2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二年级下册学期期末模拟数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二下学期期末模拟数学试题一、单选题1．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C2．已知当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，若，则公差为的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，可知，列出不等式组即可求解.【详解】由已知可得，，又，所以解得故选：A3．已知，，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.【详解】因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.故选：C4．已知一个竖直放在水平地面上的圆柱形容器中盛有20cm高的水，若将一半径与圆柱底面半径相同的实心钢球缓缓放入该容器中，最后水面恰好到达钢球顶部，则该钢球的表面积为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据圆柱和球的体积公式，结合球的表面积公式进行求解即可.【详解】设钢球的半径为rcm，则圆柱的底面半径也为rcm，故，解得，故钢球的表面积．故选：B5．若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.6．若，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式得，再利用同角三角函数的基本关系，结合题目条件得结论．【详解】因为，所以，故选：A7．设，则“直线与直线平行”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线平行的性质分析判断即可.【详解】若直线与直线平行，则；若，则直线与直线平行，直线与直线平行是的充分必要条件．故选：B8．已知复数，则z的共轭复数=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用复数的乘方化简复数z，再求其共轭复数.【详解】因为，，所以，则，故选：C．二、多选题9．一组数据，，…，是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（

）A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变【答案】BC【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断A,由中位数的概念可判断B，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断C，根据极差及等差数列的通项公式可判断D.【详解】由题意可知，对于选项A，原数据的平均数为，去掉，后的平均数为即平均数不变，故选项A错误;对于选项B，原数据的中位数为，去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，故选项B正确；对于选项C，设公差为d,则原数据的方差为,去掉，后的方差为，即方差变小，故选项C正确；对于选项D，原数据的极差为，去掉，后的极差为,即极差变小，故选项D错误.故选：BC10．下列结论中，所有正确的结论是（

）．A．若，则 B．若实数a、b、，则C． D．若实数a，，，则【答案】AD【分析】利用不等式的性质和基本不等式对选项逐个判断即可.【详解】对于A选项，若，则，，所以，由不等式的基本性质可得，A选项正确；对于B选项，由于a、b、m均为正实数，则，由于a、b的大小关系不确定，则的符号不确定，所以与的大小关系不确定，B选项错误；对于C选项，当时，，此时，故C选项错误；对于D选项，由于正实数a、b满足，，当且仅当时等号成立，故D选项正确.故选：AD11．已知数列满足，，则下列结论中正确的是（

）A．B．为等比数列C．D．【答案】AD【分析】利用递推式可求得的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;【详解】，则，又，同理，故A正确；而，故不是等比数列，B错误；，故C错误；，故D正确，故选：AD12．双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（

）．A． B． C． D．2【答案】AC【分析】设出切线方程，与双曲线方程联立，根据过点能作该双曲线的两条切线，求得a的取值范围，即可求得双曲线的离心率的取值范围，从而可得答案.【详解】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是，由得，显然时，所得直线只有一条，不满足题意，所以，由得，整理为，由题意此方程有两不等实根，所以，，则为双曲线的半焦距，，即，代入方程，得，此时，综上，e的范围是故选：AC

三、填空题13．设函数是R内的可导函数，且，则.【答案】【解析】先利用换元法求出的解析式，再对函数求导，从而可求出的值【详解】令，，所以，，.故答案：，【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题14．在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为.【答案】12【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等且等于球体半径，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，

由题意可知，为球心，在正方体中，，即，则球心到的距离为，所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为:12.15．已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于．【答案】【详解】由题意得：即16．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是.【答案】【分析】设右焦点为，连接，.判断出四边形为矩形.在中，解三角形求出，，利用椭圆的定义得到，即可求出离心率.【详解】设右焦点为，连接，.因为，即，可得四边形为矩形.在中，，.由椭圆的定义可得，所以，所以离心率.故答案为：.四、解答题17．设，向量，，．(1)令，求证：数列为等差数列；(2)求证：．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算可得，进而可得，结合等差数列的定义分析证明；（2）利用裂项相消法分析证明.【详解】（1）由题意可得：，则，可得，故数列是以首项，公差的等差数列.（2）由（1）可得：，则，∵，故.18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，(1)求C；(2)若的面积为，求c．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由二倍角公式，代入即可求得，由，则；（2）由三角形的面积公式，根据正弦定理即可求得R，由，即可求得c的值．【详解】（1）由，则，整理得：，，，由，则，角C为；（2）由的面积，则，整理得：由正弦定理可知：，为外接圆半径，则，解得：，，的值为19．函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)设，，若时，取极小值，证明：．【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】（1）求出函数的导数，根据a的符号，求出函数的单调区间即可；（2）根据时，取极小值，可得，构造函数设，求导得到函数的单调区间，求出函数的最值证明即可．【详解】（1）由函数知其定义域为，则，当时，恒成立，所以在单调递减；当时，若，得；若，则，所以在单调递减，在单调递增．（2）由，则，由条件得，所以，此时，又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以时，取极小值成立，此时设，则，所以当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，故，故．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值以及不等式的证明等问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体中，，E为的中点，F为的中点，．（1）求证：四棱锥为阳马；（2）求平面与平面所成二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据题意，先证明四边形为矩形，再证明平面即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式即可解得.【详解】（1）∵E为的中点，F为的中点，∴，，平面，∴四边形为矩形，∵，∴．又∵平面，∴，又，∴平面，∴四棱锥为阳马.

（2）以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系．则，.设平面的法向量为，则，令z=-1，则.同理可得：平面的法向量.则，所以平面与平面所成二面角为．21．随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中．①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少?②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于．【答案】（1）①甲在第一次中奖的概率为，乙在第二次中奖的概率为；②分布列见解析，；（2）证明见解析．【分析】（1）①确定参与抽奖人数和中奖人数，可得概率，其中乙第二次中奖，是在第一次不中奖的基础上才能第二次抽中奖，由条件概率公式计算；②设甲参加抽奖活动的次数为，则，注意第2次中奖是在第一次未中奖的条件下才发生，同样第3次中奖是在前2次都未中奖的条件下才可能发生．由条件概率公式计算出概率的分布列，由期望公式可计算期望；（2）丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为．“丙中奖”为事件，则，设丙参加抽奖活动的次数为，求出丙在第和次中奖的概率和，这两个概率相等，这样在丙中奖这个条件下可得第次和第次中奖的概率和，由期望公式计算出期望，用错位相减法求得分子的和，得化简后可证结论．【详解】（1）①甲在第一次中奖的概率为，乙在第二次中奖的概率为．②设甲参加抽奖活动的次数为，则，；；，123∴．（2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为．设丙参加抽奖活动的次数为，“丙中奖”为事件，则，令，则丙在第次中奖的概率在第次中奖的概率，即，在丙中奖的条件下，在第，次中奖的概率为，则丙参加活动次数的均值为，设，则，∴，，所以．【点睛】本题考查条件概率，考查随机事件的概率分布列和数学期望，难点是理解中奖规则，得出和，考查了数据处理能力，运算求解能力，属于难题．22．抛物线的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，的面积为(1)求抛物线C的方程；(2)若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求面积S的最小值．【答案】(1)(2)【分析】由已知，直线AB的方程为，将直线方程和抛物线方程联立，利用求出p，即可得到抛物线方程；设，，，切线l的方程为，由题意得到由直线l与抛物线相切，得，得直