2021届高考数学三轮复习：仿真模拟卷4

数学仿真模拟卷（四）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合A={2,4},B={x^N|x—3<0},则AU3=（）

A.{1，2,3,4}B.{0,1,2,3,4）

C.{2}D.{x\x<4}

B［由集合8={xWN|x—3戌},化简可得8={0，1，2,3},

由.={2,4},.\AUB={0,1,2,3,4}.故选B.］

2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对x,y两变量的线性相关性作试验，并用

回归分析方法分别求得相关系数「，如下表:

相关系数甲乙内丁

r-0.820.780.690.87

则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？（）

A.甲B.乙C.丙D.T

D［根据线性相关系数的意义可知，在验证两个变量之间的线性相关关系

时，相关系数的绝对值越接近于1,相关性越强，在四位同学中，丁同学求得的

相关系数的绝对值最大，表明丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关

性.故选D.］

3.在平面直角坐标系尤0y中，点P（S，1）,将向量成绕点。按逆时针方

7T—>

向旋转5后得到向量则点。的坐标是（）

A.（一也，1）B.（—1，也）

C.（f,1）D.（-1,小）

D［由P（小，1）,得《2cos/2sin］,

•.•将向量5>绕点0按逆时针方向旋转］后得到向量员,

£«2cos知）,2sin知））,

又cos仁+#一Si铲兀sin|兀巫

166十2,=cos6=2，

.•.0(—1,小).故选D.]

f+l

4.%<1''是'卬x>0,

x方'的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

f+1—x-\-1^>2\x-^=2,当且仅当x=J,即x=l时取等号.

A[Vx>0,——

A•-T\1人A-

f+l

若4＜1时，则Vx＞0,>2>1><3,

X

『+1

因此“。＜1”是“Vx〉0,2a”的充分条件;

x

f+l口1I'X2+1

右Vx>0,―~-a9则好|min,即日2,推不出

X

%2+J

因此“。＜1”不是“v心＞0,1―三。'’的必要条件.

f+1

故是“Vx>0,x2a”的充分不必要条件.故选A.]

Y—cinV

5.函数/（x）=w=在[一兀，句上的图象大致为（）

A

r

-7TITx

D

A[记g(x)=x—sinx,兀，兀],g'(x)=1—cosxNO,

.,.g(x)在［一兀，无］上单调递增，又g(0)=0,

...当XG［O，兀］时，g(x)Ng(O),即x-sinxK),

又丁+00,.,.当回0,兀］时，沙,

故排除B,C,D.故选A.］

6.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文

化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8cm,

孔径4.9cm、外径17.6cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象.兽面的两侧

各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一

上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)()

A.6250B.3050C.2850D.2350

D［由题可知，该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为17.6cm,高为

8.8cm的正四棱柱中挖去一个底面直径为4.9cm,高为8.8cm的圆柱，此时求得

体积记为V”

(49>2

口=(17.6)2x8.8—兀x(旬X8.8=2560cm3,

记该神人纹玉琮王的实际体积为V,则V<Vi,

、22

l…以”7.6、(4.9、'

且由题意可知，f1x(；—JX8.8—7rx(^—JX8.8^1974cm3,

故1974<V<2560,故选D.]

7.定义在R上的偶函数/(x)=2k1,记a=/(—ln3),b=f(log25),c

=/(2”，则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<h<a

C「.V(x)=2kF—1为定义在R上的偶函数，

AVxGR,f(-%)=/(x),即2rm|-1=2\~x~m\~1,

/.VxGR,\x—m\—\—x—m\,即|x—/w|=|x+时恒成立,

/.VxGR,(x—机)2=(尤+机)2,即2mx=0恒成立，

2'—1,x>0

.,.m=0,.♦./(x)=2|X|-1=，

2~x-1,x<0

.•./(x)在［0,+s)上单调递增，

m

a=f(-In3)=/(In3),h=f(log25),c=f(2)=f(2°)=/(1),

Vl<ln3<2,log25>2,/.l<ln3<log25,

J/⑴</(ln3)</(log25),即”QG.故选C.］

8.如图，已知抛物线C：产=2内(/?>0)的焦点为F,点、P(xo,2小)(xo>§是

抛物线。上一点.以P为圆心的圆与线段PF相交于点。，与过焦点尸且垂直于

对称轴的直线交于点A,B,\AB\=\PQ\,直线尸产与抛物线C的另一交点为M,

若|PF|=V5|PQ,则解=()

A.1B.仍C.2D.小

B［由题意得|P「|=xo+m直线AB方程为：P到直线A3距离为xo

2

2’

•••以P为圆心的圆与线段PF相交于点Q,与过焦点F且垂直于对称轴的直

线交于点A,B,\AB\=\PQ\,

，阳引=与次一身，

'：\PF\=y[3\PQ\,.*.xo+2=73-^^0—2，解得xo=当,

：.(2/y=2p彗,又p〉0,故p=2,

二抛物线方程为Y2=4X,P(3,2小),F(h0)

直线PQ方程为y=2伫/-1）=小x—木,

y2=4x

与抛物线方程联立得

y=y/3x-yl3

消去y整理得，3x2—10x+3=0,解得x=g或3,

二叫，一苧），|FM|=1+|=|,小.故选B.]

3

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3

分）

9.已知双曲线3一]=sin2。（*E,ZWZ）,则不因。改变而变化的是（）

A.焦距B.离心率

C.顶点坐标D.渐近线方程

BD[整理双曲线方程可得就两一云斜=1，。=闹而，

该双曲线焦距为：2洞河,

A/6sin2^V6

离心率为:

2ylsid82

顶点坐标为（2点而%,0）和（一2水泊仇0）,

渐近线方程为尸±5

不因。改变而变化的是离心率与渐近线方程.故选BD.]

10.下图是《2018年全国教育事业发展统计公报》中1949—2018年我国高

中阶段在校生数条形图和毛入学率的折线图，根据下图可知在1949-2018年

(

*

万5000100)

A450090

400080

350070

60

300050

250040

200030

150020

100010

500

0

19491965197819902000201020122015201620172018（年份）

高中阶段在校生数和毛入学率

A.1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高

B.从1990年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高

C.2010年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰

D.2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约0.91%,而毛入学率提高

了0.5个百分点

AD［观察条形图和折线图可知，

1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高，故A

正确；

2016年和2018年的高中阶段在校生数都低于前一年，故B错误；

2010年我国高中阶段在校生数达到了最高峰，但是毛入学率均低于后续儿

年，故C错误；

2018年高中阶段在校生数为3935万人，2017年高中阶段在校生数为3971

万人，2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约3吆97而1—3产935=0.91%,

2018年高中阶段毛入学率为88.8%,2017年高中阶段毛入学率为88.3%,

毛入学率提高了0.5个百分点，故D正确.］

11.已知函数/(x)对VxGR,满足/(幻=一/(6—幻，/(x+l)=/(—x+l),

若/⑷=一/(2020),aS［5,9］且f(x)在［5,9］上为单调函数，则下列结论正确

的是()

A./(3)=0

B.。=8

C./(x)是周期为4的周期函数

D.的图象关于点(1，0)对称

AB「.ya)=—/(6—x),

.V(x)+/(6-x)=0,即y=/(x)的图象关于点(3,0)对称，

令x=3得，f(3)=—/(3),

故/(3)=0,A正确；

•.y(x+l)=/(-x+l),

/./(x+l)=/(l—x),即y=/(九)的图象关于直线x=1对称，

/(x+l)=/(―尤+1)=-/［6-(-x+l)］=-/(5+x),

即/(x+4)=-/(九)，

(x+8)=—f(x+4)=/(x),

••./Q)是周期为8的周期函数，

：.f(2020)=/(252x8+4)=/(4)=-/(8),

V/(a)=-/(2020),

V(a)=f(8),

•••ae［5,9］,且/(x)在［5,9］上为单调函数，

V⑷可⑻，

故。=8,故B正确；

假设/(x)是周期为4的周期函数，

则/。+4)=/(x)，又/。+4)=—/(x),

：.f(x)=—f(x),即/(x)=0,

与尸㈤在［5,9］上为单调函数”矛盾，故假设不成立，C错误；

,：f(3)=0,

.V(7)=-/(3)=0,

假设y=/(x)的图象关于点(1，0)对称，

则/(力+<(2—力=0,令尸1,得八1)+/⑴=0,即/(1)=0，

则/(5)=一/(D=0,即八5)可⑺,

与尸(幻在［5,9］上为单调函数”矛盾，故假设不成立，D错误.

故选AB.］

12.如图，点。是正四面体P-A8C底面A3C的中心，过点。的直线交AC,

BC于点M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱出的延长线相交于点Q,与

棱的延长线相交于点七则下述正确的是()

s

c

A.若MN〃平面出8,则A3〃HQ

B.存在点S与直线MN,使PC,平面SRQ

C.存在点S与直线MN,使丽.（的+读）=0

匕+已是常数

D.4+1

同II刚网

ABD［对于选项A,若MN〃平面%8,

•.•平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q,与棱PB的延长线相交于点R,

，平面SMNfl平面PAB=RQ,

又MNu平面SMN,MN〃平面雨8,，MN//RQ,

•.•点。在面A8C上，过点。的直线交AC,BC于点M,N,

:.MNu平面ABC,

又MN〃平面PAB,平面ABCA平面PAB=AB,

:.MN〃AB,：.AB//RQ,故A正确；

对于选项B,

当直线MN平行于直线AB,S为线段PC上靠近C的三等分点，即SC=|PC,

此时PC_L平面SR。，以下给出证明：

在正四面体P—ABC中，设各棱长为“，

AAABC,APBC,△物C,△BIB均为正三角形，

•.•点O为△A3C的中心，MN//AB,

2

二由正三角形中的性质，易得CN=CM=qa,

在ACNS中，

2171

\'CN=^a,SC=2a,/SCN=q,

•，.由余弦定理得，SN=\J倒+伶）一2,亨当cos畀坐a,

4

SC2+SN2=/=CN2,贝1JSNA.PC,

同理，SM±PC,

又SMCSN=S,SMu平面SRQ,SNu平面SRQ,

，PC_L平面SRQ,

...存在点S与直线MN,使PUL平面SE0,故B正确；

对于选项C,假设存在点S与直线MN,使沌.（而+忒）=0,

设QR中点为K,则丽+成=2乐，

->-»II->->

:.PS工PK,即PC_LPK,

••,肃泰=用（万—或）=|附|阈cosNCPB—|附|阈cos/C/?4=0,

：.PCLAB,

又易知4?与PK为相交直线，A8与PK均在平面PQH上,

，PCJ_平面PQR,即PC_L平面附8,

与正四面体P-A8C相矛盾，所以假设不成立，

故C错误；对于选项D,

易知点。到面PBC,面出C,面以8的距离相等，记为d,

记PC与平面出8所处角的平面角为a,a为常数，

则sina也为常数,

则点S至PQR的距离为PSsina,

又SAPQR=4哂|讼卜导乎同|刚,

|哂陶网sina,

躯卜阈sin畀季同园,

又SZX&R=R

胴H卧导由雨.雇

SAPSQ=

S^PQR—

2

VS-PQR—VO-PSR+VO-PSQ-VVO-PQR

=翔网同+同同1+同,网)

占=呼为常数，故D正确.故选ABD.]

同同网"

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知复数黑是纯虚数（i是虚数单位），则实数。的值为

1金.。-i=，-4皿，m«-i(«-'i)(2-i)2a~1,—2—a,

2「•・复数式pe纯虚数'且不=(2+i)(2—i)=5+―5-1'

.（用数字作答）

8-r,yr16Tr

112［通项公式为7；+尸旧=29&3

令，"=2,解得r=2,

，九2项的系数为22奠=112.]

15.已知函数/(x)=Asin(cox+9)(A>0,①>0,0<夕<无)是偶函数，将y=/(x)

的图象沿x轴向左平移,个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍

（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y=g（x）.已知y=g（x）的图象相邻对称中

心之间的距离为2兀，则⑦=，若y=g（x）的图象在其某对称轴处对应的

函数值为-2,则g（x）在[0，兀]上的最大值为.（本题第一空2分，第二

空3分）

I小「.•函数/(x)=Asin3x+s)(A〉0,①>0,0<9<兀)是偶函数,

兀

••killkez.

又0＜伊＜兀，

・兀

・・9=5，

.*./a)=Asin("+1)=Acos(s),

:将y=/。)的图象沿x轴向左平移,个单位，再将图象上所有点的横坐标伸

长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为＞=8(》)，

，g(x)=f修+翡Acos修+制,

•••y=g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2兀，

.,.^•—=2n,解得co=1,

2GJ

2

；y=g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为-2,A＞Q,

=2,

..g(x)=2cosG+d)

当回0,句时,第,cos修+翡［T明

故g(x)=2cos仔+田e［-b小］,

.♦.g(x)在［0，兀］上的最大值为小.］

16.定义函数/。)=口印］,其中［x］表示不超过*的最大整数，例如：［1.3］=

1,［―1.5］=—2,［2］=2.当x《［0，〃)(〃WN*)时，/(x)的值域为A”.记集合4中

20201

元素的个数为而，则x-4的值为

自3—1

第2019「.［x］表示不超过X的最大整数,

.,.当XW[O，〃)(〃GN*)时,

0,xW[0.1)

㈤=<匕2),

<n—1,九一1，〃)

0,x^[0,1)

x,[1,2)

AxM=<7,

<(n—l)x,%e[n—Ln)

・・・号田]在各区间内的元素个数为1，1，2,3,...,n-1,

"=1+1+2+3+…+(〃-l)=l+a+L?("T)=l+^^,

an—1〃(〃一1)

・,0.2019

,,La,—l-2Llz-li~2V2020尸1010」

i=2i=2

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(本小题满分10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已

知向量机=(c—a,sinB),n—(b-a,sin>14-sinC),且加〃

⑴求C；

(2)若加c+38=3a,求sinA.

［解］⑴因为m〃/z,

所以(c—a)(sinA+sinC)=(/?—tz)sinB,

由正弦定理得，(c—a)(a+c)=S—a)/?,

所以a2+b2—c2=ab,

由余弦定理得，cosC=-奇一=2ab=2'

因为CW(0,7T),

故C=y

(2)由(1)知8=专一A,

因为册c+3/?=3a,

由正弦定理得，,sinC+3sinB=3sinA,

所以cos,—%孚,

故sinA=sin(A—

.(兀),(.n\.7i

=sinlAA—]Icos2+coslA—gIsm2

^6+^2

4.

18.（本小题满分12分）在①历〃=2forH,②及=加+历,③加,历，儿成等

比数列，这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.

已知数列｛〃〃｝中0=1,m+i=3z,公差不等于0的等差数列｛为｝满足

,求数列拗的前〃项和S”.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

［解］因为ai=l,an+\=3an,

所以｛。〃｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以m=3"一|.

选①②时，

设数列｛儿｝公差为小

因为“2=3,所以历+在=3,

因为4"=25+1,所以”=1时，b2=2b\+l,

275

解得bi=1,bi=y所以d=5,

,,5〃一3

所rr以bn=Q

bn5n~3

所以〃

art=3

5n~~3

%一，“十G十…十Z一313〃⑴，

1?7125九一85〃一3..

所以尸?+于+?■+...+3〃+3d(")，

⑴-(ii),得：|s'=|+5件+*+…+/)5〃一3

3'计|

_25155〃-3

=3+6-2-3,,+,-3,,+|

3_10»+9

=/―2-3'/1'

u…910/1+9

所以S=W—4-3”•

选②③时，

设数列｛小｝公差为d,

因为。2=3,所以历+历=3,即2历+d=3,

因为。1,bl,4成等比数列，所以员=从历，即(6+。)2=力31+31),

化简得d1=b\d,

因为存0,所以从=d,从而d=bi=l,所以为=〃，

所以铝券，

为吟+料…+**+抖奈十…十券⑴，

所以上"号+奈+奈+…+点"+令(甘)，

(i)—(ii),得:|s”=l+)+*+*+…+*-会

22・3"'

lli।92〃+3

所以s,=a一了

选①③时，

设数列｛儿｝公差为止

因为b2„=lbn+\,

所以〃=1时，bi=2b\+l,

所以d=b\+\.

又因为历,又儿成等比数列，

所以叫=力匕4,即(h+")2=〃1(6+3"),

化简得招=历"，

因为存0,所以勿=d,从而无解，

所以等差数列｛d｝不存在，故不合题意.

19.(本小题满分12分)如图，在等腰直角三角形AOP中，NA=90。，AD=

3,B,C分别是AP,DP上的点，且8C〃AD,E,尸分别是AB,PC的中点.现

将△P8C沿3c折起，得到四棱锥P-ABCD,连接EF

(1)证明：EF〃平面出。；

(2)是否存在点B,当将△「灰：沿BC折起到PALAB时，二面角P-CD-E的

余弦值等于华？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由.

［解］(1)证明：作CM〃AB交于点M,连接PM,取PM中点N,连接

AN,FN,又AO〃BC,所以四边形ABCM为平行四边形，

由中位线定理得FN//CM,且FN=*M,

因为£是A8的中点，

所以AE〃CM,且

故EN〃AE,且KV=AE,

所以四边形AEKV是平行四边形，

所以EF〃AN,

因为ANu平面出。，平面以。，

所以EF〃平面胆D.

(2)存在.

理由如下：

因为3C_L4B,BCLPB,^.ABf}PB=B,ABu平面%8,P8u平面以3,

所以BC，平面PAB,

又BC//AD,

所以AO_L平面PAB,

又Me平面PAB,

所以PALAD,

又ABU。，PALAB,

所以AB,AD,AP两两垂直，

以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，

设AB=a,则PB=BC=3-a,

由PB>AB,得0<a<|,PA=yl9~6a,

所以A(0,0,0),C(a,3~a,0),P(0,0,川9—6”),0(0,3,0),

所以皮=(a,-a,0),DP=(0,-3,^9-6a).

设平面PC。的一个法向量为〃=(尤，>,z),

DCn=ax-ay=O

则

DP-n=-3y+nj9-6〃=0

取y=l，

则〃*b忌;）

又平面COE的一个法向量m=（0,0,1）,

若存在点B,当将△2小?沿BC折起到PALAB时，二面角P-CD-E的余弦

值等于华，

则有华=|cos（〃，机〉1=般

3

onVBy/9~6a

\J3-2a

解得a=l,即AB的长为1.

故存在点B,此时AB的长为1.

20.（本小题满分12分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目

前国际上常用身体质量指数（缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是

体重（单位：kg）

BM1=二产:苗人区.中国成人的BMI数值标准为：BMK18.5为偏瘦；

身图2（单位：nr）

18.5<BMI<24为正常；BM>24为偏胖.为了解某社区成年人的身体肥胖情况，

研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法抽取了老年人、中年人、青

年人三类人中的45名男性、45名女性为样本，测量了他们的身高和体重数据，

计算得到他们的BMI值后数据分布如下表所示:

老年人中年人青年人

BMI标准

男女男女男女

BMK18.5331245

18.5<BMI<245757810

BMI>245410542

(1)从样本中的老年人、中年人、青年人中各任取一人，求至少有1人偏胖

的概率；

(2)从该社区所有的成年人中，随机选取3人，记其中偏胖的人数为X,根据

样本数据，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；

(3)经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯、

体育锻炼或其他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人

导致偏胖的原因，整理数据得到如下表：

分类遗传因素饮食习惯欠佳缺乏体育锻炼其他因素

人次812164

请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发

生，请至少说明2条措施.

［解］(1)设“在老年人中任取1人，这个人恰好为偏胖的老年人”为事件A,

“在中年人中任取1人，这个人恰好是偏胖的中年人”为事件8,

“在青年人中任取1人，这个人恰好是偏胖的青年人”为事件C,

则P(A)=W，P⑻焉=看尸(0=击4，

事件A,B,。互相独立，则至少有一人偏胖的概率为：

-----———2198

1—P(ABC)=1~P(A)P(B)P(C)=1-p<2xlT=TT-

(2)在该社区成年人中，随机选取1人，此人为偏胖的概率是3老0=不1

yuJ

由题意，X的所有可能取值为：0,1,2,3,

3

所以P(X=0)=C9x(L；)=捺

2

P(X=l)=dxgx(l—g)=/,

2

P(X=2)=C?xf|jx|=|,

P(X=3)=C啕弓,

所以随机变量X的分布列为：

X0123

8421

P

279927

842］

故E(X)=Ox^+1x9+2x-+3x—=1.

(3)答案不唯一，言之有理即可.

如可以从导致人偏胖的原因的人次来分析问题，参考答案如下：

由表可知，因饮食习惯欠佳导致人偏胖的人次占比为30%；因缺乏体育锻炼

导致人偏胖的人次占比约为40%.

所以为减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，建议我们至少要采取以下2

种措施：

①加强体育锻炼；②改善饮食习惯.

21.(本小题满分12分)直角坐标系xOy中，Fi,尸2分别为椭圆C：，+$=

l(a>b>0)的左右焦点，A为椭圆的右顶点，点P为椭圆C上的动点(点P与。的

左右顶点不重合)，当△PBB为等边三角形时，SAPFIF2=4

(1)求椭圆。的方程；

(2)如图，〃为AP的中点，直线M。交直线》=-4于点。，过点。作OE//AP

交直线x=-4于点E,证明：NOEFi=/ODFi.

［解］(1)设椭圆C的半焦距为c,

因为△PFF2是等边三角形，

所以此时尸在上顶点或下顶点处，

所以a=2c,

又5A=小，

△PFIF2V

所以历=小，

222

又由a=b+c9

解得。2=1,〃=4,b2=3.

故椭圆的方程为3+f=l.

(2)证明：由题意知A(2,0),

设AP的中点M(xo,>'()),P(xi,yi),直线AP的方程为y=Z(x—2),后0,

>=%(*—2)

将直线AP的方程与椭圆方程联立得+q=],

消去y整理得，(4^+3)^-16^+16^-12=0,

I6P

所以如+2=赤三,

所以次=爵？*=K无。-2)=於弱，

即M的坐标为Q磊,温],

-6k

,,.4^+33

从而koM=一双2-'=~4k'

必2+3

3

所以直线OM的方程为产一和，

令》=—4,得£)(—4,%),

直线OE的方程为〉=区，

令x=-4,得E(~4,—4k).

—4"4"

法一：由回(一1，0),得kEFi=-j^=w，

所以ko\rkEFi=—1,

即。M_LEF1,记垂足为“，

因为％=-7=—pkoE=kA=k,

DR—3k1P

所以OELOFi,记垂足为G,

在直角三角形EH。和直角三角形。G。中,

NODFi和/OEQ都与NEQD互余，

所以NODR=NOMi.

法二：因为。(一4,凤一4,~4k),Fi(-1,0),

所以动=(4,的，烯i=(3,4Z),虎=(4,一§,诟=(3,-1

▼…_>>、12+1633+4d

所以cosazEO,EFC=而西用次=/西币猊'

d12+/3+4公

cos(DO,DF\)=-「内-------/-；■=/■,5,

E卡"?e

所以cos(EO,EFl)=cos(DO,DFi),

(EO,EF\>=(DO,DF}),

所以NOOFi=NOER.

22.(本小题满分12分)已知函数/(x)=21nx—f,g(x)=x+；

⑴设函数/(x)与g(x)有相同的极值点；

⑴求实数。的值；

(ii)若对Vxi,%24，31，不等屋牛沁口恒成立，求实数人的取值范

围.

(2)a=0时，设函数〃(%)=呼(力一sin(g(x))—1.试判断力。)在(一兀，0)上零点的

个数.

2(1—X2)

［解1(l)(i)/'(x)=、x，无>0，

由广。)=0得x=l,

九e(0,1)时，/(x)〉o,/(x)单调递增；xe(l,+00)时，f(x)<0,/(X)单调

递减，

故x=1为/(x)唯一的极大值点,

由题意，X=1也是g(x)的极值点，g，(x)=l-

由g'(l)=l—4=0得4=1，

1f-1

此时，gu)=i一点=一

尤w(0,1)时，