2022-2023学年四川省宜宾市落润乡中学校高一数学理期末试卷含解析

2022-2023学年四川省宜宾市落润乡中学校高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B2.已知数列，，那么是这个数列的第（

）项.A.

B.

C.

D.参考答案：B3.若不等式的解集恰为不等式的解集,则A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.（5分）幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），则f（9）=（） A． 1 B． 3 C． 9 D． 81参考答案：D考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据幂函数f（x）的图象经过点（2，4），求出函数解析式，再计算f（9）的值．解答： ∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），∴2α=4，∴α=2；∴f（x）=x2，∴f（9）=92=81．故选：D．点评： 本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数解析式求函数值的应用问题，是基础题目．5.设集合，则（

）A．；

B．；

C．；

D．；参考答案：A6.已知定义在R上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），那么函数f（x）称为“Ω函数”．给出下列函数：①f（x）=cosx；②f（x）=2x；③f（x）=x|x|；④f（x）=ln（x2+1）．其中“Ω函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件可以得到，对于任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，从而得出f（x）在R上为增函数，这样根据余弦函数，指数函数，二次函数，以及对数函数，复合函数的单调性判断每个函数在R上的单调性，从而便可得出“Ω函数”的个数．【解答】解：对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立；∴（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立；∴f（x）在R上为增函数；①f（x）=cosx在R上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；②f（x）=2x在R上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；③；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且02=﹣02；∴f（x）在R上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；④令x2+1=t，t≥1，则y=lnt在[1，+∞）上单调递增，而t=x2+1在R上没有单调性；∴f（x）在R上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；∴“Ω函数”的个数是2．故选：B．【点评】考查增函数的定义，余弦函数、指数函数、二次函数，以及对数函数和复合函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，分段函数单调性的判断．7.已知，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：

8.不等式的解集为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集.【详解】不等式可以因式分解为，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为，故选D.

9.已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（x﹣1），则函数f（x）的图象不可能发生的情形是（）A． B． C． D．参考答案：C【分析】根据图象变换规律即可得出答案．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x﹣1），∴f（x）的图象向右平移一个单位后，再沿x轴对折后与原图重合，显然C不符合题意．故选C．10.已知，若，则下列不等式成立的是()A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.【详解】解：选项A：取，此时满足条件，则，显然，所以选项A错误；选项B：取，此时满足条件，则，显然，所以选项B错误；选项C：因为，所以，因为，所以，选项C正确；选项D：取，当，则，所以，所以选项D错误；故本题选C.【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形面积为

▲

．参考答案：；12.若扇形的周长为10，半径为2，则扇形的面积为__________.参考答案：6设扇形弧长为，因为扇形的周长为，半径为，则，扇形面积为，故答案为.

13.如图是某算法的程序框图，当输入的值为5时，则其输出的结果是

.

参考答案：略14.已知函数满足：（1）；（2）对任何实数x都有，则的解析式为

.参考答案：，解析：令，则由已知得，。15.以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为

．参考答案：3π以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，圆锥的底面半径，母线长，该几何体的表面积为：.

16.函数的定义域是______________；参考答案：略17.函数是+1的反函数，则函数恒过定点________；参考答案：(2，0)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn=﹣（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）an=2n+1，可得bn=﹣=﹣=﹣，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴an=a1+（n﹣1）d=2n+1，Sn==n2+2n．（2）∵an=2n+1，∴bn=﹣=﹣=﹣=﹣，因此Tn=b1+b2+…+bn=﹣+…+=﹣=﹣．19.如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2.该铝合金窗的宽与高分别为acm，bcm，铝合金窗的透光面积为Scm2.（1）试用a，b表示S；（2）若要使S最大，则铝合金窗的宽与高分别为多少？参考答案：（1）；（2）铝合金窗的宽为，高为时，可使透光部分的面积最大．试题分析：（1）先根据题意分别求出上、下两栏的高和宽，然后利用矩形的面积公式将三个透光部分的面积求出相加，即可求解；（2）抓住进行化简变形，然后利用基本不等式进行求解，注意等号成立的条件，然后求出等号是的值即可．试题解析：（1）铝合金窗宽为，高为，，，?又设上栏框内高度为，则下栏框内高度为，则，透光部分的面积（2），当且仅当时等号成立，此时，代入?式得，从而，即当，时，取得最大值铝合金窗的宽为，高为时，可使透光部分的面积最大.考点：函数模型的选择与应用．【方法点晴】本题主要考查了函数模型的选择与应用，其中解答中涉及到函数解析式的求解、基本不等式求最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中将实际问题转化为数学问题的能力，同时利用基本不等式求解函数的最值是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．20.某校高三年级实验班与普通班共1000名学生，其中实验班学生200人，普通班学生800人，现将高三一模考试数学成绩制成如图所示频数分布直方图，按成绩依次分为5组，其中第一组（[0，30)），第二组（[30，60)），第三组（[60，90)），的频数成等比数列，第一组与第五组（[120，150)）的频数相等，第二组与第四组（[90，120)）的频数相等。（1）求第三组的频率；（2）已知实验班学生成绩在第五组，在第四组，剩下的都在第三组，试估计实验班学生数学成绩的平均分；（3）在（2）的条件下，按分层抽样的方法从第5组中抽取5人进行经验交流，再从这5人中随机抽取3人在全校师生大会上作经验报告，求抽取的3人中恰有一个普通班学生的概率。参考答案：：(1)设公比为，则根据题意可得2(100＋100)＋1002＝1000，整理得2＋2－8＝0，解得，∴第三组的频数为400，频率为(2)由题意实验班学生成绩在第五组有80人，在第四组有100人，在第三组有20人，∴估计平均分(3)第5组中实验班与普通班的人数之比为4∶1，∴抽取的5人中实验班有4人，普通班有1人，设实验班的4人为A，B，C，D，普通班1人为a，则5人中随机抽取3人的结果有：ABC，ABD，ABa，ACD，ACa，ADa，BCD，BCa，BDa，CDa，共10种，其中恰有一个普通班学生有6种结果，故概率为21.（14分）对于函数f（x），我们把使得f（x）=x成立的x称为函数f（x）的“不动点”；把使得f（f（x））=x成立的x称为函数f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．（1）求证：A?B；（2）若f（x）=2x﹣1，求集合B；（3）若f（x）=x2﹣a，且A=B≠?，求实数a的取值范围．参考答案：考点： 二次函数的性质；函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）分类求解若A=?，则A?B显然成立；若A≠?，（2）得出f（f（t））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3=x，求解即可．（3）分类①△＜0，a时，C=??A成立②△=0，A=时，C={﹣}，A={，}，C?A成立③△＞0，总结即可．解答： 解：（1）若A=?，则A?B显然成立；

若A≠?，设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t∴t∈B，故A?B（2）∵f（x）=2x﹣1，∴f（f（t））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3=x，∴x=1

∴B={1}

（3）∵A≠?有实根，∴a方程f（f（t））=（x2﹣a）2﹣a=x，可化为（x2﹣x﹣a）（x2+x﹣a+1）=0设方程x2+x﹣a+1=0的解集为C，方程f（f（x））=x的解集B═A∪C∵A=B，∴C?A

方程x2+x﹣a+1=0的判别式△=4a﹣3①△＜0，a时，C=??A成立②△=0，A=时，C={﹣}，A={，}，C?A成立③△＞0，a时，不合题意由①②③得a综上所述a∈[，]点评： 本题考查了集合，函数的性质，方程等问题，属于中档题，计算较麻烦，分类清晰，讨论详细．22.高一年级共有学生1500人，为了了解某次考试数学成绩的分布情况，从50个考场的1500名考生中抽取了每个考场中的3号和23号考生的成绩组成样本，这100名考生的成绩都在区间内，样本频率分布表如下：(Ⅰ)指出本题中抽取样本的方法，并求出表中w的值；(Ⅱ)作出样本频率分布直方图；(Ⅲ)根据