第九节函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用学习要求:1理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具

在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律2结合现实情境中的具体问题,会比较对数函数、一元一次函数、指数函数

增长速度的差异3收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人

们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义1几种常见的函数模型必备知识

·

整合

函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a≠0)反比例函数模型f(x)=a+

(a,b为常数,且b≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,且a≠0)2三种增长型函数性质的比较函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①

增函数

②

增函数

③

增函数

增长速度④

越来越快

⑤

越来越慢

相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与

⑥

y轴

平行随x增大逐渐表现为与

⑦

x轴

平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax3解函数应用题的步骤四步八字1审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型;2建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学

知识建立相应的函数模型;3求模:求解函数模型,得出数学结论;4还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结果以上过程用框图表示如图:1判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1某种商品进价为每件100元,按进价增加10%后出售,后因库存积压降价,若

按九折出售,则每件还能获利 2函数y=2的函数值比y=2的函数值大 3不存在0,使 < <loga0 4在0,∞上,随着的增大,y=aa>1的增长速度会超过并远远大于y=αα>

0的增长速度 5“指数爆炸”是比喻指数型函数f=baca,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1

的增长速度越来越快 ✕✕✕√✕2新教材人教A版必修第一册P161T8改编某公司为激励创新,计划逐年加大

研发资金投入若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年

投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是参考数据:lg112≈005,lg13≈011,lg2≈030 A2020年

B2021年C2022年

D2023年B3新教材人教A版必修第一册P139T2改编已知f=2,g=2,h=log2,当

∈4,∞时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是 Af>g>h

Bg>f>hCg>h>f

Df>h>gB的生产,平均每人每年创造产值t万元t

为正常数公司决定从原有员工中分流0<<100,∈N*人去进行新开发的

产品B的生产分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在

%若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流

的人数是 A15

B16

C17

D18B5某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的

数据,则下列函数模型中能较好地反映计算机在第天被感染的数量y与之间

的关系的是 第x天12345被感染的计算

机数量y(台)10203981160Ay=10

By=52-510Cy=5×2

Dy=10log210C考点一二次函数模型关键能力

·

突破

典例1

2020重庆育才中学高三月考某市自来水厂向全市生产与生活供水,

蓄水池蓄量足够大在每天凌晨0点时将会有水15千吨,水厂每小时向池中注

水2千吨,同时从池中向全市供水,若已知0≤≤24小时内供水总量为10 千吨,且当蓄水量少于3千吨时,供水就会出现紧张现象1一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象2若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水aa>2千吨,求a的最

小值,使得供水紧张现象消除解析(1)设蓄水量为y千吨,根据题意,y=15+2x-10

(0≤x≤24),令y=15+2x-10

<3,(

-2)(

-3)<0,解得2<

<3,则4<x<9,所以一天内将在4时至9时出现供水紧张现象.(2)每小时向池内注水a(a>2)千吨,则y=15+ax-10

(0≤x≤24),令t=

,则t∈[0,2

],则x=t2,f(t)=at2-10t+15,t∈[0,2

],对称轴为x=

,因为a>2,所以0<

<

<2

,fmin(t)=f

=a·

-10×

+15=-

+15,令-

+15≥3(a>2),解得a≥

,所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为

.名师点评利用二次函数模型解决问题的方法:在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题建立二次函数解

析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函

数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万

元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均

为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车

出售,若该车在第年年底出售,其销售价格为25-万元国家规定大货车的

报废年限为10年1大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出2在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大利润=累

计收入销售收入-总支出解析(1)设大货车运输到第x年年底,该车运输累计收入与总支出的差为y万

元,则y=25x-[6x+x(x-1)]-50=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N),由-x2+20x-50>0,可得10-5

<x<10+5

,∵2<10-5

<3,故从第3年,该车运输累计收入超过总支出.(2)∵利润=累计收入+销售收入-总支出,∴二手车出售后,小张的年平均利润为

=19-

≤19-10=9万元,当且仅当x=5时,等号成立.∴小张应当在第5年将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大.考点二指数函数模型典例2渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上岸后,要在最短的时

间内将其分拣、冷藏,若不及时处理,打上来的鱼很快地失去新鲜度以鱼肉

内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度三甲胺是一种挥发性碱性氨,是氨的

衍生物,它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降,鱼体

开始变质进而腐败已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t分钟满足

的函数关系式为ht=m·at若出海后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%,出海

后20分钟,这种鱼失去的新鲜度为20%,那么若不及时处理,打上来的这种鱼在

多长时间后开始失去全部新鲜度已知lg2≈03,结果取整数 A33分钟B40分钟C43分钟

D50分钟C解析

由题意得

解得a=

,m=0.05,故h(t)=0.05×(

)t,令h(t)=0.05×(

)t=1,得(

)t=20,故t=

=

≈

≈43.名师点评1在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以

用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N1p其中N为基础数,p为增长

率,为时间的形式2在指数函数模型问题中求解过程中,有时需要把指数问题转化为对数问题

求解2020江西新余模拟一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小

孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-btcm3,经过8min后发现容器

内还有一半的沙子,当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,则又经过了

A8min

B16minC24min

D32minB解析

依题意有ae-8b=

a,即e-8b=

,两边取对数得-8b=ln

=-ln2,∴b=

,∴y=a

,当容器中只有开始时的八分之一,则有a

=

a,∴

=

,两边取对数得-

t=ln

=-3ln2,∴t=24,∴又经过了24-8=16(min).故选B.考点三对数函数模型典例3

2020湖南衡阳一模衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘某衡东土菜馆为

实现100万元年经营利润目标,拟制订员工的奖励方案:在经营利润超过6万元

的前提下奖励,且奖金y单位:万元随经营利润单位:万元的增加而增加,但

奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%下列函数模型中,符合

该点要求的是参考数据:1015100≈4432,lg11≈1041Ay=

By=-1Cy=tan 

Dy=log113-10D解析

对于函数y=0.04x,当x=100时,y=4>3,不符合题意;对于函数y=1.015x-1,当x=100时,y=3.432>3,不符合题意;对于函数y=tan

,不满足递增要求,不符合题意;对于函数y=log11(3x-10),满足x∈(6,100],函数为增函数,且y≤log11(3×100-10)=log11290<log111331=3,作出y=

x与y=log11(3x-10)的图象如图所示:符合题意,故选D.名师点评有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式,要求根据实际情况求出

函数关系式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入关系式求值,然后根据值回答其实际意义2020福建厦门三模大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水

单位:m/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为Q科学研究

发现v与log3 =1m/s时,=2m/s时,其耗氧量的单位数为 A2670

B7120

C7921

D8010C解析

设v=k·log3

,∵1=k·log3

,∴k=

,∴2=k·log3

⇒2=

⇒log3

=log3

⇒Q=

=7921.考点四分段函数模型典例4首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会

展中心举办某跨国公司此次带来了高端智能家居产品参展,供购商洽谈采购此产品,并决

定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本30万美元,每生产一台需另

万台且全部售完,每万台的销售收

入为G万美元,G= 1写出年利润S万美元关于年产量万台的函数解析式;利润=销售收入-

成本2当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大并求出最大利润解析(1)当0<x≤20时,S=xG(x)-(90x+30)=-3x2+150x-30;当x>20时,S=xG(x)-(90x+30)=-10x+

-30.所以函数解析式为S=

(2)当0<x≤20时,因为S=-3(x-25)2+1845,S在(0,20]上单调递增,所以当x=20时,Smax=S(20)=1770;当x>20时,S=-10x+

-30=-10x-

+2970=-10(x+1)-

+2980≤-2

+2980=2380,当且仅当

=10(x+1),即x=29时等号成立.因为2380>1770,所以当x=29时,S的最大值为2380万美元.故当年产量为29万台时,该公司在该产品中获得的利润最大,最大利润为2380万美元.名师点评1分段函数模型的应用:分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间

对每一个