江苏省大丰市南阳中学2024届高一数学第一学期期末质量检测试题含解析

江苏省大丰市南阳中学2024届高一数学第一学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（）A B.C. D.2．已知，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.3．已知函数，若存在实数，（）满足，则的最小值为（）A B.C. D.14．已知扇形的周长是6，圆心角为，则扇形的面积是（）A.1 B.2C.3 D.45．若存在正数x使成立，则a的取值范围是A. B.C. D.6．定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.可正可负 D.可能为07．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为A. B.C. D.8．等于()A.2 B.12C. D.39．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号12345678频数1013141513129第3组的频数和频率分别是（）A.和14 B.14和C.和24 D.24和10．下列哪组中的两个函数是同一函数（）A与 B.与C.与 D.与二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知样本9，10，11，，的平均数是10，标准差是，则______，______.12．若点在角终边上，则的值为_____13．命题“，”的否定是___________.14．若函数与函数的最小正周期相同，则实数______15．函数y=的定义域是______.16．已知圆心角为2rad的扇形的周长为12，则该扇形的面积为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知二次函数，若不等式的解集为，且方程有两个相等的实数根.（1）求的解析式；（2）若，成立，求实数m的取值范围.18．已知，且.（1）求的值；（2）求的值.19．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整；函数的解析式为（直接写出结果即可）；（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象；（3）求函数在区间上最大值和最小值20．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.21．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】令幂函数且过(2,)，即有，进而可求的值【题目详解】令，由图象过(2,)∴，可得故∴故选：A【题目点拨】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题2、A【解题分析】利用对数函数和指数函数的性质求解【题目详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴故选：A3、A【解题分析】令=t，分别解得，，得到，根据参数t的范围求得最小值.【题目详解】当0≤x≤2时，0≤x2≤4，当2<x≤3时，2<3x－4≤5，则[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令=t∈(2，4]，则，，∴，当，即时，有最小值，故选：A.4、B【解题分析】设扇形的半径为r，弧长为l，先由周长求出半径和弧长，即可求出扇形的面积.【题目详解】设扇形的半径为r，弧长为l，因为圆心角为，所以.因为扇形的周长是6，所以，解得：.所以扇形的面积是.故选：B5、D【解题分析】根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案【题目详解】根据题意，，设，由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，则在上，恒成立；若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；即a的取值范围为；故选D【题目点拨】本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题6、A【解题分析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知选A7、D【解题分析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积【题目详解】根据题意，画出示意图如下图所示因为，所以三角形ABC为直角三角形，面积为，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值即当DQ⊥平面ABC时体积最大所以所以设球心为O，球的半径为R，则即解方程得所以球的表面积为所以选D【题目点拨】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题8、C【解题分析】利用对数的运算法则即可得出【题目详解】原式=故选C.【题目点拨】本题考查了对数的运算法则，属于基础题9、B【解题分析】根据样本容量和其它各组的频数，即可求得答案.【题目详解】由题意可得：第3组频数为，故第3组的频率为，故选：B10、D【解题分析】根据同一函数的概念，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】A选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错；B选项，定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错；C选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故C错；D选项，与的定义域都为，且，对应关系一致，故D正确.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.20②.96【解题分析】先由平均数的公式列出x+y=20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值.【题目详解】根据平均数及方差公式，可得:化简得：，，或则，故答案为：20；96【题目点拨】本题主要考查了平均数和方等概念，以及解方程组，属于容易题.12、5【解题分析】由三角函数定义得13、“，”【解题分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【题目详解】因为全称命题的否定为特称命题，故命题“，”的否定为：“，”故答案为：“，”14、【解题分析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值【题目详解】：函数的周期是；函数的最小正周期是：；因为周期相同，所以，解得故答案为【题目点拨】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力15、【解题分析】要使函数有意义，需满足，函数定义域为考点：函数定义域16、9【解题分析】根据题意条件，先设出扇形的半径和弧长，并找到弧长与半径之间的关系，通过已知的扇形周长，可以求解出扇形的半径和弧长，然后再利用完成求解.【题目详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得，圆心角，则，因为扇形的周长为12，所以，所以，，则.故答案为：9.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据的解集为，可得1,2即为方程的两根，根据韦达定理，可得b，c的表达式，根据有两个相等的实数根.可得该方程，即可求得a的值，即可得答案；（2）由题意得使成立，则只需，利用基本不等式，即可求得答案.【题目详解】（1）因为的解集为，所以1,2即为方程的两根，由韦达定理得，且，解得，，又方程有两个相等实数根，所以，即，，解得，所以，所以；（2）由（1）可得，，所以，则，，又，当且仅当，即x=2时等号成立，所以，使成立，等价为成立，所以.【题目点拨】已知解集求一元二次不等式参数时，关键是灵活应用韦达定理，进行求解，处理存在性问题时，需要，若处理恒成立问题时，需要，需认真区分问题，再进行解答，属中档题.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的值；（2）利用诱导公式以及弦化切可求得结果.【小问1详解】解：因为，且，则为第三象限角，故，因此，.【小问2详解】解：原式.19、（1）见解析；（2）详见解析；（3）当时，；当时，【解题分析】（1）由表中数据可以得到的值与函数周期，从而求出，进而求出，即可得到函数的解析式，利用函数解析式可将表中数据补充完整；（2）结合三角函数性质与表格中的数据可以作出一个周期的图象；（3）结合正弦函数单调性，可以求出函数的最值【题目详解】（1）根据表中已知数据，解得，，，数据补全如下表：函数表达式为.（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象见下图：（3）令，，则，则，，可转化为，，因为正弦函数在区间上单调递减，在区间（上单调递增，所以，在区间上单调递减，在区间（上单调递增，故的最小值为，最大值为，由于时，；时，，故当时，；当时，.【题目点拨】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题20、（1）分别抽取人，人，人；（2）【解题分析】（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.【题目详解】（1）第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为，因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组:；第组:；第组:.所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有:，，，，，，，，，，，，，，，共有种.其中第组的志愿者被抽中的有种，答：第组的志愿者有被抽中的概率为【题目点拨】本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.21、(1)为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）【解题分析】（1）判断是否为“局部中心函数”，即判断方程是否有解，若有解，则说明是“局部中心函数”，否则说明不是“局部中心函数”；（2）条件是定