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5．2.3简单复合函数的导数1.了解复合函数的复合过程.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.2.通过复合函数导数的运算，培养数学运算、逻辑推理素养.(一)教材梳理填空1．复合函数的定义一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成__的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝_______．xf(g(x))2．复合函数的导数一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝

.即y对x的导数等于y对u的导数与

的导数的乘积．[微思考]函数y＝log2(x2－3x＋5)是由哪些函数复合而成的？提示：y＝log2(x2－3x＋5)是由y＝log2u，u＝x2－3x＋5复合而成．y′u·u′xu对x(二)基本知能小试1．判断正误(1)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x. (

)(2)若f(x)＝sin(x＋1)，则f′(x)＝cosx．

(

)答案：(1)×

(2)×解析：函数y＝ln(x－2)是由函数y＝lnu和u＝φ(x)＝x－2复合而成的，而B、C、D中的函数分别为函数y＝lnx与函数φ(x)＝x－2的加、乘、商的形式，不符合复合函数的定义，选A.答案：A

3．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________.[方法技巧](1)在对复合函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．题型二与复合函数有关的综合问题

[学透用活][典例2]

(1)(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．(2)设函数f(x)＝x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1)，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，解不等式f′(x)＞g′(x)．[方法技巧]有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在求有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义、导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．[对点练清]2．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝___

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