2022-2023学年河南省开封市第八中学高一数学理期末试卷含解析

2022-2023学年河南省开封市第八中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量=（sinθ，1），=（0，cosθ），θ∈[﹣，]，则|+|的取值范围是（）A．[0，] B．[0，2] C．[1，2] D．[，2]参考答案：D【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，利用向量的数量积公式及同角三角函数关系式求出向量的模的取值范围．【解答】解：∵=（sinθ，1），=（0，cosθ），∴a+=（sinθ，1+cosθ），∴|+|2=sin2θ+（1+cosθ）2=sin2θ+1+cos2θ+2ocsθ=2+2cosθ，∵θ∈[﹣，]，∴cosθ∈[0，1]，∴2+2cosθ∈[2，4]，∴|a+b|∈[，2]．故选：D．【点评】本题考查向量模的计算，向量的数量积公式、三角函数公式的应用．2.已知点G是△ABC内一点，满足，若，，则的最小值是（

）.A. B. C.

D.参考答案：A【分析】根据向量关系，利用，表示，再根据向量的模以及基本不等式求最值.【详解】因为++=，所以G是△ABC重心，因此，从而,选A.(当且仅当时取等号)【点睛】本题考查向量数量积、向量的模以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.3.将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D【知识点】三角函数图像变换解：将函数的图象先向左平移，得到

再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，得到。

故答案为：D4.设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意，恒有，则

（

） A．K的最大值为

B．K的最小值为 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1参考答案：B略5.在△ABC中，，，，则b的值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先根据三角形内角和求得，进而利用正弦定理以及，和求得．【详解】解：由正弦定理可知，故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．6.函数f（x）=sin（+x）sin（﹣x）是（）A．周期为2π的奇函数 B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数参考答案：D【考点】GT：二倍角的余弦；H1：三角函数的周期性及其求法；H8：余弦函数的奇偶性．【分析】把函数解析式第二个因式中的角﹣x变形为﹣（+x），利用诱导公式sin（﹣α）=cosα化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，最后利用诱导公式sin（+α）=cosα化为一个余弦函数，根据余弦函数为偶函数，得到函数f（x）为偶函数，找出ω的值，代入周期公式T=，求出函数的最小正周期，可得出正确的选项．【解答】解：f（x）=sin（+x）sin（﹣x）=sin（+x）sin[﹣（+x）]=sin（+x）cos（+x）=sin（2x+）=cos2x，∵ω=2，∴T==π，又函数y=cos2x为偶函数，∴f（x）为偶函数，则f（x）为周期是π的偶函数．故选D7.设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．8.已知，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.1037和425的最大公约数是()A．51 B．17 C．9 D．3参考答案：B10.已知集合，，则的有（

）A．3个

B．4个

C．5个

D．6个参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，二面角等于120°，A、B是棱上两点，AC、BD分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于______．参考答案：2【分析】由已知中二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．【详解】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于120°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案为：2．【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．12.若函数的零点则_________.参考答案：1略13.函数的定义域为 .参考答案：略14.将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为__________参考答案：15.已知在R上是奇函数，且，当时，则＝_______.参考答案：

-3

略16.若函数，则=

参考答案：17.已知,则的值是_____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝(1)求f(f(－2))的值；(2)求f(a2＋1)(a∈R)的值；(3)当－4≤x<3时，求函数f(x)的值域..参考答案：(1)∵f(－2)＝1－2×(－2)＝5，∴f(f(－2))＝f(5)＝4－52＝－21.………………（3分）(2)∵当a∈R时，a2＋1≥1>0，∴f(a2＋1)＝4－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋3(a∈R).…………（7分）(3)①当－4≤x<0时，∵f(x)＝1－2x，∴1<f(x)≤9.②当x＝0时，f(0)＝2.③当0<x<3时，∵f(x)＝4－x2，∴－5<f(x)<4.故当－4≤x<3时，函数f(x)的值域是(－5,9].…………（12分）19.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点在水平地面下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为，A地测得最高点H的仰角为，求该仪器的垂直弹射高度CH．(结果保留根式)参考答案：由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－40，

在△ABC内，由余弦定理：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，

解得x＝420.

在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米.20.已知

（1）求的值，使得。

5分

（2）若，求的值。

5分参考答案：21.已知集合，(1)若A中只有一个元素，求的值，并求出这个元素；(2)若A∩B＝A，求的取值范围．参考答案：(1)当a＝0时，A＝｛x｜2x＋3＝0，x∈R｝＝｛－｝，适合题意；当a≠0时，△＝4－12a＝0，得a＝，A＝｛－3｝．故所求a的值为0或．(2)B＝｛－1，3｝，由A∩B＝A得AB，当△＝4－12a＜0，即a＞时，A＝，A∩B＝A成立；当A中只有一个元素时，由(1)可知AB不成立；当A中只有二个元素时，A＝B＝｛－1，3｝，故－1＋3＝－，解得a＝－1.综上所述，所求a的值为a＞或a＝－122.如图，梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，E为AB中点，=λ（0≤λ≤1）．（Ⅰ）当λ=，用向量，表示的向量；（Ⅱ）若||=t（t为大于零的常数），求||的最小值并指出相应的实数λ的值．参考答案：【分析】（I）过C作CF∥AB，交AD于F，则F为AD中点，用表示出，利用三角形法则即可得出结论；（II）根据（I）得出的表达式，两边平方得出关于λ的二次函数，根据二次函数的性