数学分析课件第四版华东师大研制-第20章-曲线积分

§1

第一型曲线积分

本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.二．第一型曲线积分的计算一．第一型曲线积分的定义§1第一型曲线积分本节将研究定义在平面或空间曲线一．第一型曲线积分的定义

上的连续函

是定义在设某物体的密度函数数当是直线段时,应用定积分就能计算得该物体

的质量.现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(2)近似求和：在每一个

上任取一点由于

(1)分割：把分成

个可求长度的小曲线段

一．第一型曲线积分的定义上的连续函是定义在设某

上的连续函数,

故当的弧长都很小时,

每一小段的质量可近似地等于其中

为小曲线段

的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式(3)当对的分割越来越细密(即)

时,上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质上的连续函数,故当的弧长都很小时,每一小段的量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义.个可求长度的小曲线段的弧长,它把定义在上的函数.

对曲线

做分割分成记为分割的细度为在上任取一点

若有极限为平面上可求长度的曲线段,定义1设为量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下且的值与分割的取法无关,

则称此极限为上的第一型曲线积分,

记作为空间可求长曲线段,

若为定义在上

的函数,

则可类似地定义在空间曲线上

的第一型曲线积分,并且记作于是前面讲到的质量分布在曲线段上的物体的质

且的值与分割的取法无关,则称此极限为上的第一型曲量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.1.若在为

常数,

则也存在,且2.若曲线段由曲线

首尾相接而成,

都存在,则

也存在,且量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.1.若在为3．

都存在,且在

则4．也存在,

且3．都存在,且在则4．也存在,且5．存在,的弧长为则存在常数

使得6.第一型曲线积分的几何意义为L若为坐标平面

上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义,易见以

为准线,母线平行于

轴的柱面上截取

5．存在,的弧长为则存在常数使得6.第一型曲线积分的部分的面积就是的部分的面积就是二．第一型曲线积分的计算定理20.1

设有光滑曲线

为定义在

上的连续函数,则证由弧长公式知道,

上由

的弧长的连续性与积分中值定理,有二．第一型曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线所以这里则有所以这里则有令现在证明

因为复合函数连续,所以在闭区

间

上有界,即存在常数使对一切

都有令现在证明因为复合函数连续,所以在闭区间再由

上连续,所以它在上一致连续,即对任给的使当时,从而所以再由上连续,所以它在上一致连续,即对任给的因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.

上有连续的导函数时,(3)式成为再由定积分定义

当曲线

由方程表示,且在因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.上有连续导函数时,(3)式成为例1

设

是半圆周试计算第一型曲线积分解当曲线L由方程表示,且在上有连续导函数时,(3)式成为例1设是半例2

一段(图20-2),试计算第一型曲线积分解

由参

仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2),当曲线量方程

表示时,例2一段(图20-2),试计算第一型曲线积分解由其计算公式为:例3计算其中为球面被平面所截得的圆周.解由对称性知所以其计算公式为:例3计算其中为球面被平面*例4计算

其中

为内摆线解由对称性知*例4计算其中为内摆线解由对称性知其中*例5求圆柱面

被柱面

所包

而内摆线的参数方程为因此其中*例5求圆柱面被柱面所包围部分的面积A.

解由图可见,阴影部分为被围柱面在第一卦限的部分,它面积设在坐标平面上的圆在第一象限的曲线记为,则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线L为准线母线平行于z积分的几何意义可知它的面积为的那部分柱面.由第一型曲面轴的围部分的面积A.解由图可见,阴影部分为被围柱面在第一卦限L的参数方程为:因此,定义,线密度为的曲线状物体对于x,y轴的转动惯量分别为注由第一型曲线积分的L的参数方程为:因此,定义,线密度为的曲线状物例6求线密度为

的曲线段对于y轴的转动惯量.解

和例6求线密度为的曲线段对于y轴的转动惯量.解复习思考题1.若

在光滑曲线上连续,是否一定存在

使得其中s是曲线L的弧长.2.设在光滑曲线L上连续,L满足条件:复习思考题1.若在光滑曲线上连续,是否一定存在使若满足条件:

是否有若满足条件:

是否有其中3.证明以下第一型曲面的轮换对称性:设在光滑曲线L上连续,L满足条件:若满足条件:是否有若满足条件:是否有其中3.证

若

满足条件:

则

若满足条件:则§2第二型曲线积分

第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.三、两类曲线积分的联系一、第二型曲线积分的定义二、第二型曲线积分的计算返回§2第二型曲线积分第二型曲线积分与第一型曲线一．第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题.例如一质点受力的作用沿平面曲线

从点A移动到点

B,

求力

所作的功,见图20-2.一．第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一种类型的曲线积为此在曲线

内插入

个分点

一起把有向曲线

分成n个有向小曲线段

若记小曲线设力在轴方向的投影分别为那么的弧长为

则分割的细度为段为此在曲线内插入个分点一起把有向曲线分成n又设小曲线段

在

轴上的投影分别为

分别为点

的坐标.记于是力

在小曲线段

上所作的功其中

为小曲线段

上任一点.

因而力

沿曲线

所作的功近似地等于

其中

又设小曲线段在轴上的投影分别为分别为点的坐标当细度

时,

上式右边和式的极限就应该是

所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.定义1

设函数定义在平面有向可

求长度曲线

上.

对

的任一分割

它把

分

成n个小曲线段当细度时,上式右边和式的极限就应该是所求的功.其中

记个小曲线段

的弧长

为分割的细度

又设

的分点

在每个小曲线段

上任取一点

若极限存在且与分割T与点

的取法无关,

则称此极限为函数

沿有向曲线L上的第二型

的坐标为并记其中记个小曲线段的弧长为分割曲线积分,记为或上述积分(1)也可写作或曲线积分,记为或上述积分(1)也可写作或为书写简洁起见,(1)式常简写成

或式可写成向量形式若L为封闭的有向曲线,则记为

若记

则(1)

或于是,力沿有向曲线

为书写简洁起见,(1)式常简写成或式可写成向量形式若L对质点所作的功为若L为空间有向可求长曲线,为定义在L上的函数,则可按上述办法类

似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分,并记为或简写成对质点所作的功为若L为空间有向可求长曲线,为定义在L上的函当把看作三维向量时,(4)式也可表示成(3)式的向量形式.第二型曲线积分与曲线L的方向有关.对同一曲线,当方向由A到B改为由B到A时,每一小曲线段的方向改变,

从而所得的也随之改变符号,

故

当把看作三维向量时,(4)式也可表示成(3)式的向量形式.有

而第一型曲线积分的被积表达式只是函数与

弧长的乘积,它与曲线L的方向无关.这是两种类型曲线积分的一个重要区别.

类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下一些主要性质:

1．

有而第一型曲线积分的被积表达式只是函数与弧长的乘积,

也存在,且2.

若有向曲线

由有向曲线

首尾衔接而成,都存在,则

也存在,且也存在,且2.若有向曲线由有向二．第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.

设平面曲线

其中

上具有一阶连续导函数,

且

点

的坐标分别为又设上的连续函数,

则沿L

二．第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.的第二型曲线积分读者可仿照§1中定理20.1的方法分别证明由此便可得公式(6).对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算,可

的第二型曲线积分读者可仿照§1中定理20.1的方法分别证明由在L上任意选取一点作为起点,沿L所指定的方向前进,最后回到这一点.

例1

计算其中L分别沿图20-3中的路线:(i)直线段(ii)(iii)(三角形周界).在L上任意选取一点作为起点,沿L所指定的方向前进,解

(i)直线

的参数方程为故由公式(6)可得(ii)曲线

为抛物线

解(i)直线的参数方程为故由公式(6)可得(ii)(iii)这里L是一条封闭曲线,故可从A开始,应用上段加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线的线积分为所以的性质2,分别求沿上的线积分然后相(iii)这里L是一条封闭曲线,故可从A开始,应用上段沿直线的线积分为所以沿直线的线积分可由(i)及公式(5)得到:沿直线的线积分为所以沿直线的线积

例2

计算

这里L为:(i)沿抛物线

的一段(图20-4);

(ii)沿直线(iii)沿封闭曲线解

(i)例2计算这里L为:(i)沿抛物线的一段(图(ii)(iii)在OA一段上,

一段上,一段上与(ii)一样是的一段.所以(ii)(iii)在OA一段上,一段上,一段上与(ii(见(ii))沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与

(6)式相仿.设空间有向光滑曲线L的参量方程为因此(见(ii))沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式起点为

终点为则这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.L是螺旋线:例3

计算第二型曲线积分起点为终点为则这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一上的一段(参见图20－5).解由公式(7),上的一段(参见图20－5).解由公式例4

求在力作用下,(i)质点由

沿螺旋线所作的功(图20-5),其中

(ii)质点由A沿直线所作的功.解如本节开头所述,在空间曲线L上力F所作的功为(i)由于例4求在力作用下,(i)质点由沿螺旋线所作的功(图20(ii)的参量方程由于所以例5设L为球面和平面的交线,若面对x轴正向看去,L是沿逆时针方向的,求(ii)的参量方程由于所以例5设L为球面和平面的交线,(i)(ii)(i)由对称性，解

L的参数方程为(i)(ii)(i)由对称性，解L的参数方程为因此，(ii)由对称性，*例6

设G是R2中的有界闭域，

是

上的连续

可微函数,是在G上的连续函数.因此，(ii)由对称性，*例6设G是R2中的有界闭域，则对任意,存在

对于任意分割只要

必有

其中

为端点的折线.证由的有界性,存在使得则对任意,存在对于任意分割只要必有其中为端点的折线令

由P,Q在G的一致连续性,存在

使得就有由在上的一致连续性,存在

使得令由P,Q在G的一致连续性,存在使得就有由在就有.任意分割,满足令

设

为连接与

的线段,其斜率为设的方程为则就有.任意分割,满足令设为连接与的线段,其斜率为设的于是

设在到的那段曲线为

则

于是设在到的那段曲线为则因此因此注例6告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来逼近.注例6告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来逼近.*三.两类曲线积分的联系在规定了曲线方向之后,可以建立它们之间的联系.的有向光滑曲线,它以弧长s为参数,虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型