二次函数和三角形最大面积的3种求法

./二次函数与三角形最大面积的3种求法一．解答题〔共7小题1．〔2012•广西已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A〔3,0和点C,与y轴交于点B〔0,3．〔1求抛物线的解析式；〔2在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点D的坐标；〔3在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得△ABP的面积最大？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．2．〔2013•如图,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,已知点B的坐标为〔3,0．〔1求a的值和抛物线的顶点坐标；〔2分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M,使△AMC与△ABC的面积相等；〔3设N是抛物线对称轴上的一个动点,d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N,使d的值最大？若存在,请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在,请简单说明理由．3．〔2011•如图,在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线经过点A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,抛物线对称轴l与x轴相交于点M．〔1求抛物线的解析式和对称轴；〔2点P在抛物线上,且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标；〔3连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大？若存在,请你求出点N的坐标；若不存在,请你说明理由．4．〔2012•黔西南州如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过点A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．〔1求抛物线对应的函数解析式和对称轴；〔2设点P为抛物线〔x＞5上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标；〔3连接AC,探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大？若存在,请你求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．5．〔2013•如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是〔1,0,C点坐标是〔4,3．〔1求抛物线的解析式；〔2在〔1中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小？若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由；〔3若点E是〔1中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标．6．〔2009•江津区如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A〔1,0,B〔﹣3,0两点．〔1求该抛物线的解析式；〔2设〔1中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在,求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由；〔3在〔1中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大？若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有,请说明理由．7．如图,已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A〔1,0,C〔0,3,且对称轴为直线x=﹣1．〔1求二次函数的表达式；〔2在抛物线上是否存在点P,使△PAB得面积为10,请写出所有点P的坐标．二次函数与三角形最大面积的3种求法参考答案与试题解析一．解答题〔共7小题1．〔2012•广西解答：解：〔1∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A〔3,0和点B〔0,3,∴,解得a=﹣1,c=3,∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．〔2对称轴为x==1,令y=﹣x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=﹣1,∴C〔﹣1,0．如图1所示,连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点,由于A、C两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．设直线AB的解析式为y=kx+b,由A〔3,0、B〔0,3可得：,解得k=﹣1,b=3,∴直线AB解析式为y=﹣x+3．当x=1时,y=2,∴D点坐标为〔1,2．〔3结论：存在．如图2所示,设P〔x,y是第一象限的抛物线上一点,过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,AN=OA﹣ON=3﹣x．S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB=〔OB+PN•ON+PN•AN﹣OA•OB=〔3+y•x+y•〔3﹣x﹣×3×3=〔x+y﹣,∵P〔x,y在抛物线上,∴y=﹣x2+2x+3,代入上式得：S△ABP=〔x+y﹣=﹣〔x2﹣3x=﹣〔x﹣2+,∴当x=时,S△ABP取得最大值．当x=时,y=﹣x2+2x+3=,∴P〔,．所以,在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得△ABP的面积最大；P点的坐标为〔,．2．〔2013•解答：解：〔1∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B〔3,0,∴9a﹣×3+2=0,解得a=﹣,∴y=﹣x2﹣x+2,∵y=﹣x2﹣x+2=﹣〔x2+3x+2=﹣〔x+2+,∴顶点坐标为〔﹣,；〔2∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣,与x轴交于点A和点B,点B的坐标为〔3,0,∴点A的坐标为〔﹣6,0．又∵当x=0时,y=2,∴C点坐标为〔0,2．设直线AC的解析式为y=kx+b,则,解得,∴直线AC的解析式为y=x+2．∵S△AMC=S△ABC,∴点B与点M到AC的距离相等,又∵点B与点M都在AC的下方,∴BM∥AC,设直线BM的解析式为y=x+n,将点B〔3,0代入,得×3+n=0,解得n=﹣1,∴直线BM的解析式为y=x﹣1．由,解得,,∴M点的坐标是〔﹣9,﹣4；〔3在抛物线对称轴上存在一点N,能够使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B,∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称．连接BC并延长,交直线x=﹣于点N,连接AN,则AN=BN,此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．设直线BC的解析式为y=mx+t,将B〔3,0,C〔0,2两点的坐标代入,得,,∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,当x=﹣时,y=﹣×〔﹣+2=3,∴点N的坐标为〔﹣,3,d的最大值为BC==．3．〔2011•解答：解：〔1根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a〔x﹣1〔x﹣5,把点A〔0,4代入上式得：a=,∴y=〔x﹣1〔x﹣5=x2﹣x+4=〔x﹣32﹣,∴抛物线的对称轴是：x=3；〔2P点坐标为：〔6,4,由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又∵点P的坐标中x＞5,∴MP＞2,AP＞2；∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,在Rt△AOM中,AM===5,∵抛物线对称轴过点M,∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,即P〔6,4；〔3在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t,此时点N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,过点N作NG∥y轴交AC于G；作AM⊥NG于M,由点A〔0,4和点C〔5,0可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；把x=t代入得：y=﹣t+4,则G〔t,﹣t+4,此时：NG=﹣x+4﹣〔t2﹣t+4=﹣t2+4t,∵AM+CF=CO,∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=〔﹣t2+4t×5=﹣2t2+10t=﹣2〔t﹣2+,∴当t=时,△CAN面积的最大值为,由t=,得：y=t2﹣t+4=﹣3,∴N〔,﹣3．4．〔2012•黔西南州解答：解：〔1根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a〔x﹣1〔x﹣5,将点A〔0,4代入上式解得：a=,即可得函数解析式为：y=〔x﹣1〔x﹣5=x2﹣x+4=〔x﹣32﹣,故抛物线的对称轴是：x=3；〔2P点坐标为：〔6,4,由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又∵点P的坐标中x＞5,∴MP＞2,AP＞2；∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,在Rt△AOM中,AM===5,∵抛物线对称轴过点M,∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,即P〔6,4；〔3在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t,此时点N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,过点N作NG∥y轴交AC于G,作AM⊥NG于M,由点A〔0,4和点C〔5,0可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；把x=t代入y=﹣x+4,则可得G〔t,﹣t+4,此时：NG=﹣x+4﹣〔t2﹣t+4=﹣t2+4t,∵AM+CE=CO,∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CE=NG•OC=〔﹣t2+4t×5=﹣2t2+10t=﹣2〔t﹣2+,∴当t=时,△CAN面积的最大值为,由t=,得：y=t2﹣t+4=﹣3,∴N〔,﹣3．5．〔2013•解答：解：〔1∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A〔1,0,点C〔4,3,∴,解得,所以,抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；〔2∵点A、B关于对称轴对称,∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小,设直线AC的解析式为y=kx+b〔k≠0,则,解得,所以,直线AC的解析式为y=x﹣1,∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣22﹣1,∴抛物线的对称轴为直线x=2,当x=2时,y=2﹣1=1,∴抛物线对称轴上存在点D〔2,1,使△BCD的周长最小；〔3如图,设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m,联立,消掉y得,x2﹣5x+3﹣m=0,△=〔﹣52﹣4×1×〔3﹣m=0,即m=﹣时,点E到AC的距离最大,△ACE的面积最大,此时x=,y=﹣=﹣,∴点E的坐标为〔,﹣,设过点E的直线与x轴交点为F,则F〔,0,∴AF=﹣1=,∵直线AC的解析式为y=x﹣1,∴∠CAB=45°,∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×=,又∵AC==3,∴△ACE的最大面积=×3×=,此时E点坐标为〔,﹣．6．〔2009•江津区解答：解：〔1将A〔1,0,B〔﹣3,0代y=﹣x2+bx+c中得〔2分∴〔3分∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；〔4分〔2存在〔5分理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小∵y=﹣x2﹣2x+3∴C的坐标为：〔0,3直线BC解析式为：y=x+3〔6分Q点坐标即为解得∴Q〔﹣1,2；〔7分〔3存在．〔8分理由如下：设P点〔x,﹣x2﹣2x+3〔﹣3＜x＜0∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣若S四边形BPCO有最大值,则S△BPC就最大,∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC〔9分=BE•PE+OE〔PE+OC=〔x+3〔﹣x2﹣2x+3+〔﹣x〔﹣x2﹣2x+3+3=当x=﹣时,S四边形BPCO最大值=∴S△BPC最大=〔10分当x=﹣