反比例函数单元名校卷

《第反比例函数》名校试题套卷一、选择题（共10小题）1．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x12．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分，则当x＝16时，大棚内的温度约为（）A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃3．已知函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数4．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（）A．﹣6 B．6 C． D．﹣5．如图，反比例函数图象的对称轴的条数是（）A．0 B．1 C．2 D．3

6．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝7．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，AB垂直x轴于点B，若S△ABO＝3，则k的值为（）A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣68．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若＝，记△CEF的面积为s1，△OEF的面积为s2，则＝（）A． B． C． D．9．关于反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．图象经过点（﹣1，﹣1） B．图象在第一、三象限 C．当x＞1时，0＜y＜1 D．当x＞0时，y随着x的增大而增大10．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（）A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥2二、填空题（共10小题）11．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为．（无需确定x的取值范围）12．如图，反比例函数y＝的图象经过点P，则k＝．13．在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．14．电压一定时，电流与电阻成反比，I＝的图象过点（1，36），当I＝18A，则R的值为Ω．

15．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k值为．16．若函数y＝4x与y＝的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是．17．已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值为．18．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能．（写出一个即可）19．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+8于A，B两点，若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是．

20．如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连接OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为．三、解答题（共10小题）21．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．

22．如图一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M（2，2）、N（﹣1，m）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OM、ON，求△MON的面积．23．为了节能减排，某公司从2017年开始投入技术改进资金，经技术改进后产品单位耗电量持续降低，具体数据如表：年度2017201820192020投入技术改进资金x万元3456产品耗电量y度/件864.84（1）请认真分析表中的数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出解析式；（2）按照这种变化，2021年已经投入技术改进资金7万元．①预计2021年产品的单位耗电量比2020年降低多少度？②若打算2021年把产品的单位耗电量降到2.8度，则还需要投入技术改进资金多少万元？

24．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？25．根据我们学习函数的经验，在探究函数性质的时候，我们往往先通过描点画图，获得函数的图象，通过观察函数的图象，获得对函数的一个感性认识，进而得到函数的性质．下面是小雯的探究函数的图象与性质的过程，请同学们结合学习反比例函数的经验将其补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是；（2）绘制函数图象：①列表x…0134…y…124421…②描点（将点补充完整）③连线（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①；②；（4）不等式的解集是．26．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点（1，1），（0.5，0.5），（﹣2，﹣2），（﹣，﹣）都是“相等点”，显然“相等点”有无数个．（1）若点P（3，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“相等点”，求这个反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求k的值；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？

28．已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y的表达式；（2）求当x＝时y的值．29．如图，点A、B分别在函数与的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（1）求△OAB的面积（用含a、b的式子表示）；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值．

30．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质：小宏根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小宏的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y…﹣﹣0m﹣﹣0n…求m，n的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：①②．

名校试题套卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据y1＜0＜y2＜y3判断出三点所在的象限，故可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵y1＜0＜y2＜y3，∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限，∴x2＜x3＜x1．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．2．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分，则当x＝16时，大棚内的温度约为（）A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x＝16代入函数解析式求出y的值即可．【解答】解：∵点B（12，18）在双曲线y＝上，∴18＝，解得：k＝216．当x＝16时，y＝＝13.5，所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．3．已知函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数【分析】根据反比例函数的定义解答．【解答】解：∵函数y＝（m+1）是反比例函数，∴m2﹣2＝﹣1且m+1≠0，解得m＝1．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟悉y＝kx﹣1（k≠0）的形式的反比例函数是解题的关键．4．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（）A．﹣6 B．6 C． D．﹣【分析】把（3，﹣2）代入解析式，就可以得到k的值．【解答】解：根据题意，得k＝xy＝﹣2×3＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的系数k，比较简单．5．如图，反比例函数图象的对称轴的条数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．【解答】解：沿直线y＝x或y＝﹣x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，关键是找到相应的对称轴．6．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y＝，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．【解答】解：由题意设y＝，由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100，∴y＝．故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：y＝．故选：A．【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．7．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，AB垂直x轴于点B，若S△ABO＝3，则k的值为（）A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．而S△ABO＝|k|，再由函数图象所在的象限确定k的值即可．【解答】解：∵点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB⊥x轴，S△ABO＝3∴S△ABO＝|k|＝3，解得k＝±6．又∵反比例函数的图象在第二象限，∴k＝﹣6．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若＝，记△CEF的面积为s1，△OEF的面积为s2，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据E，F都在反比例函数的图象上得出假设出E，F的坐标，进而分别得出△CEF的面积S1以及△OEF的面积S2，然后即可得出答案．【解答】解：过点F作FR⊥MO于点R，EW⊥NO于点W，∵＝，∴＝，∵ME•EW＝FR•NF，∴＝＝，∴S1＝（4x﹣x）（4y﹣y）＝xy，设E点坐标为：（x，4y），则F点坐标为：（4x，y），∵△OEF的面积为：S2＝S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON＝CN•ON﹣xy﹣ME•MO﹣FN•NO＝4x•4y﹣xy﹣x•4y﹣y•4x＝16xy﹣xy﹣4xy＝xy，∴＝＝．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法，根据已知表示出E，F的点坐标是解题关键，难度较大，要求同学们能将所学的知识融会贯通．9．关于反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．图象经过点（﹣1，﹣1） B．图象在第一、三象限 C．当x＞1时，0＜y＜1 D．当x＞0时，y随着x的增大而增大【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．【解答】解：A、x＝﹣1，y＝﹣1，∴图象经过点（﹣1，﹣1），故本选项错误；B、∵k＝1＞0，∴图象在第一、三象限，故本选项错误；C、当x＞1时，0＜y＜1，故本选项错误；D、∵k＝1＞0，∴当x＜0时，y随着x的增大而减小，故本选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是熟练掌握反比例函数的性质．10．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（）A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥2【分析】找到纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为x≥2；在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为x＜0．故选：D．【点评】本题考查的是给定函数的取值范围确定自变量的取值，可直接由函数图象得出．二、填空题（共10小题）11．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝．（无需确定x的取值范围）【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，故可先求得k的值．【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，∴k＝0.25×400＝100，∴y＝．故答案为：y＝．【点评】解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．12．如图，反比例函数y＝的图象经过点P，则k＝﹣6．【分析】首先根据图象写出P点坐标，再利用待定系数法把P点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值．【解答】解：根据图象可得P（3，﹣2），把P（3，﹣2）代入反比例函数y＝中得：k＝xy＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，凡是图象经过的点都能满足解析式．13．在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y3＜y2．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣k，y2＝k，y3＝k，然后求出y1，y2，y3的值，从而得到它们的大小关系．【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴﹣1×y1＝k，2y2＝k，3y3＝k，∴y1＝﹣k，y2＝k，y3＝k，而k＞0，∴y1＜y3＜y2．故答案为y1＜y3＜y2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．14．电压一定时，电流与电阻成反比，I＝的图象过点（1，36），当I＝18A，则R的值为2Ω．【分析】首先将已知点的坐标代入求得其解析式，然后代入I＝18Ω求得R的值即可．【解答】解：∵I＝的图象过点（1，36），∴U＝1×36＝36，∴解析式为：I＝，∵I＝18A，∴R＝＝2，故答案为：2．【点评】考查了反比例函数的应用，能够求得反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大．15．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k值为﹣6．【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），根据点B、E在反比例函数y＝的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，∴正方形ADEF的边长为2，∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），∵点B、E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6t＝2（t﹣2），解得t＝﹣1，k＝﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．16．若函数y＝4x与y＝的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是（﹣，﹣2）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：正比例函数y＝4x与反比例函数y＝的图象均关于原点对称，则其交点也关于原点对称，那么（，2）关于原点的对称点为：（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．17．已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值为﹣1．【分析】根据反比例函数的定义，即y＝（k≠0），只需令m2﹣2＝﹣1且m﹣1≠0即可．【解答】解：根据题意m2﹣2＝﹣1，∴m＝±1，又m﹣1≠0，m≠1，所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．18．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能0.5．（写出一个即可）【分析】根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．【解答】解：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，∴k＜1，∴k＝0.5，故答案为：0.5．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．19．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+8于A，B两点，若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤16．【分析】根据题意可知当k最小时正好过点C，当直线y＝﹣x+8与反比例函数y＝（x＞0）只有一个交点时，k取得最大值，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC有公共点，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+8于A、B两点，∴1×2≤k且y＝﹣x+8与y＝（x＞0）至少一个交点，∴k≥2且﹣x+8＝（x＞0）至少有一个解，解得：2≤k≤16，故答案为：2≤k≤16．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连接OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为6．【分析】方法一：根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO＝AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．方法二：作BD⊥x轴于点D，作AE⊥x轴于点E，然后根据三角形相似和等腰三角形的性质，可以求得△ABC的面积．【解答】解：方法一：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），∵点C是x轴上一点，且AO＝AC，∴点C的坐标是（2a，0），设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y＝kx，∴，解得，k＝，又∵点B（b，）在y＝上，∴，解得，或（舍去），∴S△ABC＝S△AOC﹣S△OBC＝＝，故答案为：6．方法二：作BD⊥x轴于点D，作AE⊥x轴于点E，∵点B在函数y＝（x＞0）的图象上，点A在函数y＝（x＞0）图象上，∴S△OBD＝，S△OAE＝，∴＝，∵∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO＝90°，∴△BOD∽△AOE，∴＝，∴＝，∴＝，∵AO＝AC，∴S△OAC＝2S△OAE＝9，∴S△ABC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．三、解答题（共10小题）21．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．【分析】（1）先把A点坐标入y＝得k＝﹣2，则反比例函数解析式为y＝﹣，再利用反比例函数解析式确定B（，﹣4），然后利用待定系数法求出一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3；（2）先求出D点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD进行计算即可；（3）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝得k＝﹣2×1＝﹣2，所以反比例函数解析式为y＝﹣，把B（，m）代入y＝﹣得m＝﹣4，则B（，﹣4），把A（﹣2，1）、B（，﹣4）分别代入y＝ax+b得，解得，所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×2+×3×＝；（3）﹣2＜x＜0或x＞．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形面积公式．22．如图一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M（2，2）、N（﹣1，m）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OM、ON，求△MON的面积．【分析】（1）根据题意代入求值即可；（2）利用分割法将大三角形面积分割成3个小三角形面积即可得答案．【解答】解：（1）∵点M（2，2），点N（﹣1，m）在反比例函数图象上，∴k＝2×2＝4，m＝﹣4，∵点M，N在一次函数的图象上，∴，解得a＝2，b＝﹣2，综上，一次函数为y＝2x﹣2，反比例函数为y＝；（2）设一次函数y＝2x﹣2与x轴、y轴交点分别为A，B∴A，B坐标分别为（1，0），（0，﹣2），∴S△MON＝S△OAB+S△OAM+S△OBN＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题．23．为了节能减排，某公司从2017年开始投入技术改进资金，经技术改进后产品单位耗电量持续降低，具体数据如表：年度2017201820192020投入技术改进资金x万元3456产品耗电量y度/件864.84（1）请认真分析表中的数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出解析式；（2）按照这种变化，2021年已经投入技术改进资金7万元．①预计2021年产品的单位耗电量比2020年降低多少度？②若打算2021年把产品的单位耗电量降到2.8度，则还需要投入技术改进资金多少万元？【分析】（1）先根据表格数据判断用反比例函数表示产品耗电度/件与投入资金的变化规律，设出函数解析式，根据x•y＝24是定值，求出函数解析式；（2）①把x＝7代入解析式求出y，再用4﹣y即可；②把y＝2.8代入函数解析式，求出x的值，再减去已经投资的7万元即可．【解答】解：（1）根据表格可知，投入技术改进资金每增加1万元，产品耗电量的减小数不相等，∴不符合一次函数的特征，∴选择反比例函数表示其变化规律，3×8＝4×6＝5×4.8＝6×4，∴y与x的函数关系式是：y＝；（2）①由（1）知：y＝，当x＝7时，y＝，则4﹣＝（度），答：预计2021年产品的单位耗电量比2020年降低度；②若打算2021年把产品的单位耗电量降到2.8度，即y＝2.8时，x＝＝，∴﹣7＝（万元）．答：还需投入技术改进资金万元．【点评】本题主要考查反比例函数的应用，关键是根据数据分析用哪一个函数能表示其变化规律．24．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）将y＝90代入反比例函数的解析式，从而求得答案．【解答】解：（1）停止加热时，设y＝，由题意得：50＝，解得：k＝900，∴y＝，当y＝100时，解得：x＝9，∴C点坐标为（9，100），∴B点坐标为（8，100），当加热烧水时，设y＝ax+20，由题意得：100＝8a+20，解得：a＝10，∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）；当停止加热，得y与x的函数关系式为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）；（2）把y＝90代入y＝，得x＝10，因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．【点评】考查了反比例函数的解析式，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．25．根据我们学习函数的经验，在探究函数性质的时候，我们往往先通过描点画图，获得函数的图象，通过观察函数的图象，获得对函数的一个感性认识，进而得到函数的性质．下面是小雯的探究函数的图象与性质的过程，请同学们结合学习反比例函数的经验将其补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是x≠2；（2）绘制函数图象：①列表x…0134…y…124421…②描点（将点补充完整）③连线（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①关于直线x＝2成轴对称；②当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）不等式的解集是且x≠2．．【分析】（1）根据分母不能为0即可写出自变量的取值范围、（2）分别求出x＝﹣、3时的函数值即可．（3）利用描点法即可画出图象，观察图象可得函数的性质．（4）利用图象写两个性质即可．【解答】解：（1）∵2x﹣4≠0，∴x≠2，∴函数的自变量x的取值范围是x≠2，故答案为x≠2．（1）函数的自变量x的取值范围是x≠2；（2）绘制函数图象，（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①关于直线x＝2成轴对称；②当x＞2时，y随x的增大而减小；（答案不唯一）；（4）不等式的解集是且x≠2．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；能够利用所学绝对值和反比例函数的知识解决新的函数问题是解题的关键．26．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点（1，1），（0.5，0.5），（﹣2，﹣2），（﹣，﹣）都是“相等点”，显然“相等点”有无数个．（1）若点P（3，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“相等点”，求这个反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）根据相等点的定义求得m的值，再用待定系数法求得解析式；（2）设（m，m）是一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”，代入解析式求得m便可．【解答】解：（1）∵点P（3，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“相等点”，∴m＝3，∴P（3，3），把P（3，3）代入y＝中，得n＝3×3＝9，∴反比例的解析式为y＝；（2）设（m，m）是一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”，则mk﹣1＝m，∴（k﹣1）m＝1，当k﹣1＝0，即k＝1时，方程无解，则此时一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上不存在“相等点”，当k﹣1≠0，即k≠1时，得m＝，则此时一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”是（，），故当k＝1时，一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上不存在“相等点”；当k≠1时，一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”是（，）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求k的值；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？【分析】（1）根据函数y＝的图象过点A（，1），直接求出k的值；（2）过点D作DE⊥x轴于点E，根据旋转的性质求出OD＝OB＝2，∠BOD＝60°，利用解三角形求出OE和OD的长，进而得到点D的坐标，即可作出判断点D是否在该反比例函数的图象上．【解答】解：（1）∵函数y＝的图象过点A（，1），∴k＝xy＝×1＝；（2）∵B（2，0），∴OB＝2，∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，∴OD＝OB＝2，∠BOD＝60°，如图，过点D作DE⊥x轴于点E，DE＝OD•sin60°＝2×＝，OE＝OD•cos60°＝2×＝1，∴D（1，），由（1）可知y＝，∴当x＝1时，y＝＝，∴D（1，）在反比例