2023年高考文科数学全国2卷含答案

1/12023年高考文科数学全国2卷含答案2023年一般高等学校招生全国统一考试（全国II卷）文科数学

1.设集合{}1-|>=xxA，{}2|两个相邻的极值点，则ω=

A．2

B.3

2

C.1

D.12

9.若抛物线)0(22

>=ppxy的焦点是椭圆

132

2=+p

ypx的一个焦点，则=p（）A.2B.3C.4D.8

10.曲线2sincosyxx=+在点(,1)π-处的切线方程为()A.10xyπ=B.2210xyπ=C.2210xyπ+-+=D.10xyπ+-+=

11.已知(0,

)2

π

α∈，2sin2cos21αα=+，则sinα=（）

A.

15

B.

C.

3

D.

5

12.设F为双曲线22

22:1(0,0)xyCabab-=>>的右焦点，0为坐标原点，以OF为直径的

圆与圆222

xya+=交于,PQ两点，若PQOF=,则C的离心率为:

A.2

B.3

C.2

D.5

二、填

空题

13.若变量,xy满意约束条件

2360

30

20

xy

xy

y

+-≥

?

?

+-≤

?

?-≤

?则

3

zxy

=-的最大值是.

14.我国高铁进展快速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车全部车次的平均正点率的估量值为.

15.ABC

?的内角,,

ABC的对边分别为,,

abc.已知sincos0

bAaB

+=，则B=.

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的外形多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信外形是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的全部顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.(本题第一空2分，其次空3分.)

三、解答题

17.如图，长方体

1111

ABCDABCD

-的底面ABCD是正方形，点E在棱

1

AA上，

1

BEEC

⊥.（1）证明：

BE⊥平面11

EBC

（2）若1

AEAE

=,3

AB=,求四棱锥

11

EBBCC

-的体积.

18.已知{}na是各项均为正数的等比数列，162,2231+==aaa.(1)求{}na的通项公式：

(2)设nnab2log=，求数列{}nb的前n项和.

19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产状况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

y的分组

[)0.20,0-

[)0,0.20

[)0.20,0.40[)0.40,0.60[)0.60,0.80

企业数

2

24

53

14

7

（1）分别估量这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估量值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）748.602≈.

20.已知12,FF是椭圆C：22

221(0,0)xyabab

+=>>的两个焦点，P为C上的点，O为坐

标原点.

（1）若2POF?为等边三角形，求C的离心率；

（2）假如存在点P，使得12PFPF⊥，且12FPF?的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

21.已知函数(1)ln1=fxxxx.证明：（1）fx存在唯一的极值点；

（2）0=fx有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

四、选做题（2选1）

22.在极坐标系中，O为极点，点00(,)Mρθ0(0)ρ>在曲线:=4sinCρθ上，直线l过点

(4,0)A且与OM垂直，垂足为P.

（1）当03

π

θ=

时，求0ρ及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23.

[选修4-5：不等式选讲]

已知|||2|fxxaxxxa=-+--（1）当1a=时，求不等式0fx=xxA，{}2|x，1--=-x

fxe，又fx为奇函数，

有1-=--=-+x

fxfxe.

7.答案：B

解析:

依据面面平行的判定定理易得答案.8.

答案：A解答：

由题意可知32

442Tπππ

=-=

即T=π,所以=2ω.9.答案：D解析：

抛物线)0(22

>=ppxy的焦点是)0,2

(p

，椭圆

1322=+pypx的焦点是)0,2(p±，∴

pp

22

=，∴8=p.10.答案：C解析：

由于2cossinyxx'=-，所以曲线2sincosyxx=+在点(,1)π-处的切线斜率为2-，故曲线2sincosyxx=+在点(,1)π-处的切线方程为2210xyπ+-+=.11.答案：B解答：

(0,)2

π

α∈，22sin2cos214sincos2cosααααα=+?=，

则1

2sincostan2

ααα=?=

，所以cosα==，

所以sinα==.12.答案：A

解析：设F点坐标为)0,2c（，则以OF为直径的圆的方程为2

222)2???

??=+-cycx（①，圆的方程2

2

2

ayx=+②，则①-②，化简得到cax2=，代入②式，求得c

aby±=，

则设P点坐标为),2cabca（，Q点坐标为),2cabca-（，故c

abPQ2=，又OFPQ=,则

,2cc

ab

=化简得到2222bacab+==，ba=∴，故2222==+=

=a

a

abaace.故选A.二、填空题13.答案：9解答：

依据不等式组约束条件可知目标函数3zxy=-在3,0处取得最大值为9.14.答案：0.98解答：

平均正点率的估量值0.97100.98200.9910

0.9840

?+?+?=

=.

15.答案：34

π解析：

依据正弦定理可得sinsinsincos0BAAB+=,即sinsincos0ABB+=，明显

sin0A≠，所以sincos0BB+=，故34

Bπ=

.

16.答案：261

解析：

由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，依据对称性列方程求解.三、解答题17.

答案：（1）看解析（2）看解析解答：

（1）证明：由于

11BCC⊥面11ABBA，BE⊥面11ABBA

∴11BCBE⊥又1111CEBCC?=，∴BE⊥

平面

11EBC；

（2）设12AAa=则229BEa=+，22118+aCE=，22

194CBa=+由于222

11=CBBECE+∴3a=，∴

11111h3EBBCCBBCCVS-=1

363=18

3

=???18.答案：（1）1

22-=nna；（2）2n

解答：

(1)已知162,2231+==aaa，故16212

1+=qaqa，求得4=q或2-=q，又0>q，故

4=q，则12111242=?==nnnnqaa.

(2)把na代入nb，求得12-=nbn，故数列{}nb的前n项和为22

)]12(1[nn

n=-+.

19.答案：详见解析解答:

（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721

100100

+=

，这类企业中产值负增长的企业比例是

2100

.（2）这类企业产值增长率的平均数是

0.1020.10240.30530.50140.7071000.30-?+?+?+?+?÷=????

这类企业产值增长率的方差是

222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296??--?+-?+-?+-?+-?÷=??

所以这类企业产值增长率的标准差是

2

8.6020.172040.17100

=

=?=≈.20.答案：详见解析解答:

（1）若2POF?为等边三角形，则P的坐标为,22cc??

±???

?，代入方程22221xyab+=，可得

22

223144ccab

+=

，解得24e=±

1e=.（2）由题意可得122PFPFa+=uuuuruuuur，由于12PFPF⊥，所以22

2

124PFPFc+=uuuruuuur，

所以2

2

12

1224PFPFPFPFc+-?=uuuruuuuruuuruuuur，所以222122444PFPFacb?=-=uuuruuuur，

所以2

122PFPFb?=uuuruuuur，所以122121162

PFFSPFPFb?=?==uuuruuuur，解得4b=.

由于(

)

212

124PFPFPFPF+≥?uuuruuuuruuuruuuur，即21224aPFPF≥?uuuruuuur，即2

12aPFPF≥?uuuruuuur，所以232a≥

，所以a≥21.答案：见解析解答：

（1）1ln(0)'=-

>fxxxx，设1ln=-gxxx，211

0'=+>gxxx

则gx在(0,)+∞上递增，(1)10=-=g，所以存在唯一0(1,2)∈x，使得000'==fxgx，

当00xx时，00>=gxgx，所以fx在0(0,)x上递减，在0(,)+∞x上递增，所以fx存在唯一的极值点.（2）由（1）知存在唯一0(1,2)∈x，使得00'=fx，即00

1

ln=

xx，000000000

11

(1)ln1(1)

10===-+feeee

，2222

2(1)130==->feeee，所以函数fx在0(0,)x上，0(,)+∞x上分别有一个零点.设120==fxfx，(1)20=-<f，则1021<<<xxx，

有1111111

(1)ln10ln1+=?=

-xxxxxx，2222221

(1)ln10ln1

+=?=

-xxxxxx，设1ln1+=-

-xhxxx，当0,1<≠xx时，恒有1

0+=hxhx

，则120+=hxhx时，有121=xx.22.答案：

（1

）0ρ=l的极坐标方程：sin26

π

ρθ+

=；

（2）P点轨迹的极坐标方程为=4cosρθ(,)42ππθ??

∈????

.解析：（1）当03

π

θ=

时

，00=4sin4sin

3

π

ρθ==

以O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标

系中有M，(4,0)A

，