平面向量数量积 教案 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的数量积教学目标：1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2.掌握平面向量的数量积的重要性质和运算律，并能运用这些性质解决有关问题；3.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.教学重点：平面向量数量积的概念、几何意义及性质.教学难点：平面向量数量积的定义及应用.教学方法：启发探究式、讲练结合法.教学过程：一、情景导学复习：前面我们已经学过：向量的加法、减法、数乘运算。它们有一个共同的特点：运算的结果还是向量，但这些运算与实数运算有了很大的区别。向量的某种运算有没有可能是数量呢？导入：在物理课中，我们学过功的概念，如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么F所做的功W可由下式计算：(其中是F与S的夹角)（复习向量夹角的定义）问题：力F和位移S分别是什么量？功W呢？问题：当夹角变化时，功有什么特点？从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.二、讲授新课1.平面向量的数量积师：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（内积），记作，即：=.规定：零向量与任一向量的数量积为0.师：向量的数量积结果是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负呢？它的符号由什么决定？注意：①表示是数量而不是向量，符号由决定；②符号“”在数量积运算中不能省略也不能用“”代替；③在运用数量积定义解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：平面向量数量积的重要性质：设和都是非零向量（1）当与同向时,=（2）=或（用于计算向量的模）（常记作）（3）（两个向量垂直的充要条件）（4）当与反向时,=（5）（用于计算向量的夹角）（6）（柯西不等式的向量形式）例1已知，，与的夹角，求.变式1已知中，,求.变式2已知，，，求与的夹角.ABABOB1叫做在方向上的投影。叫做在方向上的投影。的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积（或等于的长度与在方向上的投影的乘积）。例2：已知，为单位向量，当与之间的夹角分别为时，画图表示在方向上的投影，并求其值。向量数量积的运算律已知向量、、和实数，则===（1）（2）学生口答，（3）教师引导学生证明例3：我们知道，对任意的，恒有，对任意的，是否也有下面类似的结论？例4：已知，，与的夹角，求.变式已知，，，求与的夹角.例5：已知，，且与不共线.为何值时，向量与互相垂直？总结：求向量的模长==三、课堂检测1.已知向量,满足，，，那么与的夹角为.2.已知向量,满足，，则.3.已知非零向量,，满足，且，则与的夹角为.4.等边三角形ABC的边长为1，，那么四、课堂小结平面向量的数量积的物理背景平面向量的数量积的概念3.平面向量数量积的重要性质4.平面向量数量积的几何意义5.平面向量数量积的运算律6.平面向量数量积的应用五、探究高考题已知向量,的夹角为，，,则.2.已知,为单位向量，且，若，则.3.已知非零向量满足，，若，则实数的值为.4.若非零向量满足，且，则与的夹角为六、课后作业1.已知，，，求，2.已知，，与的夹角，