同济大学大一-高等数学期末试题-(精确答案)

仅供学习参考仅供学习参考课程名称：?高等数学?试卷类别：A卷考试形式：闭卷考试时间：120分钟阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每题题号前，用正分表示，不得分那么在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A〔考试性质：期末统考〔A卷〕一、单项选择题〔共15分，每题3分〕.设函数f(x,y)在P(x,y)的两个偏导f(x,y),f(x,y)都存在，那么00 x00 y00( )a.f(x,y)在P连续 b.f(x,y)在P可微C.limf(x,y)及limf(x,y)都存在D.lim f(x,y)存在00xfx0 yfy0 (x,yfx0,y0).假设z=yinx，那么dz等于〔 〕.B.ylnxlnyyinxInB.ylnxlnyA. + xyylnylnxlnyC.yinxinydx+ dyxylnxlny ylnxlnxD. -dx+ dy.设Q是圆柱面x2+y2=2x及平面z=0,z=1所围成的区域，那么,z,z)dxdydz=(〕.QTOC\o"1-5"\h\zA.J*2d0J2cos0drf1f(rcos0,rsin0,z)dz00 0B.J歹2d0J2cos0rdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz00 0C.J兀2d0f2cos0rdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz一兀2 0 0D.J*d0J2cosxrdrJ1f(rcos0,rsin0,z)dz00 04.4.假设£a(x-1)n在x=-1处收敛，那么此级数在x=2处〔〕.nn=1A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不能确定

Ix—y+z=25.曲线《 在点［1,1,2〕处的一个切线方向向量为〔Iz=x2+y2A.〔-A.〔-1,3,4〕B.〔3,-1,4〕C.〔-1,0,3〕D.〔3,0,-1〕二、填空题〔共15分,每题3分〕. 设 x+2y一2xyz=0 , 那 么z〈1,1)=.x.交换I=Jedxfln5.函数z=x3+y3-3x2-3y2的极小值点是5.函数z=x3+y3-3x2-3y2的极小值点是三、解答题〔共54分,每题6--7分〕y dzdz1.〔本小题总分值6分〕设z=yarctan-,求—,-z. o.xOy2.〔本小题总分值6分〕求椭球面2x2+3y2+z2=9的平行于平面2x-3y+2z+1=0的切平面方程,并求切点处的法线方程.103.设u=2xy-z2，那么u在点M(2,-1,1)处的梯度为4.Ex”4.——n!”=0xe-x=.〔本小题总分值7分〕求函数z=x2+y2在点(1,2)处沿向量l=17+二j方向的方向导数。.〔本小题总分值7分〕将f(x)=-展开成x-3的幂级数，并求收敛域。x

.〔本小题总分值7分〕求由方程2x2+2y2+z2+8"—z+8=0所确定的隐函数z=z(x,y)的极值。6.〔本小题总分值6.〔本小题总分值7分〕计算二重积分JJ(x2+y2)do,D由曲线x二一\'1一y2,y=—1,y=1及x二一2围成..〔本小题总分值7分〕利用格林公式计算J

xy2dy-x2ydx，其中L是圆周x2+y2=a2〔按逆时针方向〕.〔本小题总分值7分〕计算JJJxydxdydz,其中。是由柱面x2+y2=1及平面Qz=1,x=0,y=0所围成且在第一卦限内的区域.四、综合题〔共16分，每题8分〕.〔本小题总分值8分〕设级数£u,£V都收敛，证明级数£(u+V)2收敛。nnn=nnn=1n=1 n=1af八.〔本小题总分值8分〕设函数f(x,y)在R2内具有一阶连续偏导数，且9=2x,ax证明曲线积分J2xydx+f(x,y)dy与路径无关.假设对任意的广恒有LJ(,1)2xydx+f(x,y)dy=J&')2xydx+f(x,y)dy，求f(x,y)的表达式.(0,0) (0,0)

参考答案及评分标准一、单项选择题〔共15分，每题3分〕：1.C 2D3C4B5A二、填空题〔共15分，每题3分〕.-12.I=J1dyJ«f(羽y)dx3.-2了+4~j-2k4£(「"x"讨5.(22)0 ，， ".0 "!三、解答题〔共54分，每题6--7分〕(3分)1(3分)dz yxy—=arctan—+ (6分).dy xx2+y2TOC\o"1-5"\h\z.解：记切点(x,y,z)那么切平面的法向量为日=2(2x,3y,z)满足：000 0 002x0=%=各，切点为：(1,一1,2)或(-1,1,-2)(3分)，切平面：2x-3y+2z=9or-9(4—3 2x+1y-1z+2x-1y+1z—2分)，法线方程分别为：.■二・或者.■二—(6分)2 -3 2 2 -3 2.解：Vf(1,2)=(2,4)(3分)， f^=1+2<3 (7分)4.解：f(4.解：f(x)=111 二一・ L3+(x-3)31+(x-3)(2分)S- 1 1 1V,11x-3、(-1)"x"= ，xe(-1,1),所以不. ==£(-1)"-"(^—)"=1+x 3x-3、 3 3"=0 1+(―^) "=03即0<x<6.(5分)级数为£(-1)",!发散,故工二3x"即0<x<6.(5分)级数为£(-1)",!发散,故工二3x"=0当x=0时，级数为£3发散；当x=6时，"=0£(-1)-(|)-+1(x-3)-，xe(0,6)，(7分)"=0TOC\o"1-5"\h\z'dz 4x 八—= =0dx1-2z-8y 八5.解：由la“ ，得至1」x=0与y+2z=0,(2分)d=4(y+22)=0O1-2z-8y

一一 八八 一8再代入2%2+2y2+z2+8yz-z+8=0，得到7毅+z—8=。即z=L—7。 16由此可知隐函数z=Z（X,y）的驻点为（0,-2）与（0,7）。（4分）,dz 4 ,dz 4 d2z由一= , =0dc21-2z-8ydxdydz4守1-2z-8y'16可知在驻点（0,-2）与（0,了）有H>0。（5分）-16 8在(0,)点，z―--，因此7 7（7分）6.解：-16 8在(0,)点，z―--，因此7 7（7分）6.解：-IS'X<0,那么D-D1"「(2JJ(X2+y2)dO-JJ(X2+y2)dO-JJ(X2+y2)dO (4分)(x2+y2r3dr-2037.解：L所围区域D：x2+y2<a2,由格林公式，可得xyL2dy-〔7分〕x2ydx=JJ(d(xy2)d(-x2y)

—)dxdy=JJ(x2+y2)dxdy=J2d0Jar20 0=5a4.(7分)“ d2z 4八 “在（0,-2）点，・1，因此嬴二西>0,所以（0，-2）为极小值点,极小值为z二L（6分）d2z 4 16 8贰二-正<0，所以（0寸为极大值点，极大值为z二-亍0<z<1,8.解：如图，选取柱面坐标系计算方便，此时Q:<0<8.解：如图，选取柱面坐标系计算方便，此时20<r<1,JJJxydxdydz-J1dzJ；d9J1rcos0•rsin0•rdr (4分)0 0 0Qf一1.m1 /f一1.m1 /cos20=J：—sin20d0J1r3dr=(- 02 0 40四、综合题〔共16分，每题8分〕1 1=A.(7分)80O ■ 11.证明：因为limu=0,limv=0,〔2分〕n nnfs nfs故存在N,当n>故存在N,当n>N时，(u+v)2—u2+v2+2uv<3u,

nn nn nnn因此£(u+v)2收敛。［8nnn=1分〕— .Sf人 d(2xv)一 f2.证明：因为片=2x，且一^上二2x，故曲线积分J2xydx+f(x,v)dy与路径无关.[4Sx Sv L分〕因此设f(x,y)=x2+g(y)，从而1(t12xydx+f(x,y)dy=1t0dx+11[12+g(y