等差数列前n项和

23等差数列的前n项和

著名数学家高斯小的时候，勤于思考，善于动脑，这一点在班级是有名的．他遇到问题总是问“为什么”；用一种方法解决问题之后，他还考虑有没有其他别的更有效的方法，老师和同学们都喜欢他．一天，老师给同学们出了一道“1＋2＋3＋……＋99＋100的和等于多少？”的数学题，同学们都觉得没什么难的，于是便十分认真地用一个数加另一个数慢慢求和的方法来计算．不一会，小高斯便举手示意他做完了．老师和同学们都觉得特别奇怪：别人连一半还没加完，小高斯怎么就算完了呢？＋＋＋＋

问题引入

你知道高斯是怎么计算的吗？1高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？2如果换成１２３…200=？我们能否快速求和？如何求？(3)等差数列{an}的首项为a1,公差为d，如何计算＋＋＋＋

思考提炼

一般的，我们称为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即对于公差为d的等差数列，如何求它的前n项和？②①由①＋②得到n个

新课讲授

n个由此得到等差数列{an}的前n项和的公式:在已知首项和尾项时使用此公式用代入上面的公式，得到在已知首项和公差时使用此公式

新课讲授

将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？

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例1等差数列-10，-6，-2，2，…的前多少项的和为54？例2已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n项和的公式变式：上题条件不变，求S30

理论迁移

例3堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？解：

由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为｛an｝，an表示自下而上第n层所放的铅笔数其中a1=1,a120=120根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔

理论迁移

例42000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

理论迁移

解：

根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元所以，可以建立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金，其中那么，到2010年n=10,投入的资金总额为

答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。

理论迁移

例5已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值的前n项和为,②当n为何值时，最大？①数列的通项公式；已知求：变式：设等差数列

理论迁移

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理论迁移

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等差数列前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也成等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=n,Sn=mm≠n,则Smn=性质3:若Sm=Snm≠n,则Smn=性质4:为等差数列.n2d0-mn性质5:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则

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项数为偶数时，项数为奇数时，性质6:

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例设数列{an}的通项公式为an=2n-7,

则|a1||a2||a3|……|a15|=变式1设数列{an}的通项公式为an=2n-7,

则Tn=|a1||a2||a3|……|an|=变式2等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=7,S4=24

则Tn=|a1||a2||a3|……|an|=

理论迁移

已知等差数列{an}的通项公式,求数列{︱