2022年黑龙江省哈尔滨市第五十七中学高二数学文测试题含解析

2022年黑龙江省哈尔滨市第五十七中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}：，+，++，…，+++…+，…，若bn=，那么数列{bn}的前n项和Sn为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】先确定数列{an}的通项，再确定数列{bn}的通项，利用裂项法可求数列的和．【解答】解：由题意，数列{an}的通项为an==，∴bn==4（﹣）∴Sn=4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=故选B．2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为（

）(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定参考答案：C3.二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A．24 B．18 C．6 D．16参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：?an﹣1?2b=an﹣1b，∴=8，解得n=4．它的第三项的二项式系数为=6．故选：C．4.已知等比数列，若+=20，+=80，则+等于

A．480

B．320

C．240

D．120参考答案：B5.设M是△ABC内一点，且，∠BAC=30°，定义f(M)=(m，n，p)，其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)=(，x，y)，则的最小值是………………………（

）A、8

B、9 C、16

D、18参考答案：D6.等比数列前项和为54，前项和为60，则前项和为（

）A． B． C． D．参考答案：D略7.在平面直角坐标系中，矩形OABC,将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为，则的范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：A【考点】等差数列的性质．【分析】法一：设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4．法二：因为a1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4．【解答】解：法一：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，∴a1+2d=4，即a3=4．故选A．法二在等差数列中，∵a1+a5=a2+a4=2a3，∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，∴a3=4．故选A．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．9.下列求导正确的是（）．A． B． C．

D．参考答案：B【考点】63：导数的运算．【分析】先根据基本导数公式和导数的运算法则求导，再判断【解答】解：，，，，故选：．10.若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：

①若C为椭圆，则1＜t＜4；

②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；

③曲线C不可能是圆；

④若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为．

则为真命题的是（）

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④参考答案：D①C为椭圆，则且故①不正确；②若C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，故t＞4或t＜1；故②正确；t=时，曲线C是圆；

故③不正确；

④当，曲线C为椭圆，此时焦点在x轴上，由此可得焦点坐标为；若t＜1，曲线C为双曲线，此时焦点在x轴上，由此可得虚半轴长为故④正确；故选D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为,则=____________.参考答案：3抽取次品数满足超几何分布：，故，，，其期望，故.

12.命题“?x∈R，x2≥0”的否定是

．参考答案：?x∈R，x2＜0【考点】命题的否定．【分析】根据一个命题的否定定义解决．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是?x∈R，x2＜0【点评】本题考查一个命题的否定的定义．13.若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于．参考答案：9【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|=x，由双曲线的定义及性质得|x﹣3|=6，由此能求出|PF2|．【解答】解：设|PF2|=x，∵双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，∴a=3，b=4．c=5，∴|x﹣3|=6，解得x=9或x=﹣3（舍）．∴|PF2|=9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．14.若，则=

.参考答案：315.等差数列{an}的前n项的和sn=pn2+n（n+1）+p+3，则p=．参考答案：-3考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1，把条件代入化简求出an，由当n=1时，a1=s1求出a1，代入an列出关于p的方程求出p的值．解答：解：因为等差数列{an}的前n项的和sn=pn2+n（n+1）+p+3，所以当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=pn2+n（n+1）+p+3﹣[p（n﹣1）2+n（n﹣1）+p+3]=（2p+2）n﹣p，当n=1时，a1=s1=2p+5，也适合上式，即2p+5=（2p+2）×1﹣p，解得p=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题考查等差数列的通项公式，以及数列的前n项的和sn与an的关系式应用，属于基础题16.已知点，，则向量的坐标为

▲

.参考答案：（-5，6，-1）略17.给出下列命题:①经过空间一点一定可作一条直线与两异面直线都垂直；②经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；③已知平面、，直线a、b，若，，则；④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；．其中正确命题的序号是

．参考答案：①略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

它与曲线C：交于A、B两点。（1）求|AB|的长（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离。参考答案：解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得设，对应的参数分别为，则．

……3分所以．

……5分(Ⅱ)易得点在平面直角坐标系下的坐标为，根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为．

……8分所以由的几何意义可得点到的距离为．

……10分19.四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，PD=1，AB=，BC=CD=，AD=1．（1）求异面直线AB、PC所成角的余弦值；（2）点E是线段AB的中点，求二面角E﹣PC﹣D的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB、PC所成角的余弦值．（2）求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（，，0），B（0，，0），C（0，0，0），P（），=（﹣，0，0），=（﹣），设异面直线AB、PC所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线AB、PC所成角的余弦值为．（2）E（，，0），=（，，0），=（），=（0，），设平面PCE的法向量=（x，y，z），则，取x=，得，设平面PCB的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（），设二面角E﹣PC﹣D的大小为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴二面角E﹣PC﹣D的大小为arccos．20.如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，为的中点，平面交于点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.参考答案：证明：（1）因为，分别为，的中点，，所以.因为，所以.因为底面，所以.因为，所以平面.所以.因为，所以平面因为平面，所以.（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，，，，.由（1）可知，平面，所以平面的法向量为.设平面的法向量为因为，，所以即令，则，，所以，所以所以二面角的余弦值.21.（本题满分12分）已知集合，，（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.参考答案：（1）当时,.(2)因为,当A=时，

则a-1＞2a+1，即a＜-2当A≠时，则或,解得：或.综上：或.22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，设点，直线:，点在直线上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥．(Ⅰ)求动点Q的轨迹的方程C；

(Ⅱ)设圆M过A(1,0)，且圆心在曲线C上，设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在轴上截得的弦