洛必达法则（原卷版）

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do6(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do6(x→a))g(x)＝0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do6(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do6(x→a))g(x)＝∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.类型一：用洛必达法则处理型函数【例1】已知函数，当时，，求的取值范围.【解析】当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递增，所以.由洛必达法则有：，即当时，，所以，即有.综上所述，当，时，成立.【方法总结】用洛必达法则处理型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则；令，则；令，则；得在是减函数，故，进而（或，，得在是减函数，进而）．可得：，故，所以在是减函数，而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．类型二：用洛必达法则处理型函数【例2】已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【解析】当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0⇔a<eq\f((x＋1)lnx,x－1)．令H(x)＝eq\f((x＋1)lnx,x－1)，则H′(x)＝＝eq\f(x－\f(1,x)－2lnx,(x－1)2)，令K(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx，则K′(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x2)>0，于是K(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以K(x)>K(1)＝0，于是H′(x)>0，从而H(x)在(1，＋∞)上单调递增．由洛必达法则，可得eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f((x＋1)lnx,x－1)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f(((x＋1)lnx)′,(x－1)′)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f(1＋\f(1,x)＋lnx,1)＝2，于是a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．【方法总结】用洛必达法则处理型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】设函数，若当时，求的取值范围【解析】当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令,则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。1.已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.2.已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，，求的取值范围.3.已知函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求、的值；（2）如果当，且时，，求的取值范围。4.已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围.5.若不等式对于恒成立，求的取值范围.6.设函数.设当时，，求的取值范围.7.设