八轮扭杆摇臂式月球车振动模型的振动分析

八轮扭杆摇臂式月球车振动模型的振动分析

1开式月球车随机振动作为探测仪器的载体，月车的振动直接影响着车载设备的性能。在现有的文献中，我们对月车运动中月面不规则激励引起的随机噪声进行了深入研究。然而，可伸缩式月车不仅在行驶过程中受到随机噪声，而且作为空间展开的第一个机构，其运行过程中受到的振动不容忽视。2月球车展开状态八轮扭杆摇臂式可展开月球车具有结构型式对称的特点.图1为其机构简图,其中图1(a)为折叠状态三维简图,图1(b)为折叠状态单侧机构简图,图1(c)为展开状态单侧机构简图.其展开过程为:首先解锁,然后在组合弹簧动力源的作用下,四组扭杆压臂折臂分别绕各自铰接点做平面运动,向上抬起车体,同时各车轮均处于被动状态并在展开动力及车体重力共同作用下沿月面移动,从而带动摇臂展开至预定位置,最后悬架完全展开,各关节锁定处于工作状态.显然,展开过程中月球车会受到月面不平激励引起的随机振动和展开动力源所引起的强迫振动二者的作用.2.1等效月面不清晰度函数的建立月面不平度函数q(I)是指在沿月球车行驶路程长度I上,月表面相对于基准平面的高度q的变化.根据车速和路程的关系,又可表达为时间的函数q(t).由图1可知,整个月球车有八个月面不平度函数输入.由于每两个车轮通过同一个摇臂铰接于扭杆压臂,故每两个与同一摇臂连接的车轮所传递的月面不平度函数输入相互耦合.因此,八个月面不平度函数输入因两两耦合,实际只有四个独立输入.为方便建立振动系统模型,将两个耦合的月面不平度函数输入转化为一个独立的月面不平度函数输入.如图2所示,月球车在不平月面上展开,当t=t1时刻,对于输入相耦合的两轮,前轮的月面不平度函数为q1(t1),后轮的月面不平度函数为q2(t1),简记为q1、q2,设q1>q2≥0.有如下关系式:Δh=h1-h=Δ+(q1+q2)/2(1)Δh=h1−h=Δ+(q1+q2)/2(1)式中:Δ=12tanα√4l2sin2α-(q1-q2)2-lcosα(mm)Δ=12tanα4l2sin2α−(q1−q2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√−lcosα(mm).可以证明,q1与q2取值无论正负大小,式(1)均成立.显然Δ≤0,①当q1,q2≥0或q1≥0,q2≤0且q1>q2或q1≤0,q2≥0且q1<q2时,Δ=0,Δh值最大,即振动情况最恶劣.②当q1,q2≤0或q1≤0,q2≥0且q1>q2或q1≥0,q2≤0且q1<q2时,Δ取最大值,Δh值最大,即振动情况最恶劣.综上,取等效月面不平度函数为Q=(q1+q2)/2-A(2)Q=(q1+q2)/2−A(2)式中,A为修正常数(mm),根据Δh取最大值时的情况取为0或Δmax.2.2等效不清晰度函数的傅里叶变换记两个耦合轮遇到的不平度为q1(I)=q(I)、q2(I)=q(I-b),b为轮②滞后轮①的距离,设q1的傅里叶变换为q1(n),根据傅里叶变换的时域平移定理,q2的傅里叶变换为q1(n)exp(-j2πnb).由傅里叶变换的线性性质,等效不平度函数Q的傅里叶变换为Q(n)=[1+exp(-j2πnb)]q1(n)/2-2πAδ(n)(3)Q(n)=[1+exp(−j2πnb)]q1(n)/2−2πAδ(n)(3)因n≠0,由δ函数性质有δ(n)=0.又由展开过程实际出发,轮②不会重复轮①的轮迹,故exp(-j2πnb)趋于0,因而Q(n)=q1(n)/2,再写Q(n)为jω的函数,则有等效不平度函数Q的傅里叶变换Q(jω)=q1(jω)/2(4)Q(jω)=q1(jω)/2(4)2.3等效轮距的确定图3为11自由度振动模型,其中OXYZ坐标系为右手系,O为车身质心,X为展开时相对平台的移动方向.车轮编号如下:1为等效左前轮;2为等效右前轮;3为等效左后轮;4为等效右后轮.图3中符号含义如下:MS为车身满载质量;Ci(i=1,2,3,4)为车身等效阻尼;Ki(i=1,2,3,4)为扭杆弹簧刚度;K′i(i=1,2,3,4)为等效扭杆弹簧刚度,其值为K′i=Ki/(r2sin2α),α为满载时扭杆压臂与垂直方向的夹角,r为扭杆中心至展开铰链中心长度;mti(i=1,2,3,4)为等效车轮质量;Kti(i=1,2,3,4)为等效车轮径向刚度;Cti(i=1,2,3,4)为等效车轮阻尼;mri(i=1,2,3,4)为扭杆压臂折臂的等效质量;Kri(i=1,2,3,4)为扭杆压臂折臂等效刚度;Cri(i=1,2,3,4)为扭杆压臂折臂等效阻尼;Qti为等效地面不平度函数;Fi(i=1,2,3,4)为展开动力源引起的激振力.Z1为车身质心垂直位移;Z2为车身质心绕X轴转角;Z3为车身质心绕Y轴转角;Zri为质量mri垂直位移;Zti为质量mti垂直位移.非独立自由度:Zi0(i=1,2,3,4)为悬架i与车身连接处垂直位移.其他主要参数:JX为车身对X轴转动惯量;JY为车身对Y轴转动惯量;L1、L2为车身质心到左、右悬架与车身连接处的水平距离;L3、L4为车身质心到前后悬架与车身连接处的水平距离;L=L3+L4为前后等效轮轴距;LB=L1+L2为左右等效轮距.2.4月球车展开振动方程悬挂对车身连接处在垂直方向的作用力大小为:Fi=Κi(Ζri-Ζi0)r2sin2α+Ci(˙Ζri-˙Ζi0)(i=1,2,3,4)(5)Fi=Ki(Zri−Zi0)r2sin2α+Ci(Z˙ri−Z˙i0)(i=1,2,3,4)(5)车身4个悬挂点的垂直位移:{Ζ10=Ζ1+L1Ζ2-L3Ζ3Ζ20=Ζ1-L2Ζ2-L3Ζ3Ζ30=Ζ1+L1Ζ2+L4Ζ3Ζ40=Ζ1-L2Ζ2+L4Ζ3(6)⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Z10=Z1+L1Z2−L3Z3Z20=Z1−L2Z2−L3Z3Z30=Z1+L1Z2+L4Z3Z40=Z1−L2Z2+L4Z3(6)则11自由度月球车展开振动微分方程为:{ΜS⋅⋅Ζ1=4∑i=1FiJX⋅⋅Ζ2=4∑i=1ΜX(Fi)=(F1+F3)L1-(F2+F4)L2JY⋅⋅Ζ3=4∑i=1ΜY(Fi)=(F3+F4)L4-(F1+F2)L3mri⋅⋅Ζri+Cri˙Ζri+Ci(˙Ζri-˙Ζi0)+Κi(Ζri-Ζi0)r2sin2α+ΚriΖri=Fri(i=1,2,3,4)mti⋅⋅Ζti+Cti˙Ζti+Cri(˙Ζti-˙Ζri)+Κri(Ζti-Ζri)+ΚtiΖti=Cti˙Qi+ΚtiQi(i=1,2,3,4)(7)由前文可知Cti(i=1,2,3,4)为等效车轮阻尼,其值取为0.记等效输入向量为Q=(F1F2F3F4Q1Q2Q3Q4)T,输出向量为Z=(Z1Z2Z3Zr1Zr2Zr3Zr4Zt1Zt2Zt3Zt4)T,将微分方程写成矩阵的形式:Μ⋅⋅Ζ+C˙Ζ+ΚΖ=ΚtQ(8)其中M、C、K分别为11×11质量、阻尼、刚度矩阵;Kt为11×8阶输入向量系数矩阵,可根据式(5)～(7)来确定各矩阵每个元素值.3前4列t的的变换再写振动微分方程(8)为:Μ1⋅⋅Ζ1+⋯+Μ11⋅⋅Ζt4+C1˙Ζ1+⋯+C11˙Ζt4+Κ1Ζ1+⋯+Κ11Ζt4=Ι1F1+⋯+Ι4F4+Κt1Q1+⋯+Κt4Q4(9)其中,Mi、Ci、Ki(i=1,2,…,11)为M、C、K的各列;Ii(i=1,2,3,4)为Kt的前4列(是第i行元素为1的单位列向量),Kti(i=1,2,3,4)为Kt的后4列.对式(9)的两边分别进行傅里叶变换,并利用“时域微分定理”,写成矩阵的形式[-Μ1ω2+jC1ω+Κ1,⋯,-Μ11ω2+jC11ω+Κ11]⋅[Ζ1(jω)⋮Ζt4(jω)]=[Ι1⋯Ι4Κt1⋯Κt4][F1(jω)⋮Q4(jω)](10)如令D=[-M1ω2+jC1ω+K1,…,-M11ω2+jC11ω+K11]E=[I1…I4Kt1…Kt4]由式(4)有Qi(jω)=qi(jω)/2,式中qi为铰接于第i个摇臂上的两个轮中向车体外侧移动的车轮的地面不平度函数,再令fi(jω)=2Fi(jω),因此[Ζ1(jω)⋮Ζ11(jω)]=D-1E[F1(jω)⋮Q4(jω)]8×1=D-1E′[f1(jω)⋮q4(jω)]8×1(11)其中E′=E/2.令H=D-1E′,则H为11×8阶矩阵,是本系统输出对输入的频率响应函数.4反应的光谱密度spoticprocedural4.1激振力的转化在振动模型的线性化处理过程中,需将展开动力源提供的扭矩转化为广义力,即振动模型中的激振力,对其转化时要遵守二者做功不变的原则.计算后得到其大小为:Fi(t)={6977.3-2600.7t-6001.2t20.635+cos146.4tt≥00t<0(i=1,2,3,4)(12)4.2等效车轮着车距谱密度矩阵4个等效车轮不平度函数的傅里叶变换为:{F1(n)=F[Q1(Ι)]=F[x(Ι)]=X(n)F2(n)=F[Q2(Ι)]=F[x(Ι-L)]=X(n)exp(-j2πnL)F3(n)=F[Q3(Ι)]=F[y(Ι)]=Y(n)F4(n)=F[Q4(Ι)]=F[y(Ι-L)]=Y(n)exp(-j2πnL)式中L为等效后轮滞后等效前轮的距离,由展开过程实际出发,车体质心不会沿月面方向移动,即等效后轮不会重复等效前轮的轮迹,故exp(-j2πnL)趋于0.由谱量公式Gik(n)=limΤ→∞1ΤF*i(n)Fk(n)(i=1,⋯,4)得到月面不平度输入谱密度阵Gq=[10coh(n)0010coh(n)coh(n)0100coh(n)01]Gq(n)(13)式中Gq(n)=uGq(f),f=un,u为展开过程中等效车轮的平均速度;coh(n)为等效车轮间的相干系数.由于月面的路面谱是不可测得的,因此利用地面的路面谱相似替代,借鉴文,采用D级路面状况模拟月面不平输入.4.3谱密度矩阵的生成由于展开动力源产生的激振力为确定力,故各力之间是相互独立的,且与月面对四轮产生的随机输入间也是相互独立的,因此输入的谱密度矩阵是由两个子块构成的一个分块对角阵.记激振力Fi(t)的傅里叶变换Fi(jω)构成的子块为GF,令ω=2πf,则有GF=[F(j2πf)0000F(j2πf)0000F(j2πf)0000F(j2πf)](14)则输入的谱密度矩阵为GFq=[GFGq]8×8(15)故响应的谱密度矩阵为Gz=Η*GFqΗΤ(16)其中H为系统频响函数矩阵;HT为系统频响矩阵的转置;H*为系统频响矩阵的复共轭阵.故响应的功率谱密度为Gzizi=(Η*i1Η*i2⋯Η*i8)[G11⋯G81⋮⋱⋮G18⋯G88][Ηi1⋮Ηi8]=8∑j=18∑k=1Η*ikGkiΗij(17)5振动方程的计算复振动方程的计算5.1时间频率区间的选择响应均方根值同响应功率谱密度的关系为:Dzi=σ2zi=∫+∞0Gzizi(f)df(18)利用Runge-Kutta方法,选取时间频率区间[0.1,89.5]Hz对方程(18)进行数值积分求解,由文可知,所得结果的精度可满足要求.5.2响应二阶导数均方根值由傅里叶变换的定义及系统的线性性质,有输出的二阶导数对输入的频响函数为:∼Ηij(jω)=-ω2Ηij(jω)(19)或∼Ηij(j2πf)=-4π2f2Ηij(j2πf)(20)故响应二阶导数均方根值为:⋅⋅Dzi=⋅⋅σ2zi=-4π2f2∫+∞0Gzizi(f)df(21)5.3悬架动挠度均方根计算定义悬架动挠度为fdi=Ζi0-Ζti,(i=1,⋯,4)(22)则将式(6)代入得{fd1=Ζ1+L1Ζ2-L3Ζ3-Ζt1fd2=Ζ1-L2Ζ2-L3Ζ3-Ζt2fd3=Ζ1+L1Ζ2+L4Ζ3-Ζt3fd4=Ζ1-L2Ζ2+L4Ζ3-Ζt4(23)显然,fdi(i=1,…,4)是Zi(i=1,…,3)及Zti(i=1,…,4)的线性组合,其均方根可直接利用已算出的Zi的均方根值求出.对式(23)两侧分别平方,并求其数学期望,由于Zi(i=1,…,3)及Zti(i=1,…,4)是相互独立的随机变量,且E(Zi)=0(i=1,…,3)及E(Zti)=0(i=1,…,4),故悬架动挠度均方根值为:{E(f2d1)=E(Ζ21)+E(Ζ2t1)+L21E(Ζ22)+L23E(Ζ23)E(f2d2)=E(Ζ21)+E(Ζ2t2)+L22E(Ζ22)+L23E(Ζ23)E(f2d3)=E(Ζ21)+E(Ζ2t3)+L21E(Ζ22)+L24E(Ζ23)E(f2d4)=E(Ζ21)+E(Ζ2t4)+L22E(Ζ22)+L24E(Ζ23)(24)6分析结果显示6.1振动幅频关系在Matlab中绘制月球车车体沿Z1、Z2和Z3三个方向的幅频关系曲线,分别参见图4(a)、图4(b)、图4(c).从图中可知,车体沿三个方向的振幅变化趋势相仿.对于Z1、Z3,当频率小于5Hz时,振幅为0;当频率介于5～10Hz之间时,随着激振频率的增加,幅值迅速增大;当频率约大于10Hz后,幅值各自保持在一个平稳的数值上,分别为0.2768×10-6m、0.6525×10-6rad.对于Z2,其与Z1、Z3方向振幅变化不同之处在于其振幅变化迅速的频段在3～5Hz之间,其最大幅值为1.3864×10-6rad.显然,Z3方向的振动幅值小于Z2方向的振动幅值,即车体的侧倾振动大于俯仰振动.图中没有出现在某一振动频率下振动幅值为极大值的情况,又振动幅值的数量级很小,说明该振动系统中车体在三个方向的振动均很稳定.由于两种振动振幅相叠加,因此频率小于5Hz时出现了振动幅值为0的情况.车体的响应二阶导数均方根值即振动加速度反映了月球车在展开过程中振动激励所引起的附加载荷的相对大小,并直接影响着车体内所承载的仪器设备的使用性能.其数值越小,簧载质量所承受的振动冲击力越小.图5(a)、图5(b)及图5(c)分别为月球车车体沿Z1、Z2和Z3三个方向的加速度幅频关系曲线.从图中可看出,三个方向的幅频关系变化趋势相仿,加速度均方根值均随着振动频率的增大而逐步增大.其变化过程可分为两个阶段.第一阶段,对于Z1、Z3,当振动频率小于5Hz时,对于Z2,当振动频率小于3Hz时,加速度均方根值快速增大;第二阶段,当振动频率约大于5Hz时,加速度均方根值以平缓的趋势增加,基本可视为一个稳定数值,即三个方向的值分别为0.2005×10-3m/s2、0.4261×10-3rad/s2、0.6559×10-3rad/s2.显然,Z3方向的振动加速度大于Z2方向的振动加速度,利用两个方向的转动惯量求解,可得车体俯仰运动引起的附加载荷大于车体左右摆动所引起的附加载荷.相应于各参数设计值,可以得出车体所承受的垂直方向振动引起的附加载荷约为0.033N.6.2悬架动挠度均方根