2023年高考文科数学试题及参考答案(上海卷)

1/12023年高考文科数学试题及参考答案(上海卷)2023年全国一般高等学校招生统一考试（上海卷）

数学(文科)全解全析

一．填空题（本大题满分44分，本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）

1．方程91

31=

-x的解是．

【答案】1-=x

【解析】12

1331219

xxx--==?-=-?=-

2．函数1

1

)(-=xxf的反函数=-)(1

xf．

【答案】

1

0xxx

+≠【解析】由11(0)1

yyxyxy

+=

?=

≠?-1

1

0xf

xxx

-+=

≠3．直线014=-+yx的倾斜角=θ．【答案】4arctanπ-【解析】tan4,(,)2

π

θθπθ=-∴∈?=4arctanπ-.。

4．函数πseccos2yxx?

?

=+

???

的最小正周期=T．

【答案】π

【解析】π1

seccos(sin)tan2cosyxxxxTx

π?

?=+

=

-=-?=???。

5．以双曲线

15

4

2

2

=-

y

x

的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是

．【答案】2

12yx=

【解析】双曲线

2

2

14

5

x

y

-

=的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0）则抛物线的

顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)2

12yx=。

6．若向量ab，

的夹角为

60，1ab==，则aab-=．

1C

C

B

1B

1A

A

【答案】

2

1

【解析】2

2

11cos6012

2

aa

baabaab-=-?=-??=-

=

。

7．如图，在直三棱柱111CBAABC-中，90=∠ACB，21=AA，1==BCAC，则异面直线BA1与AC所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．

【答案】6

6arccos

【解析】11

,ACAC∴异面直线BA1与AC

所成角为11BAC∠

，易求1

AB=，

1111111coscos

6

6

ACBACBACarcAB

∴∠=

==

?∠=。

8．某工程由ABCD，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x，，，天．四道工序的先后挨次及相互关系是：AB，可以同时开工；A完成后，C可以开工；BC，完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是．

【答案】3

【解析】由于A完成后，C才可以开工，C完成后，D才可以开工，完成A、C、D需用时间依次为24x，，天，且AB，可以同时开工，该工程总时数为9天，maxmax2493

xx∴+

+=?=。

9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．

【答案】3.0

【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是2

1

2335

30.310

CCPC=

=

=。

10．对于非零实数ab，，以下四个命题都成立：①01≠+

a

a；②2

2

2

2)(bababa++=+；

③若||||ba=，则ba±=；④若aba=2，则ba=．

那么，对于非零复数ab，，仍旧成立的命题的全部序号是．【答案】②④

【解析】对于①：解方程10aa

+

=得a=±i，所以非零复数a=±i使得10aa

+

=，①

AB

不成立；②明显成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则ab=?ab=±，所以③不成立；④明显成立。则对于任意非零复数,ab，上述命题仍旧成立的全部序号是②④11．如图，AB，是直线l上的两点，且2=AB．两个半径相等的动圆分别与l相切于

AB

，点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB线段AB围成图形面积S的取值范围是．【答案】π022?

?

-???

，

【解析】如图，当12OO与外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，

2

max1212(1)24

2

Sππ∴=?-???=-，随着圆半径的变化，

C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离0,0,(0,2]2

dSSπ

→→∴∈-时。

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必需把正确结论的写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

12．已知ab∈R，，且i3,

i2++ba（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两

个根，那么ab，的值分别是（）

Ａ．32ab=-=，Ｂ．32ab==-，Ｃ．32ab=-=-，Ｄ．32ab==，【答案】A

【解析】由于2+ai，b+3i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以2+

ai与

b+3i互为共轭复数，则a=－3，b=2。选A。

13．圆0122

2=--+xyx关于直线032=+-yx对称的圆的方程是（）Ａ．2

1)23(2

2

=

-++yxＢ．2

1)23(2

2=

++-yx

Ｃ．2)23(2

2

=-++yx

Ｄ．2)23(2

2

=++-yx

【答案】C

【解析】圆2222

210(1)2xyxxy+--=?-+=，圆心（1，0）

，半径，关于直线

032=+-yx对称的圆半径不变，

排解A、B，两圆圆心连线段的中点在直线032=+-yx上，C中圆2)23(22=-++yx的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。

14．数列{}na中，22

21

1100010012nnn

annnn???=???-?

，≤≤，，≥，则数列{}na的极限值（）

Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在

【答案】B

【解析】2

2

1limlim

lim

1221nnnnn

ann

n

→∞

→∞

→∞

===--

，选B。

15．设)(xf是定义在正整数集上的函数，且)(xf满意：“当2fkk≥成立时，总可推出(1)fk+≥2)1(+k成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若1)1(--xxfxf；（2）争论函数)(xf的奇偶性，并说明理由．【解析】（1）121

2)1(22

2

->--

--+

xxxx

x，

01

22>--

xx

，

0)1(a，0>>cb．

如图，设点0F，1F，2F是相应椭圆的焦点，1A，2A和1B，2B是“果圆”与x，y

轴的交点，M是线段21AA的中点．

（1）若012FFF△是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；

（2）设P是“果圆”的半椭圆

12

22

2=+

c

xb

y

(0)x≤上任意一点．求证：当PM取得最小值时，

P在点12BB，或1A处；

（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标．

【解析】（1）

(

(012(0)00FcFF-，

，，，，

021211FFbFF∴

=

==，，于是2

222

374

4

cabc=

=+=

，，

所求“果圆”方程为2

2

41

(0)7

xyx+=≥，2

2

41

(0)