第三章空间向量与立体几何章末复习

章末复习第三章

空间向量与立体几何学习目标1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的有关知识.3.会用向量法解决立体几何问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇔

⇔_______面面平行α∥β⇔μ∥v⇔_____________线线垂直l⊥m⇔

⇔_______线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔________a⊥μa·μ＝0μ＝kv，k∈Ra·b＝0a⊥bμ·v＝0线线夹角线面夹角面面夹角__________________2.用向量法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.(2)点的坐标，向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标，直线的方向向量，平面的法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行，垂直，夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.[思考辨析判断正误](1)向量a，b的夹角〈a，b〉与它们所在直线所成的角相等.(

)×(3)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.(

)×√题型探究类型一空间向量的概念及运算例1

(1)给出下列命题：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为A.2 B.3 C.4 D.1答案解析√解析

①为假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②为真命题；③为假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④为假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.(2)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：其中正确结论的序号是________.③④答案解析又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.解答则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，解答类型二空间向量法证明平行与垂直例2已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝证明求证：EF∥平面BB1C1C.证明

如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，因此EF∥平面BB1C1C.反思与感悟利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证).证明跟踪训练2如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明

如图所示，以点D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设DA＝1，依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，D(0,0,0)，又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.类型三空间向量法求空间角例3如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，P是AA1的中点.(1)求平面PBC1将三棱柱分成的两部分的体积之比；解答解

以AB的中点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设三棱柱的底面边长为a，高为b，所以

＝

·d则平面PBC1分三棱柱另一部分几何体的体积为所以平面PBC1将三棱柱分成两部分的体积之比为1∶1.(2)求平面PBC1与平面ABC所成二面角的正切值.解答设平面PBC1的法向量为n1＝(x，y，z).取平面ABC的法向量为n2＝(0,0,1).反思与感悟利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图.用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.跟踪训练3如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，E，F分别在AC和AB上，且EF∥CB.将它沿EF折起，且平面AEF⊥平面EFBC，且四棱锥A－EFBC的体积为2.(1)求EF的长；解答解

因为EF∥CB，∠ACB＝90°，所以CE⊥EF，AE⊥EF.又平面AEF⊥平面EFBC，平面AEF∩平面EFBC＝EF，AE⊥EF，AE⊂平面AEF，所以AE⊥平面EFBC.设EF＝x，由于EF∥BC，AC＝4，BC＝2，在图1中，即(x－1)(x2＋x－3)＝0，(2)当EF的长度为1时，求AC与平面ABF所成角的正弦值.解答解

以E为坐标原点，EF，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，因为EF＝1，则A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0).设平面ABF的法向量n＝(x，y，z)，令z＝1，则x＝2，y＝－1，所以n＝(2，－1,1)，设AC与平面ABF所成的角为θ，达标检测1.已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于解析12345答案√解析

∵|a－b＋2c|2＝|a|2＋|b|2＋4|c|2－2a·b＋4a·c－4b·c＝12＋12＋4×12－2·1·1·cos60°＋4·1·1·cos60°－4·1·1·cos60°＝5，答案解析2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为√解析

不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，则A(2,0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，123453.已知在三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为12345解析答案√解析

如图，以A为坐标原点，分别以AB，AS所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，12345设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，解析12345答案4.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，其中t∈R，则|b－a|的最小值为_____.解析

b－a＝(1＋t,2t－1,0)，1