高中必备数学公式

1/1高中必备数学公式高中必备数学公式

包含代数、三角、初等几何、导数和微分、不定积分、定积分

一．代数

1．肯定值与不等式

肯定值定义：,0||,0

aaaaa≥?=?

-，则bab-≤≤⑷若||(0)abb≥>，则ab≥或ab≤-

⑸（三角不等式）||||||abab+≤+，||||||abab-≥-⑹||||||abab=?⑺|||

|(0)||

aa

bbb=≠

2．指数运算⑴x

y

xy

aaa

+?=⑵

xxy

y

aa

a

-=

⑶xyxyaa=⑷xxxabab=⑸xxx

a

abb

=

⑹

x

ya=

⑺1xx

aa

-=⑻01a=

3．对数运算（0,1aa>≠）

⑴零和负数没有对数⑵log1aa=

⑶log10a=⑷logloglogaaaxyxy=+⑸loglogloga

aaxxyy

=-⑹loglogb

aax

bx=

⑺对数恒等式logay

a

y=⑻换底公式logloglogbabyya

=

⑼2.718281828459e=??????

⑽10lglog0.434294481903ee==??????⑾ln10log102.30258509299e==??????4．乘法及因式分解公式

⑴xaxbxabxab++=+++⑵2222xyxxyy±=±+⑶3322333xyxxyxyy±=±+±

⑷2222222xyzxyzxyyzxz++=+++++

⑸33332222223333336xyzxyzxyxyyzyzxzxzxyz++=+++++++++⑹22xyxyxy-=+-⑺3322xyxyxxyy±=±+

⑻123221nnnnnnnxyxyxxyxyxyy=-+++???++

⑼123221nnnnnnnxyxyxxyxyxyy=+-+-???+-（n为偶数）⑽123221nnnnnnnxyxyxxyxyxyy+=+-+-???-+（n为奇数）⑾3332223xyzxyzxyzxyzxyyzxz++-=++++⑿42242222xxyyxxyyxxyy++=++-+5．数列⑴等差数列

通项公式1(1)naand=+-（1a为首项，d为公差）前n项和11(1)2

2

nnaan

nnSnad+-==+

特例：

(1)

123(1)2

nnnn++++???+-+=

2

135(23)(21)nnn

+++???+-+-=

246(22)2(1)nnnn+++???+-+=+

⑵等比数列

通项公式11nnaaq-=（1a为首项，q为公比，1q≠）前n项和11(1)11n

nnaaqaqSq

q

--=

=

--

⑶22221123(1)(21)6

nnnn+++???+=++

⑷2

2

3

3

3

3

(1)

1234

nnn++++???+=

⑸2

2

2

2

2

(41)

135(21)3

nnn-+++???+-=

⑹333322135(21)(21)nnn+++???+-=-

⑺11

(1),2123(1),2

nnnnnn-?+??

-+-???+-=??-??为奇数为偶数

⑻1122334(1)(1)(2)

3

nnnnn?+?+?+???+-=++

6．牛顿二项公式

1

2

2

3

3

(1)(1)(2)

2!

3!

n

n

nnnnnnnnabana

ba

ba

b+=++

+

+???

1

(1)(1)

!

n

nk

k

nn

k

nk

k

n

knnnka

bnab

bC

a

b

k=-???-++

+???++=

∑

二、三角1．基本关系式⑴sintancosααα=⑵coscotsinααα=⑶1tancotαα=⑷1seccosαα

=

⑸1cscsinαα

=

⑹22sincos1αα+=

⑺221tansecαα+=⑻221cotcscαα+=2．诱导公式

3．和差公式

⑴βαβαβαsincoscossin)sin(±=±⑵βαβαβαsinsincoscos)cos(=±⑶tantantan1tantanαβαβαβ±±=?

⑷cotcot1cotcotcotαβαββα

±=

±

⑸2

cos

2

sin2sinsinβ

αβ

αβα-+=+⑹2

sin

2

cos

2sinsinβ

αβ

αβα-+=-⑺2

cos

2

cos2coscosβ

αβ

αβα-+=+⑻2

sin

2

sin2coscosβ

αβ

αβα-+-=-

⑼)sinsin(21cossinβαβαβα-++=

⑽)sinsin(2

1sincosβαβα

βα--+=

⑾)coscos(2

1coscosβαβαβα-++=

⑿βαβαβα--+-=cos)cos(2

1

sinsin

4．倍角和半角公式

⑴sin22sincosααα=⑵22cos2cossinααα=-⑶2

2tantan21tanααα

=-⑷2

cot1cot22cotααα

-=

⑸sin

2

α=⑹cos2

α=

⑺tan

2

α=⑻cot

2

α=三、初等几何

在下列公式中，字母R、r表示半径，h表示高，l表示斜高，s表示弧长。1．圆；圆扇形

圆周长2rπ=；圆面积2rπ=圆扇形：

圆弧长srθ=（圆心角θ以弧度计）

180rπθ

=

（圆心角θ以度计）

扇形面积2

112

2rsrθ

=

=

2．正圆锥；正棱锥正圆锥：体积2

13

rhπ=

侧面积rlπ=全面积rrlπ=+

正棱锥：体积13

=

??底面积高

侧面积12

=

??斜高底周长

3．圆台：体积2

2

3

h

RrRrπ=++；侧面积lRrπ=+

4．球：体积3

43

rπ=

；表面积24rπ=

四、导数和微分1．基本求导公式⑴0)(='C（C为常数）

⑵1)(-='nnnxx；一般地，1)(-='αααxx。特殊地：1)(='x，xx2)(2='，2

1)1

(x

x-

='，x

x21)(=

'。

⑶xxee=')(；一般地，)1,0(ln)(≠>='aaaaaxx。⑷x

x1)(ln=

'；一般地，)1,0(ln1)(log

≠>=

'aaa

xxa

。

⑸xxcos)(sin='，xxsin)(cos-='，xx2sec)(tan='，

xx2csc)(cot-='，x

xxsectan)(sec='，xxxcsccot)(csc-='。

⑹2

11)(arcsinx

x-=

'，2

11)(arccosx

x--

='，

2

11)(arctanx

x+=

'，2

11)cot(arcx

x+-='，

1

1)sec(arc2

-=

'xx

x，1

1

)csc(arc2

--

='xx

x。

2．求导法则⑴四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）))((xgxfxgxf'±'='±；（Ⅱ）))((xgxfxgxfxgxf'+'='，特殊))((xfCxCf'='（C为常数）；（Ⅲ）)0)((,)

)

((2

≠'-'=

'xgxgxgxfxgxfxgxf，

特殊2

1(

)

gxgxgx''=-

。

⑵复合函数求导法则

设函数y=f(u)，)(xu?=均可导，则()yfx?=关于x的导数恰为f(u)及)(x?的导数的乘积：

()

dydfxdydu

fuxdx

dx

dudx

??''=

=

?=（xuxuyy'?'='）

。推广若,,yfuugvvhx===，则：

dydydudv

fu

gv

hxdx

dudvdx

'''=

??=??（xuvxyyuv''''=??）

。3．微分

⑴函数yfx=在点x处的微分：dyydxfxdx''==⑵微分规章

设函数u=u(x)，v=v(x)均可微，C为常数，则有（Ⅰ）dCuCdu=；dvduvud±=±)(；（Ⅱ）udvvduuvd+=)(；

（Ⅲ）)0()(2

≠-=

vv

udv

vduv

ud。

若函数),(xuufy?==均可微，则复合函数))((xfy?=也可微，且有

dx

xufduufdy)(?''='=。

五、不定积分

1．常用的不定积分公式⑴C

dx=?0；

⑵)1(1

1

1

-≠++=+?

αααα

Cx

dxx；

⑶

C

xdx

x+=?||ln1

；

⑷Cedxexx+=?；⑸

)1,0(ln≠>+=

?aaCa

a

dxa

x

x

；

⑹Cxxdx+=?sincos；⑺Cxxdx+-=?cossin；⑻Cxxdx+=?tansec2；⑼Cxxdx+-=?cotcsc2；⑽

CxCxdxx

+-=+=-?

arccosarcsin112

；

⑾

2

1

arctanarccot1dxxCxC

x

=+=-++?．

2．不定积分的性质和法则

⑴))((xfdxxf='?或dxxfdxxfd)(=?⑵

C

xFdx

xF+='?)(或CxFxdF+=?)(

⑶??

?±

=±dxxgdxxfdxxgxf))((

⑷

??=dx

xfkdxxkf)(（k为常数）

⑸凑微分法

设F(u)是f(u)的原函数，u=)(x?可导，则)]([xF?是)]([xxf??'的原函数。

即若CxFdxxf+=?)(，则

C

xFxdxfdxxxf+==

'?

?

)]([)]([)]([?????

⑹换元积分法

设)(tx?=可导，且0)(≠'t?，又)]([ttf??'有原函数F(t)，则

C

xFCtFdtttfdxxf+=+='=

-?

?

)]([)]([)(1

?

??

其中)(1xt-=?是)(tx?=的反函数。⑺分部积分法

??'-

='dxxuxvxvxudx

xvxu)(

或简写成??-=vduuvudv

六、定积分

1．定积分性质和运算⑴

???

+=+b

a

ba

b

a

dxxgkdxxfkdxxgkxfk)]([2121

其中21,kk为任意常数。⑵

?

?

?

+

=

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf)(

⑶若],[),(baxxgxf∈≤，则?

?≤

b

a

b

a