锐角三角函数 省赛获奖

26.1锐角三角函数如图:轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上,轮船向东航行5km达到Ｃ处时，灯塔在轮船的正北方，此时轮船距灯塔多少千米？350ACB北东

创设情境550BAC5km问题1

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.ABC

思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情境探究

根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即ABC

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管.在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.？思考ABC50m30mB'C'

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比

，你能得出什么结论？ABC

综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，

一般地，当∠A

取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？结论问题

当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；

当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.探究ABCA'B'C'

任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝，那么与有什么关系．你能解释一下吗？由于∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探究

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c

正弦注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”.例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34

例题示范ABC135(1)(2)试着完成图（2）练习AC35B2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.4、在Rt△ABC中，

∠C=90°，

，则sin∠A=___.1、如图，求sinA和sinB的值．5、如图，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面积.BAC55复习与探究：

1.锐角正弦的定义在中，

∠A的正弦：2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？新知探索:1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比，∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由.方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相似三角形的性质来说明.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即例题讲解例1

在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）∠A=30°，求tanA和tanB的值.（2）∠A=45°，求tanA的值.做一做如图26-1-6，<ABC为任意给定的一个锐角，B1、B2为射线AB上的任意两点，过点B1，B2分别作AC的垂线B1C1，B2C2，垂足分别为C1、C2.试说明B1C1/AB1与B2C2/AB2，AC1/AB1与AC2/AB2分别相等.例2求下列各式的值（1）2sin30°+3tan30°-tan45°

（2）(sin45°)2+tan60°sin60°

例3

如图26-1-8，在Rt△ABC中，<C=90°，AC=5，BC=12.求sinA，cosA，tanA的值.注意cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.

同样地，

cosA，tanA也是A的函数.

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.ABC6例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．ABC23延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦.

AB

C∠A的对边a∠A的邻边b斜边c？思考

请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度.30°60°45°121145°新知探索:30°角的三角函数值sin30°=cos30°=tan30°=cos45°=tan45°=sin45°=新知探索:45°