增大而____,y随x的增大而____2.画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象时：(1)写出并画出________________和________________；(2)列表、描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；(3)利用________性，画出图象在对称轴左边的部分．(二)自学反馈画二次函数y＝－(x＋1)2－2的图象，并指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．活动1小组讨论例1已知抛物线y＝a(x－h)2＋k，将它沿x轴向右平移3个单位长度后，又沿y轴向下平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为y＝－3(x＋1)2－4，求原抛物线的表达式．分析：平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a＝－3，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的表达式．解：抛物线y＝－3(x＋1)2－4的顶点坐标为(－1，－4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为(－4，－2)．故原抛物线的表达式为y＝－3(x＋4)2－2.抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化．例2已知某抛物线的顶点坐标为(－2，1)，且与y轴相交于点(0，4)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式．解：由于点(－2，1)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋1.由函数图象过点(0，4)，可得4＝a(0＋2)2＋1，解得a＝eq\f(3,4).因此，所求的二次函数的表达式为y＝eq\f(3,4)(x＋2)2＋1＝eq\f(3,4)x2＋3x＋4.活动2跟踪训练1．下列抛物线中，顶点为(2，3)的是()A．y＝－eq\f(1,2)(x－2)2－3B．y＝－eq\f(1,2)(x＋2)2－3C．y＝－eq\f(1,2)(x－2)2＋3D．y＝－eq\f(1,2)(x＋2)2＋32．抛物线y＝2(x＋5)2－1可以由抛物线y＝2x2平移得到，则下列平移过程正确的是()A．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度B．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度C．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度D．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度3．函数y＝(x－1)2＋3的最小值为________．4．抛物线y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－3的对称轴是__________，当________时，y随x的增大而增大．5．已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，2)，且过点(0，－2)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)m为任意实数，试判断点P(m－1，－4m2＋2)是否在这个二次函数的图象上．活动3课堂小结1．本节所学的知识：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象画法及其性质的总结；平移的规律．2．所用的思想方法：从特殊到一般．【预习导学】知识探究1．h(h，k)上减小增大h(h，k)下增大减小2.(1)对称轴顶点坐标(3)对称自学反馈画图略，图象开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－2)．【合作探究】活动2跟踪训练1．C2.B3.34.直线x＝－1x＜－15.(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2＋2，把点(0，－2)代入，得－2＝a·(0＋1)2＋2，解得a＝－4.∴这个二次函数的表达式为y＝－4(x＋1)2＋2.(2)当x＝m－1时，y＝－4(m－1＋1)2＋2＝－4m2＋2.所以点P(m－1，－4m2＋2)在这个二次函数的图象上．

第5课时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，并掌握其性质．2．能通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值或最小值．自学指导：阅读教材P15～17，自学“动脑筋”“说一说”和“例6”，掌握将一般式化成顶点式的方法．(一)知识探究二次函数y＝ax2＋bx＋c经过配方可化为y＝a(x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a).当x＝________(顶点的________坐标)时，函数达到最大值(当a<0)或最小值(当a>0)，这个最大(小)值＝________(顶点的________坐标)．(二)自学反馈1．将函数y＝x2＋6x＋7进行配方正确的结果应为()A．y＝(x＋3)2＋2B．y＝(x－3)2＋2C．y＝(x＋3)2－2D．y＝(x－3)2－22．抛物线y＝x2－4x－2的顶点坐标是()A．(2，6)B．(－2，－6)C．(－2，6)D．(2，－6)3．将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线表达式是()A．y＝(x－4)2＋4B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3活动1小组讨论例将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标及对称轴．(1)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21；(2)y＝－2x2－12x－22.解：(1)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21＝eq\f(1,2)(x2－12x)＋21＝eq\f(1,2)(x2－12x＋36－36)＋21＝eq\f(1,2)(x－6)2＋3.∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，3)，对称轴是直线x＝6.(2)y＝－2x2－12x－22＝－2(x2＋6x)－22＝－2(x2＋6x＋9－9)－22＝－2(x＋3)2－4.∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，－4)，对称轴是直线x＝－3.第(2)小题注意h值的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．活动2跟踪训练1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，顶点坐标为(1，0)，那么该抛物线有()A．最小值1B．最大值1C．最小值0D．最大值02．二次函数y＝ax2－2x＋1的图象经过点(1，2)，则其图象开口向________．3．二次函数y＝x2＋2x－3的图象的对称轴是直线________．4．对于二次函数y＝－x2－4x＋1，当x＝________时，y的最大值为________．5．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象经过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有________．(填序号)先将此函数表达式化成顶点式，再解决其他问题．在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？【预习导学】知识探究－eq\f(b,2a)横eq\f(4ac－b2,4a)纵自学反馈1．C2.D3.A【合作探究】活动2跟踪训练1．C2.上3.x＝－14.－255.①③

*1.3不共线三点确定二次函数的表达式1．能用待定系数法列方程组求二次函数表达式．2．由已知条件的特点，灵活选择二次函数的三种形式，合理设函数表达式，使计算过程简便．自学指导：阅读教材P21～22，自学“例1”“例2”，掌握用待定系数法求二次函数的表达式．(一)知识探究二次函数的表达式是y＝ax2＋bx＋c，因此，要确定这个表达式，就需要确定a，b，c的值．如果已知二次函数图象上三个点的坐标，将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的________________方程组，求出a，b，c的值，就可以确定二次函数的表达式．(二)自学反馈1．过点(1，0)，B(3，0)，C(－1，2)三点的抛物线的顶点坐标是()A．(1，2)B．(1，eq\f(2,3))C．(－1，5)D．(2，－eq\f(1,4))2．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么函数表达式为()A．y＝－x2＋2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝－x2－2x＋3D．y＝－x2－2x－3活动1小组讨论例1已知一个二次函数的图象经过三点(1，3)，(－1，－5)，(3，－13)，求这个二次函数的表达式．解：设该二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将三个点的坐标(1，3)，(－1，－5)，(3，－13)分别代入函数表达式，得到关于a，b，c的二元一次方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝3，,a－b＋c＝－5，,9a＋3b＋c＝－13.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝4，,c＝2.))因此，所求的二次函数的表达式为y＝－3x2＋4x＋2.已知二次函数图象经过任意三点，可直接设表达式为一般式，代入可得三元一次方程，解之即可求出待定系数．例2已知一抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．试求该抛物线的表达式及顶点坐标．解：设表达式为y＝a(x＋2)(x－1)，则有a(2＋2)(2－1)＝8，∴a＝2.∴此函数的表达式为y＝2x2＋2x－4，其顶点坐标为(－eq\f(1,2)，－eq\f(9,2))．因为已知点为抛物线与x轴的交点，表达式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．活动2跟踪训练1．一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5，则这个二次函数的表达式是()A．y＝4x2＋3x－5B．y＝2x2＋x＋5C．y＝2x2－x＋5D．y＝2x2＋x－52．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，－1)，(2，－4)，(0，4)三点，那么它的对称轴是直线()A．x＝－3B．x＝－1C．x＝1D．x＝33．已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(－1，－4)三点，那么这个二次函数的表达式是________________．4．在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(0，3)．(1)求过A，B，C三点的抛物线的表达式；(2)求出该抛物线的对称轴和顶点坐标．活动3课堂小结利用待定系数法求二次函数的表达式，需要根据已知点的情况设适当形式的表达式，可以使解题过程变得更简单．【预习导学】知识探究三元一次自学反馈1．D2.A【合作探究】活动2跟踪训练1．A2.D3.y＝－x2＋3x4.(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，将(0，3)代入上式，得3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)，即y＝－x2＋2x＋3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)．

1．4二次函数与一元二次方程的联系1．掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系．2．理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系．3．会用二次函数图象求一元二次方程的近似值．4．能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题．自学指导：阅读教材P24～27，自学“探究”、“例1”与“例2”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的根的近似值．(一)知识探究b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况有两个________的实根有两个________的实根________实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点个数________个交点________个交点________交点(二)自学反馈观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程x2＋x－2＝0的根是________________；方程x2－6x＋9＝0的根是________________；方程x2－x＋1＝0的根是________________．活动1小组讨论例1求一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值(精确到0.1)．分析：一元二次方程x2－2x－1＝0的根就是抛物线y＝x2－2x－1与x轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x轴的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫做图象法．解：设二次函数y＝x2－2x－1.作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示，可以发现抛物线与x轴的一个交点在－1和0之间，另一个交点在2和3之间．通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为－0.4或2.4，即一元二次方程x2－2x－1＝0的实数根为x1≈－0.4，x2≈2.4.例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线y＝－eq\f(x2,10)＋eq\f(6,10)x＋eq\f(8,5)运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．(1)当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？(2)铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？(3)铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？解：(1)由抛物线的表达式得2．1＝－eq\f(x2,10)＋eq\f(6,10)x＋eq\f(8,5)，即x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5.即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.(2)由抛物线的表达式得2.5＝－eq\f(x2,10)＋eq\f(6,10)x＋eq\f(8,5)，即x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.(3)由抛物线的表达式得3＝－eq\f(x2,10)＋eq\f(6,10)x＋eq\f(8,5)，即x2－6x＋14＝0，因为Δ＝(－6)2－4×1×14＝－20<0，所以方程无实数根．所以铅球离地面的高度不能达到3m.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的某一个函数值y＝M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2＋bx＋c＝M，这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了．活动2跟踪训练1．下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是()A．y＝－x2＋2x－5B．y＝－2x2－8x－11C．y＝3x2－6x＋1D．y＝4x2＋242．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是()A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根第2题图第3题图3．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是____________________(精确到0.1)．4．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当菱形的面积S为450cm2时，求对角线的长；(3)菱形的面积S能达到500cm2吗？为什么？活动3课堂小结学生试述：这节课学到了什么？【预习导学】知识探究不相等相等无两一无自学反馈x1＝－2，x2＝1x1＝x2＝3无实数根【合作探究】活动2跟踪训练1．C2.D3.x1＝1.6，x2＝4.44.(1)S＝－eq\f(1,2)x2＋30x.(2)根据题意，得－eq\f(1,2)x2＋30x＝450，即x2－60x＋900＝0，解得x1＝x2＝30.∴菱形两条对角线的长都等于30cm.(3)根据题意，得－eq\f(1,2)x2＋30x＝500，即x2－60x＋1000＝0，∵Δ＜0，方程无实数根，∴菱形的面积S不能达到500cm2.

1．5二次函数的应用第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题．自学指导：阅读教材P29～30，自学“动脑筋”、“议一议”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系式．自学反馈1．隧道的截面是抛物线，且抛物线的表达式为y＝－eq\f(1,8)x2＋2，一辆车高3m，宽4m，该车________(填“能”或“不能”)通过该隧道．2．有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为________________．活动1小组讨论例1小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加多少？解：由题意建立如图的直角坐标系：设抛物线的表达式为y＝ax2.∵抛物线经过点A(2，－2)，∴－2＝4a.∴a＝－eq\f(1,2).即抛物线的表达式为y＝－eq\f(1,2)x2.当水面下降1m时，点B的纵坐标为－3.将y＝－3代入二次函数表达式y＝－eq\f(1,2)x2，得－3＝－eq\f(1,2)x2，x2＝6，x＝±eq\r(6).∴此时水面宽度为2|x|＝2eq\r(6)m.即水面下降1m时，水面宽度增加了(2eq\r(6)－4)m.用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系．抛物线的表达式设的恰当会给解决问题带来方便．例2某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？解：由题意可知4y＋eq\f(1,2)×2πx＋7x＝15.化简得y＝eq\f(15－7x－πx,4).设窗户的面积为Sm2，则S＝eq\f(1,2)πx2＋2x×eq\f(15－7x－πx,4)＝－3.5x2＋7.5x.∵a＝－3.5<0，∴S有最大值．∴当x＝－eq\f(7.5,2×（－3.5）)＝eq\f(15,14)≈1.07(m)时，S最大＝eq\f(0－（7.5）2,4×（－3.5）)＝eq\f(225,4×14)≈4.02(m2)．即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.02m2.此题较复杂，特别要注意：中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内．活动2跟踪训练1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米B．3米C．2米D．1米2．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10m处将球踢向球门，当球飞行的水平距离是6m时，球达到了最高点，此时球高3m．已知球门高2.44m，球的飞行路径是抛物线，问能否射中球门？3．现有60米的篱笆，准备围成一个如图所示的养鸡场，为了节省篱笆，养鸡场一面可以用墙来替代，另一面的篱笆与墙平行，中间再用篱笆分开．设与墙平行的一边长为x米，养鸡场的总面积为y米2.(1)若养鸡场的面积为225平方米，与墙平行的一边长是多少？(2)x取多少时，养鸡场的总面积最大？最大是多少？活动3课堂小结建立二次实际问题的一般步骤：(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系．(2)把已知条件转化为点的坐标．(3)合理设出函数表达式．(4)利用待定系数法求出函数表达式．(5)根据求得的表达式进一步分析，判断并进行有关的计算．【预习导学】自学反馈1．不能2.y＝－eq\f(1,25)x2＋eq\f(8,5)x【合作探究】活动2跟踪训练1．A2.能射中球门．建立如图所示的直角坐标系，球飞行的路线为抛物线，顶点(6，3)，起点(0，0)，设抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋3，则有0＝a(0－6)2＋3，∴a＝－eq\f(1,12).∴抛物线的表达式为y＝－eq\f(1,