湖北省襄州区四校2024届高一上数学期末考试试题含解析

湖北省襄州区四校2024届高一上数学期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知是锐角，那么是A.第一象限角 B.第一象限角或第二象限角C.第二象限角 D.小于的正角2．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③3．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（）A. B.1C. D.24．在边长为3的菱形中，，，则=（）A. B.-1C. D.5．今有一组实验数据如下：x23456y1.52.012.985.028.98现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（）A. B.C. D.6．方程的解所在的区间为（）A. B.C. D.7．设，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A. B.C. D.9．函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.10．对于实数x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）条件A.充要 B.既不充分也不必要C.必要不充分 D.充分不必要二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，则函数f（x）的值域为______．12．已知，则_____.13．已知函数，若时，恒成立，则实数k的取值范围是_____.14．求值：2+=____________15．已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则值为__________.16．函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数.18．已知函数.（1）判断的奇偶性，并证明；（2）证明：在区间上单调递减.19．已知（1）若为第三象限角，求的值（2）求的值（3）求的值20．已知函数f(x)=（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x∈[-π6,21．如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且（1）求证：；（2）求二面角的大小

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案【题目详解】因为是锐角，所以，故故选D.【题目点拨】本题考查象限角，属于简单题2、D【解题分析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【题目详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误故选D【题目点拨】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.3、D【解题分析】解方程即得或，再检验即得解.【题目详解】解：由题得或.当时，上单调递增，符合题意；当时，在上单调递减，不符合题意.所以.故选：D4、C【解题分析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.【题目详解】.故选:C.【题目点拨】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题.5、B【解题分析】根据表格中的数据，作出散点图，结合选项和函数的单调性，逐项判定，即可求解.【题目详解】根据表格中的数据，作出散点图，如图所示，根据散点图可知，随着的增大，的值增大，并且增长速度越来越快，结合选项：函数增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数增长速度越来越快，符合题意；函数，增长速度不变，不符合题意；而函数，当时，可得；当时，可得，此时与真实数据误差较大，所以最接近的一个函数是.故选：B.6、C【解题分析】将方程转化为函数的零点问题，根据函数单调性判断零点所处区间即可.【题目详解】函数在上单增，由，知，函数的根处在里，故选：C7、C【解题分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【题目详解】由，由不一定能推出，但是由一定能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C8、B【解题分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可【题目详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B9、A【解题分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【题目详解】函数的定义域为，，函数为偶函数，排除BD选项，当时，，则，排除C选项.故选：A.10、D【解题分析】从充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.【题目详解】若，则一定有，故充分性满足；若，不一定有，例如，满足，但不满足，故必要性不满足；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件.故选：.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】求函数的导数利用函数的单调性求值域即可．【题目详解】解：函数，，由，解得，此时函数单调递增由，解得，此时函数单调递减函数的最小值为（2），（1），（5）最大值为（5），，即函数的值域为：．故答案为．【题目点拨】本题主要考查函数的值域的求法，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题．12、3【解题分析】利用诱导公式求出，再将所求值的式子弦化切，代值计算即得.【题目详解】因，所以.故答案为：3.13、【解题分析】当时，，当时，，又，如图所示：当时，在处取得最大值，且，令，则数列是以1为首项，以为公比的等比数列，∴，∴，若时，恒成立，只需，当上，均有恒成立，结合图形知：，∴，∴，令，，当时，，∴，∴，当时，，，∴，∴最大，∴，∴.考点：1.函数图像；2.恒成立问题；3.数列的最值.14、-3【解题分析】利用对数、指数的性质和运算法则求解【题目详解】解：（）lg（1）lg1[（）3]2+（）02+1＝﹣3故答案为﹣3【题目点拨】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用15、11【解题分析】画出函数图像，利用对数运算及二次函数的对称性可得答案.【题目详解】函数的图像如图：若方程有四个不同的实根，满足，则必有，得，.故答案为：11.16、【解题分析】由条件可得函数的单调性，结合，分和利用单调性可解.【题目详解】因为，时，，所以在上单调递减，又因为为奇函数，且，所以在上单调递减，且.当时，不等式，得；当时，不等式，得.综上，不等式的解集为.故答案：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，解得的值，再根据，解得的值从而求得的解析式；（2）设，化简可得，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果【题目详解】解：（1）依题意得∴∴∴（2）证明：任取，∴∵，∴，，，由知，，∴.∴.∴在上单调递增.18、（1）是偶函数，证明见解析（2）证明见解析【解题分析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义证明即可，（2）利用单调性的定义证明【小问1详解】为偶函数，证明如下：定义域为R，因为，所以是偶函数.【小问2详解】任取，且，则因为，所以，所以，即，由函数单调性定义可知，在区间上单调递减.19、（1）（2）（3）【解题分析】（1）化简式子可得，平方后利用同角三角函数的基本关系求解；（2）分子分母同除以，化切后，由两角和的正切公式可得解；（3）根据二倍角的余弦公式求解.【小问1详解】由可得，，平方得，，所以，即，因为为第三象限角，所以.【小问2详解】由可得，即，所以【小问3详解】由（1）知，，所以.20、（1）π（2）x∈-π6,π3时，f(x)【解题分析】（1）对f(x)化简后得到fx=sin2x-π6【小问1详解】f(x)=所以f(x)的最小正周期为2【小问2详解】当x∈-π故当-π2⩽2x-π6当π2⩽2x-π6⩽当2x-π6∈所以-32⩽f(x)⩽121、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）根据几何体的结构特征，可以为坐标原点，分别为轴和轴建立