九年级数学（北师大版）上册课件-【第2课时 正方形的判定】

正方形的判定1北师版九年级上册创设情境，导入新课正方形的定义正方形的性质正方形的对角线相等并且互相垂直平分.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.正方形的四个角都是直角，四条边相等.将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？探究新知，经历过程提示：剪口线与折痕成45°角即可。有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角对角线相等对角线垂直如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？判断四边形是正方形有哪些方法？1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法）2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等.3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角.定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，AC

⊥

BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥

BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理：对角线相等的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC=BD

，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）.

例2

已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF

是正方形.证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF

是平行四边形.∵四边形ABCD

是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF

是菱形（菱形的定义）.在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF

是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.

例2

已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF

是正方形.三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，①若∠BEF=30°，则∠A=______.②若EF=8cm,则AC=______.你还记得三角形的中位线定理吗？30°16cm一般四边形的中点四边形如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？任意四边形的中点四边形

是平行四边形.几何画板.GSP

如果四边形

ABCD

变为特殊的四边形，中点四边形

EFGH会有怎样的变化呢？原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形？矩形？菱形？正方形？平行四边形的中点四边形平行四边形的中点四边形会是什么形状？平行四边形的中点四边形是平行四边形.你能试着证明这个结论吗？（提示：连接AC、BD）几何画板.GSP矩形的中点四边形矩形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形是菱形.你能试着证明这个结论吗？几何画板.GSP已知：如图，点E，F，G，H

分别是矩形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为菱形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四边形EFGH为平行四边形.又∵四边形ABCD

是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）菱形的中点四边形菱形的中点四边形会是什么形状？菱形的中点四边形是矩形.几何画板.GSP你能试着证明这个结论吗？已知：如图，点E，F，G，H

分别是菱形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为矩形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD

是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）正方形的中点四边形正方形的中点四边形会是什么形状？几何画板.GSP原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形平行四边形矩形菱形菱形矩形正方形？先猜一猜，再证明.已知：如图，点E，F，G，H

分别是正方形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为正方形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四边形PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD

是正方形，∴AC=BD（正方形的对角线相等）

AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴EF=FG=HG=EH，∠1=90°.∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2=90°.∴四边形EFGH

为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.已知：如图，点E，F，G，H

分别是正方形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为正方形.思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形归纳

决定中点四边形

EFGH

的形状的主要因素是原四边形

ABCD的对角线的长度和位置关系。原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形已知：如图，E，F

是正方形ABCD

的对角线BD

上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF

是菱形.【选自教材P25习题1.8第2题】巩固练习，深化提高证明:在正方形ABCD

中,BE

＝DF,易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE

＝AE

＝AF

＝FC,∴四边形AECF是菱形．2.如图，在正方形ABCD

中，E，F，G，H

分别在它的

四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是

什么特殊四边形？你是如何判断的？解：四边形EFGH

是正方形.∵在正方形ABCD

中，AE=BF=CG=DH，易证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,即EH

＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH

．∵∠DGH

＋∠DHG＝90°,∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,∴四边形EFGH

是正方形【选自教材P25习题1.8第3题】3.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O

与正方形

ABCD的边长相等.在正方形A′B′C′O绕点O旋转

的过程中，两个正方形重叠的部分与正方形ABCD的面积

有什么关系？请证明你的结论.【选自教材P25习题1.8第4题】S重叠部分=S正方形ABCD几何画板.GSP证明:如图,正方形OA′B′C′分别交AB、BC于点E、F．∵OC

＝OB,∠C′OA′＝∠COB＝90°,∠OCB

＝∠OBA＝45°,∴∠COF＝∠BOE,则△OFC≌△OEB．∴S重叠部分＝S△OEB+S△OBF=S△OFC+S△OBF=S△OBC=