2022年江西省赣州市全南中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022年江西省赣州市全南中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则的解集为（

）A．

B．C．

D．参考答案：A2.如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取值范围是A．

B.

C.

D.参考答案：B取的中点M,的中点N,连结，可以证明平面平面，所以点P位于线段上，把三角形拿到平面上，则有,所以当点P位于时，最大，当P位于中点O时，最小，此时，所以，即，所以线段长度的取值范围是，选B.3.如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为所以选C.4.设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则（

）A．的图象过点

B．的一个对称中心是 C．在上是减函数D．将的图象向右平移个单位得到函数的图象参考答案：B略5.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是

(

)(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：A6.执行如图所示的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：C7.函数的零点个数为

(A)3

(B)2

(C)l

(D)0参考答案：B8.已知集合，，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B9.设集合，，则M∪N=（

）A.[－1,+∞） B.（－1,+∞） C.（－1,3） D.（0,3）参考答案：A【分析】由对数不等式求出N，再利用两个集合的并集的定义求出.【详解】解：由题意可得：，由，可得=，故选A.【点睛】本题主要考查并集及其运算即对数不等式的解法，相对简单.10.设集合，则（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（几何证明选讲选做题）如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,则_________.参考答案：212.函数的图象在点处的切线方程为

．参考答案：y=4x-313.已知函数，给定条件：，条件：，若是的充分条件，则实数的取值范围为

▲

．参考答案：14.展开式中的系数是

（用数字作答）。参考答案：答案：

15.若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．参考答案：【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵角θ的终边过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinθ=﹣，则sin（θ﹣π）=﹣sinθ=，故答案为：．16.圆上动点到直线距离的最小值为_______．参考答案：略17.在＝

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=k（x﹣1）﹣2lnx（k＞0）．（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数k的值；（2）设函数g（x）=xe1﹣x（其中e为自然对数的底数），若对任意给定的s∈（0，e），均存在两个不同的ti∈（）（i=1，2），使得f（ti）=g（s）成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知：当f（x）=0，则k（x﹣1）﹣2lnx=0，即（x﹣1）=lnx，若k＞0，当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，则直线为曲线y=lnx在x=1处的切线，则，即可求得实数k的值；（2）g（x）=xe1﹣x，求导知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，令g'（x）≥0，求得函数的单调递增区间，g'（x）＜0，求得函数的单调递减区间，求得其值域，对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间上有两个不等实根，根据函数的单调性求得函数的最小值，h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，求导，利用导数求得其单调区间及最大值，则，即可求得实数k的取值范围．【解答】解：（1）由于f（1）=0，则由题意，f（x）有且只有一个零点x=1，令f（x）=0，k（x﹣1）﹣2lnx=0，则（x﹣1）=lnx若k＞0，当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，直线为曲线y=lnx在x=1处的切线，则，即k=2，综上，实数k的值为2．（2）由g（x）=xe1﹣x可知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，令g'（x）≥0，解得：x≤1，g'（x）＜0，解得：x＞1，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，从而g（x）在（0，e）上的值域为（0，1）；则原题意等价于：对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间上有两个不等实根，，由于f（x）在上不单调，则，且f（x）在上单调递减，在上单调递增，则函数f（x）的最小值为，记h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，则h′（x）=﹣1+=，由h′（x）＞0解得：x＜2，从而函数h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，最大值为h（2）=0，即；另一方面，由；综上，实数k的取值范围为．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，导数与不等式的综合应用，考查构造法，考查计算能力，属于难题．19.(20分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b．

（1）求直线ax＋by＋5=0与圆x2＋y2=1相切的概率；

（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．参考答案：解析：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．----------------------------（5分）∵直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的充要条件是即：a2＋b2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5；或a=4,b=3,c=5两种情况．∴直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是

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（10分）20.如图所示，已知圆O的半径长为4，两条弦AC，BD相交于点E，若，BE＞DE，E为AC的中点，．（1）求证：AC平分∠BCD；（2）求∠ADB的度数．参考答案：【考点】NB：弦切角．【分析】（1）由已知可证△ABE∽△ACB，即可得到∠ABE=∠ACB，又∠ACD=∠ABE，从而证明∠ACD=∠ACB，得到结论．（2）连接OA，则OA⊥BD，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，连接OB，可求cos∠AOB=的值，进而可求∠AOB，及∠ADB的度数．【解答】解：（1）由E为AC的中点，，得．又∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∠ACD=∠ABE，∴∠ACD=∠ACB，故AC平分∠BCD．（2）连接OA，由点A是弧BAD的中点，则OA⊥BD，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，，连接OB，则，∴，∠AOB=60°．∴°．21.（本题14分）设函数.（Ⅰ）求函数的图像在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（III）若，为整数，且当时，，求的最大值．西安市第一中学参考答案：（Ⅰ），，函数的图像在点处的切线方程为（Ⅱ）.若，则恒成立，所以，在区间上单调递增.若，则当时，，当时，，所以，在区间上单调递减，在上单调递增.（III）由于，所以，故当时，①令，则函数在上单调递增，而所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点.设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得所以，由于①式等价于.故整数的最大值为2.22.（09年宜昌一中10月月考理）（14分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点和，且。（1）试求函数的单调区间；（2）已知各项不为零的数列满足，求证：；（3）设，为数列的前项和，求证：。参考答案：解析：（1）设

∴

∴

由，

又∵

∴

∴

……3分

于是

由得或；

由得或

故函数的单调递增区间为和，单调减区间为和

……4分（2）由已知可得，

当时，

两式相减得

∴或当时，，若，则这与矛盾∴

∴

……6分于是，待证不等式即为。为此，我