2021届北京市民大附中中高考数学三模试卷(含答案解析)

2021届北京市民大附中中高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知集合4={x\x£-2x-3<0],B={x\y=Vx-2),则(CRA)U(CRB)=()

A.[2,3)B.(-oo,2)U[3,4-00)

C.(-00,2)U(3,4-00)D.(2,3)

2.设复数z=3—2K则z的虚部是（)

A.iB.3C.2D.-2

3.若。，b,c为实数,且Q<b<0,则下列结论正确的是（)

A.ac2<be2B.ac<beC.b2>abD.a2>ab>b2

4.给出下列命题：①基函数丫=产（。€/?）图象一定不过第四象限；②函数〃x）=ax+i-2（a>

0,aK1）的图象过定点（一1，一1）；③y=1g若是奇函数；④函数〃>）=2¥-％-2有两个零

点.其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

若双曲线Hl的焦距为io,点冲登可在其渐近线上，则双曲线的方程为

品一章'=

6.对两条不相交的空间直线。和从则（）

A.必定存在平面a,使得aua,bua

B.必定存在平面a,使得aua,b//a

C.必定存在直线c,使得。〃c,b//c

D.必定存在直线c,使得。〃c,blc

7.已知直线+By+C=0（炉+”=。2）与圆％2+y2=4交于加，N两点，。为坐标原点，则

布•而等于（）

A.-2B.—1C.0D.1

aa

8.若等差数列满足+。9>0，3+io<则当九=（）时，｛an｝的前〃项和最大.

A.6B.7C.8D.9

9.已知非零平面向量落石,则“五与另共线”是“3+E与方一E共线”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.若函数£1感在给定区间麟上存在正数志，使得对于任意的恭图舞，有富升翕卷燃，且

,巽副张尊立威域:，则称,频缄为麟上诡级类增函数，则下列命题中正确的是()

A.函数频磁=二转裒是CU礴上的1级类增函数

需

B.函数负瞬于磁愚1则是CU礴上的1级类增函数

C,若函数频:蹴=遥联冢普谈时为I[±金加I上的受级类增函数，则实数僦的最小值为三

S慨

D.若函数翼礴:=富产-既为以丑礴匕^优级类增函数，则实数4的取值范围为|居卅礴

二、单空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.已知b〉0,直线(炉+l)x+ay+2=0与直线x-bZy-1=0相垂直，则帅的最小值等于

7

12.已知(1+x)(a—x)6=劭+。1刀H--1-a7x,若a。+%+…+a7=0,则a?=

13.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯

视图均是边长为2的正方形，则该几何体的体积为

14.已知角a的终边经过点P(4a,3a),a<0,贝!Isina=

15.函数f(x)的定义域为其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x+2)

g(x),且当％e[—1,0]时,g(x)=/(%).给出下列三个结论:

①。⑴=1；

②不等式g(x)>0的解集为R；

③函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k+1],kez.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分)

16.如图，在几何体ABCOEF中，四边形ABCO是菱形,BEABCD,DF//BE,RDF=2BE=2,

BD=2VL

(1)证明：平面4CE_L平面BEFQ；

(2)若二面角4-EF-C是直二面角，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.

17.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距痛+0海里的B处有一艘走私船,

正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2立海里/小时的速

度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达c处，走私船到达。处，此时走私船发现了

巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以30海里/小时的速度沿

着直线追击.

(I)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？

(II)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?

18.某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表:

未感染病毒感染病毒总计

未注射10XA

注射40yB

总计5050100

现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为:.

(1)能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？

(2)现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为。求f的分

布列和数学期望.

附.k2=皈…产

*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>fc0)0.100.0100.001

ko2.7066.63510.828

19.已知函数f(x)="工，g(x)=一.+1(力为常数).

(1)函数f(%)的图象在点(1,/(1))处的切线与函数g(x)的图象相切，求实数b的值；

(2)若b=0,h(%)=f(%)-g(%),我1、%2T1，2］使得九(%1)—九(%2)ZM成立,求满足上述条件的最

大整数M；

(3)当b22时，若对于区间［1,2］内的任意两个不相等的实数%1，%2,都有l/Qi)—/。2)1>IgQi)—

g(%2)l成立，求〃的取值范围.

20.已知椭圆C：冬+\=l(a>b>0)的离心率为5&,尸2分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C

上一点，且APFiF2的周长是6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/经过椭圆C的右焦点尸2且与C交于不同的两点“，N,试问在x轴上是否存在点Q,使

得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理

由.

21.在数列｛断｝中,若％,。2是正整数，且斯=|即-1—斯-21，n=3,4,5,则称5｝为“绝

对差数列”.

（I）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（口）若“绝对差数列”｛an｝中，a?。=3,a21=0,数列｛%｝满足%=an+an+1+an+2,n=l,2,

3,....分别判断当n—8时，品与%的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

（皿）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：集合A={x|M-2久―3<0}=(―1,3),B={x\y=\]x—2)-[2,+co),

*(CM)=(-oo,l]U[3,+oo),QB)=(-8,2),

(CRA)U(CRB)=(-8,2)U[3,+oo),

故选：B.

先求出集合A,B再求出A和B的补集，找出A补集与补集的并集即可.

此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.答案：D

解析：解：复数z=3-2i,则z的虚部是：-2.

故选：D.

直接由复数的基本概念得答案.

本题考查了复数的基本概念，是基础题.

3.答案：D

解析：解：4c=0时不成立；

B.c<0时不成立；

C.由a<b,b2<ab,不正确;

D.-:a<b<0,..a2>ab,正确.

故选：D.

利用不等式的基本性质即可判断出结论.

本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.答案：D

解析：

本题考查了指数函数，对数函数，基函数的图象和性质，属于基础题.

根据指数函数，对数函数，基函数的性质依次判断即可.

解：根据幕函数的性质，可知幕函数y=xa(a€R)图象一定不过第四象限..••①对；

②函数f(x)=产+i—2(a>0,a力1),令尤+1=0,可得x=—1,代入可得y=—1,图象过定点

（一1,一1）：.•.②对;

③因为/（一%）=恒3=恒（罟）-】=一但三=一人彷，且〃X）的定义域关于原点对称，所以/（X）是

奇函数，③对；

④函数f（x）=2X-X-2的零点可以看成函数y=2X与y=x+2的交点问题，

易知两个函数图象有两个交点，即f。）=2丫-x-2有两个零点；二④对；

故选：D.

5.答案：C

解析：试题分析：根据题意，由于双曲线W-的焦距为10,故有2c=10,c=5,又点球看就:

在其渐近线上，

雪=・•・巴雷，代入可知，2b=a,结合/=：睛依/，联立方程组可知颤』/一命4,因此双曲线的

:描

方程为亡-史T，故选C.

凝冬

考点：本试题考查了双曲线的方程。

点评：解决该试题的关键是对于双曲线的渐近线的准确表示，得到“，匕的关系式，同时能利用焦距

得到C,进而得到结论，属于基础题。

6.答案：B

解析：解：对于4若两条直线〃、b是异面直线时，则不存在平面a使得aua且bua成立，故A

不正确；

对于B,因为。、。不相交，所以“、6的位置关系是平行或异面：

①当。、人平行时，显然存在平面a,使得aua且。〃a成立；

②当。、〃异面时，设它们的公垂线为c,在〃、b上的垂足分别为月、8,则经过4、B且与c垂直的

两个平面互相平行，

设过A的平面为a,过8的平面为夕，则a〃夕，且a、6分别在a、0内，此时存在平面a,使得aua且

b〃a成立.

故8正确；

对于C,若两条直线队匕是异面直线时，则不存存在直线c,使得a〃c且b〃c成立，故C不正确；

对于£>,当a、〃所成的角不是直角时，不存在直线c,使得a〃c且61c成立，故。不正确.

综上所述，只有8项正确.

故选：B.

根据空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质与判定，对各个

选项依次加以判别，即可得到B项是正确的，而A、C、。都存在反例而不正确.

本题给出空间直线不相交，要我们判定几个命题的真假性，考查了空间直线的位置关系、直线与平

面的位置关系和平面与平面的位置关系等知识，属于基础题.

7.答案：A

解析：解：(1)若4=0,B=±C,带入直线方程得：

y=+l,带入圆的方程得，x=±V3;

M(-V3,l)-N(遮,1),或M(—依―1),/V(-V3,-l);

.-.OM-ON=-2i

(2)若力力0,由直线方程得：

x=_：y—泉带入圆的方程并整理得：

(炉+B2)y2+2BCy+C2-4A2=0；

将TP+带入上面方程得，C2y2+2BCy+C2_4A2=0.

解得，

Jc

—B—y/3An-Ly/3B—A—B+y/3An-i--\/3B—A

Jcc7cc

.,,y/SB—A—B+y/3A

-M(—^―,―--)>N(--—,—--x);

...而丽=止空+匕生二交比2302=_2；

C2C2C2

综上得旃-ON=-2.

故选A.

可以想着联立直线方程和圆的方程，将M,N点的坐标求出，所以需讨论4或8是否为0,这里可

讨论A是否为0：4=0时，求出乃带入圆的方程，解出x,从而得出M,N的坐标，然后进行数量

积的计算即可；2羊0时，可由直线方程求出x并带入圆的方程，会得到关于y的一元二次方程，解

方程即得)，，从而得到点M,N的坐标，同样进行数量积的运算即可.

考查联立直线方程和圆的方程求直线和圆交点的方法，不要漏了4=0的情况，一元二次方程的求根

公式，以及点的坐标和向量坐标的关系，数量积的坐标运算.

8.答案：A

解析：解：,等差数列｛%｝满足4+。8+。9>0，«3+«10<°»

・•・3a6>0,。6+。7V0,

**•。6>0，Q7V0,

则当?1=6时，｛即｝的前"项和最大.

故选：A.

等差数列｛斯｝满足的+。8+&9>0，a3+a10<0,可得：3a6>0，。6+<0.进而判断出结论.

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9.答案：C

解析：解：设命题4：“弓与方共线”，设命题“1+方与日一方共线”，

显然命题q成立时，命题p成立，所以q是P成立的充分条件；

当“3+3与百一石共线”时，根据共线的定义有五+3=；10—3)，

则，石+石=，五一方，由于非零平面向量五，3,所以4十±1,

那么石=舒五’所以日与石共线，所以4是P必要条件；

综上可得，g是p的充要条件；

故选：C.

设出两个命题，利用充分必要条件的定义对p=q，q=p分别进行判断.

本题考查了共线向量以及充分必要条件的判断，关键是判断条件与结论的关系.

10.答案：C

解析：本题考查命题的真假判断，考查新定义，同时考查函数的性质及应用，是中档题.解题时要

认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.

解："(x)=--x,

X

4444

・・・f(x-1)-f(x)=--+X+1--x二—---1在(1,+8)上不成立，故A不正确；

x+1XX-1X

・・・/(%)=|10g2(x-l)|,

•••f(x4-1)-f(x)=|log2x|-|log2(x-1)1>0在(L+8)上不恒成立，故B不正确;

•・•函数f(x)=sinx+ax为[g，-8)上的乙级类熠函数，

23

・.,花

••Sin\X-y一a(x+j)》sinx-ax，

.7171兀、.

・・sinxcos--ccsxsm-+ax-a^sinx*ax，

333

.P兀、1.JT•^cosx=sin(x--)，

••—!—।cosx--asmx»-a^=—smx-

2323223

而sin(x--)41，即吃3,

3九

・••实数a的最小值为之，故C正确；

n

•."(%)=x2-3%为[1,+oo)上的,级类增函数,

・•.(%+t)2—3(x4-1)>%2—3%,

・•・2tx+t2—3t>0,

t>3-2x,由于％€[l,+8),则3-2%工1,故tN1,故。错.

故选：C.

11.答案：2

解析：解：•・,直线(/+1)%+ay+2=0与直线％-b2y-1=0相垂直，

.一等x(d)=-l,

化为：ab="12迎=2,当且仅当b=l时取等号.

bb

•••ab的最小值等于2.

故答案为：2.

2

直线(炉+l)x+ay+2=0与直线x-by-1=0相垂直，可得一士/x(一+)=-1＞利用基本不

等式的性质即可得出.

本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

12.答案:-5

67

解析：解："(1+x)(a—x)=a0+axx•+-----Fa7x,a0+atH-----1-a7=0,

6

令x=1,贝i]2(a-I)=a0+ax++a7=0,

解得a-1.

•••(1+x)(a—x)6=(1+x)(l—%)6.

(1-x)6的通项公式7；+i=a(-X)r,

令r=3或r=2,

则=-Cl+Cl=-5.

故答案为：—5.

676

(1+x)(a—x)=a0+aIx-i--1-a7x,%+%+—Fa7=0,令x=1,可得2(a—l)=a。+%+

-+a7=0,解得a.再利用通项公式即可得出.

本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

13.答案：4

解析：解：由已知得到几何体是平放的三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为2,

三棱柱的体积为：|x2x2x2=4.

故答案为：4.

由已知得到几何体是平放的三棱柱，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.

本题考查了由三视图求儿何体的体积；判断儿何体的形状是解题的关键.

14.答案：一|

解析：解：已知角a的终边经过点P(4a,3a),a<0,贝"sina=五哥煮=器=一,，

故答案为：-

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sina的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

15.答案：①③

解析：解：因为x6［-l,0］时，g(x)=/(x),

所以g(T)=/(T)=:，

因为g(x)是定义域为R的偶函数，

所以g⑴=g(-l)=点故选项①正确；

由题意可知，g(0)=0,故选项②不正确；

因为g(x)在单调递减，

所以g(x)在［0,1］单调递增，

因为g(x+2)=g(x),

所以g(x)是以T=2为周期的周期函数，

所以［2k,2k+1］上g(x)单调递增，

故选项③正确.

故答案为：①③.

先求出g(-l)=/(-1),再利用g(x)为偶函数即可判断选项①，利用当久e［-1,0］时，g(x)=f(x)，

以及/(x)的图象即可判断选项②，利用g(x)的单调性以及周期性的关系即可判断选项③.

本题考查了命题真假的判断，涉及了函数奇偶性、单调性、周期性的应用，解题的关键是找到g(x)与

/(x)的关系，准确的读取/(x)图象的信息.

16.答案：证明：⑴•••四边形ABCQ是菱形，.TCIB。一一①

BE，平面ABCD,BE1AC--@,■：BDCiBE=B——③

由①②③：ACI5?®BEFD,4Cu平面ACE,

平面力CEJ_平面BEFD.

解：(2)设4c与8。的交点为。，由(1)得AC18D,

如图，分别以OA,0B为x轴和y轴，过点。作垂直于平面ABCQ的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz

BD=2vl.设02=a［a>0),则4(a,0,0),C(一a,0,0),E(0,V2,l),

尸尸2)，__

AEF=(0,-272,1)，荏=(-见/,1>CF=(a,V24)卢

设记=(%,y,z)是平面AE77的法向量，*~

则［一叱5?=一2应1+z=0,令2&a,得平面AEF的一个法向量为沆=(3直,a,2d^a),

同理设元=(xj,z)是平面GET7的法向量，

贝4元,竺=-2^^z=°,Wy=a,得平面CE尸的一个法向量为记=(一3夜,a,2四a)

•••二面角A-EF-C是直二面角，

.1•m•n=-18+a24-8a2=0=a=V2>

,:AE=(-V2,V2,1)>CF=(V2,-V2,2)，

设异面直线AE与C尸所成角为a,

则cosa=|cos(荏，用|=|点篙|=噂

故所求异面直线AE与CF所成角为的余弦值为逗.

10

解析：本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)推导出4clBD,BELAC,从而4cl平面BEFD,由此能证明平面4CE_L平面BEFQ.

(2)设AC与8。的交点为O,AC1BD,分别以0A,。8为x轴和)，轴，过点0作垂直于平面ABC。

的直线为z轴，建立空间直角坐标系。孙z,利用向量法能求出异面直线AE与C尸所成角为的余弦值.

17.答案：解：如图，由题意知，

在三角形BCD中，

所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里;

因为

所以设追击时间为则

所以

即巡逻艇被骗东15。方向才能最快追上走私船.

,(11叩30。,々虑=45。-30。=15.=哼；3&=®＜卷」，

|：.\BC\=2y/3至342t一〃“一中根据余弦定

JLI长；(2)先求

sin£ABCsin60°.,»贬，“行

1―242—=2^/3"Sm=N23C=45刖用正弦定理求出,即可求

f.^CBD=180°-(60o+45°+45°)=30°,

乙CDE=360°-(90°+135°)=135°乙DCE

18.答案：解：(1)由条件知，x=40,y=10,A=50,B=50,

K2100X(10X10-40X40)2=36>10,828,

50x50x50x50

故有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效.

(2)f的可能取值为0,1,2,3,

或储

P(f=°)=管=篝P(f=D=00=195

髭0—490

P(f=2)=管=粉%=3)=*脸=_3_

瑞一490

f的分布列为

0123

P247195453

490490490490

、咕I,,、、，，•口十日l/尸、f\247a195r45c33

二数学期望E(f)=0x-----Fix-----F2x—+13x—=

4904904904905

解析：(1)先根据题意补充完整2x2列联表，然后由K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据

进行对比即可作出判断；

(2*的可能取值为0,1,2,3,然后由超几何分布求概率的方法依次求出每个f的取值所对应的概率

即可得分布列，进而求得数学期望.

本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析

与处理能力，属于基础题.

19.答案：解：(1)v/(x)=Inx,

•••f'M=尸(1)=1，

・•・函数/(x)的图象在点处的切线方程为y=x-l,

y=x—1

_iA1消去y得/-2(b+l)x+4=0,

{y=/2-b%十】•

贝必=4(b+l)2—16=0,解得b=1或—3,

(2)当b=0时，

•••九(%)=/(%)—g(x)=Inx——1(%6［1,2］),

:‘八’(无)=^-%=(1T)(1+X)

X

当％w(L2］时，"Q)<0,

・・・在［1,2］上单调递减,

3

hMmax=h(1)=一天Kx)min=九(2)=》2—3,

3

则［九(右)一八(％2)］ma%=九QOmax—八(％)nuF=5一仇之，

/.M<|-/n2<l,故满足条件的最大整数是M=0.

(3)不妨设巧>不，

・・,函数f(x)=Lnx在区间［1,2］上是增函数,

・・,fQl)>f(%2)，

,・,函数g(%)图象的对称轴为o=b,且b奴2,

••・函数g(x)在区间［1,2］上是减函数，

•••gQi)<g(%2)，

If01)-/(%2)1>lg(%i)-g(%2)l等价于fQ1)-fg>9(X2)-g(%i)，

即/Qi)+gQi)>f®)+g(%2)，

等价于8(x)=/(x)+g(x)=Inx+|x2-bx+1在区间［1,2］上是增函数，

等价于d(x)=l+x+b>0在区间口,2］上恒成立，

等价于bWx+：在区间［1,2］上恒成立，

b<2,又b>2,

■■b=2.

解析：(1)利用导数求出函数f(x)的图象在点(1/(1))处的切线方程，再有直线与曲线的相切关系，

联立方程组求出6的值；

(2)根据题意求满足条件的最大整数转化为求九(久)的最值解决，即只要使得MW/l(X)max-

心)min即可;

(3)先利用导数法判断/Q)与g(x)的增减性，把If(xi)-/(x2)|>|5(xx)-9(&)1等价转化为f(勺)一

fg)>g3)-g(xJ，

等价于/(%i)+g(xi)>f(x2)+g(%2)成立，再构造函数3(x)=/(%)+g(x)，即等价于*(x)=

/(x)+g(x)=Inx+^x2—bx+1

在区间［1,2］上是增函数，利用导数与函数单调性的关系，结合不等式恒成立的条件，求得6的取值

范围.

考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减

性得到函数的最值，

掌握不等式恒成立时所取的条件.理解等价转化思想的运用.

20.答案：解：(1))设椭圆的焦距为2c(c>0),由椭圆的定义可知APFiF2的周长为2a+2c,

即2a+2c=6.

*=鸿，

解得a=2,c=1,故炉=a2—c2=3,

椭圆椭圆方程为：-+^=1.

43

(2)假设在x轴上存在点Q(t,O)满足条件,

当直线/的斜率存在时，设其方程为y=k(x-l),

联立g；.Zr，可得(3+4/c2)x2-8k2x+4k2-12=0,

设NQ2J2)，

il,8k24k2-12

则ffl%+%2=诉，尤62=百正.

直线QM与直线QN的斜率的和为+kQN=含+含=一「1)("黑

_2kx1x2-k(l+t')(x1+x2')+2kt_6/c(t-4)

2222，

x1x2-t(Xi+X2)+t-4fc(t-l)+3t-12

要使直线QM与直线QN的斜率的和为定值，只有t=4,此时直线QM与直线QN的斜率的和为定

值0.

当直线/的斜率不存在时，t=4,必有直线QM与直线QV的斜率的和为定值0.

综上，在x轴上存在点Q(4,0)满