球面三角形的正弦定理

球面几何为什么要研究球面几何呢？因为人类生活在地球上，而地球的表面非常接近于一个球面。在科学技术不太发达的时代，人类的活动范围非常有限，人们把大地理解成一个平面。在测量土地、计算面积时用平面几何知识就可以了。但是，航海技术发展起来以后，人们逐渐了解到大地不是一个平面，仍然用平面几何的知识来计算航海路线将会产生很大的误差。因此需要了解球面几何图形的性质，即球面几何的知识。除了航海，在大地测量、天体观测、航空以及卫星定位等各方面都需要利用球面几何的知识。所以，球面几何是一门实用性很强的学科。一、平面几何与球面几何的类比

平面几何与球面几何的类比主要从两个方面来进行：（1）概念的类比；（2）性质的类比。（1）概念的类比平面上两点的距离：过这两点之间的线段长度。球面上两点的距离：通过A、B两点的大圆上以A、B为端点的劣弧的长度。对于球面上的任意两点，在数学上可以严格证明过这两点的大圆的劣弧长度是最短的。应该把大圆上这段劣弧的长度看作是这两点的距离。

（1）概念的类比平面直线：直线没有端点，向两个方向无限延伸。球面直线：过球面上两点A、B的大圆叫作过A、B两点的球面直线。大圆是封闭的、有限的。

（1）概念的类比平面上的线段：直线上两点以及这两点之间的部分。球面上的线段：过球面上两点A、B的大圆的劣弧叫做连接A、B两点的线段。（1）概念的类比平面角：过平面上一点A的两条射线AB、AC形成的图形叫做角。球面角：从球面S上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图形叫做球面角。

（1）概念的类比平面三角形：在平面上，如果三点不在同一条直线上，那么连结三点的线段组成的图形叫做三角形.球面三角形：在球面S上，如果三点不在同一个大圆上，并且三点中没有对径点，那么由连接三点的大圆的劣弧组成的图形叫做球面三角形。（2）性质的类比相同的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。（证明在下页）边角关系：大角对大边；大边对大角。三角形的全等的判定：SSS，SAS，ASA。

设球面三角形ABC的三条边为a，b，c，球心为O，那么O-ABC是一个三面角，因为根据三面角的性质，可以直接得到下面的性质：

（2）性质的类比不同性质：平面上的任意两条直线相交或平行。球面上任意两条直线都相交。平面三角形的内角和等于180度。球面三角形的内角和大于180度。（2）性质的类比不同性质：平面三角形相似的判定：AAA。球面三角形全等的判定：AAA。（2）性质的类比不同性质：平面三角形的余弦定理：球面三角形边的余弦定理：球面三角形角的余弦定理：

（2）性质的类比不同性质平面三角形的正弦定理：

球面三角形的正弦定理：（2）性质的类比不同性质：平面三角形的面积：底边长乘高线长的一半。球面三角形的面积：球面三角形的面积等于其内角和减去，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）。二、应用计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和的面积。解：根据地理知识，北京位于北纬39°56′、东经116°20′，上海位于北纬31°14′、东经121°29′，重庆位于北纬29°30′、东经106°30′，地球半径为R=6400km。如图所示，设N为北极点，B为北京，S为上海，C为重庆。在球面三角形NBC中，弧度，，解球面三角形NBC，利用边的余弦定理

，可以求出 ，同理可得： ，，解球面三角形BSC，仍然利用边的余弦定理，，可以求出弧度，同理 弧度，弧度。所以球面三角形BSC的面积为。三、整个教材的安排四、教学难点1）几何直观、空间想象能力。2）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。四、教学难点3）极三角形：已知球面三角形ABC，现在对每条边各选择一个极点，使得都小于。我们把球面三角形叫做球面三角形ABC的球极三角形，简称极三角形。四、教学难点利用极三角形证明AAA判定定理。证明：假设在同球面或等球面上，有两个球面三角形ABC和DEF，已知它们的对应角相等，即，再设球面三角形ABC和DEF的极三角形分别是和，那么根据球面三角形与它的极三角形之间的关系，有 所以，根据“SSS”，球面三角形球面三角形