2022-2023学年山东省滨州市惠民县高一年级下册学期6月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省滨州市惠民县高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算求得复数z，再根据共轭复数的概念即可求得答案.【详解】由题意得，，故，故选：D2．已知正方体的棱长为2.它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是A．8π B．12π C．16π D．20π【答案】B【解析】由棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知球半径，由此能求出球的表面积．【详解】因为棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以，球半径，得出，球的表面积．故选：．【点睛】本题考查球的表面积的求法，求出球的半径是关键，运用正方体外接球的直径等于正方体的体对角线求解．3．以下结论正确的是（

）A．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率B．对立事件一定互斥C．事件与事件互斥，则有D．事件，满足，则，是对立事件【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义、性质直接求解．【详解】对于，当事件与事件互斥时，事件与事件的和事件的概率才大于事件的概率，故A错误；对于，对立事件一定是互斥事件，故B正确；对于，事件与事件对立，则有，事件与事件互斥，则有，故C错误；对于，事件，满足，则，不一定是对立事件，故D错误．故选：B4．在棱长为的正方体中，直线BD到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线面平行可得点到面的距离即为线到面的距离，根据等体积法即可求解.【详解】因为,平面,平面,因此平面,故直线BD到平面的距离即为点到平面的距离；为边长为2的等边三角形，故，,设点到平面的距离为，由等体积法可得,即,故选:B5．为宣传城市文化，提高城市知名度，我市某所学校5位同学各自随机从“趵突腾空”、“历山览胜”、“明湖汇泊”三个城市推荐词中选择一个，来确定该学校所推荐的景点，则三个推荐词都有人选的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分步计数原理、分组分配方法求出选择景点的方法数，然后根据概率公式计算．【详解】5位同学任意选取1个景点的方法数为，三个推荐词都有人选，可以先把5人分成三组，然后每组选一个，方法数为，所以所求概率为．故选：A．6．已知一组数据：的平均数是5，方差是4，则由，，和这四个数据组成的新数据组的方差是（

）A．16 B．14 C．12 D．11【答案】C【分析】根据平均数、方差公式计算可得；【详解】解：由已知得，，则新数据的平均数为，所以方差为，，故选：C．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，，，则b=（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】根据三角形的面积求得，再利用余弦定理即可得出答案.【详解】解：因为△ABC的面积为，，所以，所以，所以.故选：C.8．已知，．若，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由得，又，代入数值计算即可.【详解】因为，所以，所以，又.故选：A.二、多选题9．已知是任意的非零向量，则下列结论正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】对A，平方根据可判断；对B，根据数量积定义和可判断；对C，根据向量是由大小和方向决定可判断；对D，两边平方可得即可判断.【详解】对A，，当且仅当同向等号成立，所以，故A正确；对B，因为，所以，当且仅当同向等号成立，故B正确；对C，若，因为方向不一定相同，所以不一定相等，故C错误；对D，若，两边平方可得，所以，故D正确.故选：ABD.10．在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是ABC，且某同学不会做该题，下列结论正确的是（

）A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是D．该同学随机选择选项，能得分的概率是【答案】BC【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.【详解】该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，，，；随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为，，，，，；随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为，，，；随机选四个选项，共有1个基本事件，即；仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A错误；随机至少选择二个选项，能得分的概率是，故B正确；仅随机选三个选项，能得分的概率是，故C正确；随机选择选项，能得分的概率是，故D错误；故选：BC.11．某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（

）A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差【答案】ACD【分析】利用平均数、中位数、平均数、方差的定义进行判断.【详解】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、去掉一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化.故B错误.故选：ACD.12．如图，棱长为的正方体的外接球的球心为，、分别为棱、的中点，在棱上，则（

）A．对于任意点，平面B．存在点，使得平面平面C．直线被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得的截面圆面积的最小值为【答案】BC【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面，再结合面面垂直的判定定理可得出结论；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.【详解】对于A选项，当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；对于B选项，因为四边形为正方形，则，当为的中点时，，则，平面，平面，则，因为，则平面，因为平面，所以，同理，，因为，所以平面，即平面，平面，故平面平面，B正确；对于C选项，取的中点，，为的中点，则，，同理可得，则.因为平面，平面，则，所以，，则，球的半径为，所以直线的被球截得的弦长为，C正确；设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.因为，则，所以截面圆面积，D错误，故选：BC.三、填空题13．某校举行演讲比赛，10位评委给甲选手的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.1，8.3，8.3，8.7，则这组数据的75%分位数为.【答案】8.3【分析】根据百分位数的定义和运算规则即可求解.【详解】该数据已经从小到大排列，

，∴第75%位数是8.3；故答案为：8.3.14．已知向量，.若，则.【答案】1【分析】根据向量垂直，数量积为0.【详解】解：，又，所以，解得：，故答案为：1.15．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为.【答案】【分析】由，，，结合长方体模型得出球O的半径，进而得出球O的表面积.【详解】由题意可知，，，，可得，所以，即，同理可得，，，以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体.由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以，，所以球O的表面积.故答案为：16．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是.【答案】【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，，在中，有，所以，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为．故答案为：四、解答题17．已知向量，.(1)若，求；(2)若向量，，求与夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求得，从而可得，于是；（2）由，可得，再由夹角公式计算即可.【详解】（1）因为，，所以，.由，可得，即，解得，所以，故.（2）因为向量，，所以，所以.则，，所以，所以与夹角的余弦值为.18．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.(1)求AC；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；（2）根据内接四边形可得，再根据正弦定理求解即可【详解】（1）因为的面积为，所以.又因为，，所以.由余弦定理得，，，所以.（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.19．如图，在直三棱柱中，，，E为线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面,再根据面面垂直的判定定理证明结论即可；（2）作辅助线，找出直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案.【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面ABC，所以.又因为，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以.因为，E为线段的中点，所以.因为，平面，平面，所以平面,又平面，所以平面平面.（2）取的中点F，连接EF，，则，所以.因为在直三棱柱中，所以，又因为，平面，平面，所以平面.所以为直线与平面所成的角.因为，所以，，，所以.因为平面，平面，所以，所以，所以直线与平面所成角的正切值为.20．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.【答案】(1)(2)74.4分钟(3)【分析】（1）根据频率之和为1即可求出；（2）根据频率可判断中位数位于区间，设为，列出方程即可求出；（3）求出5人中任取3人的所有情况，再求出满足条件的情况即可求出.【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，解得.（2）因为，.则中位数位于区间内，设中位数为x，则，解得，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.（3）由题意，阅读时间位于的人数为，阅读时间位于的人数为，阅读时间位于的人数为，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有2人，设为，，位于区间有2人，设为，.则从5人中任取3人，样本空间.含有10个样本点.设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”，，含有3个样本点.所以，所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.21．当今社会，学生的安全问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，滨州市组织了一次中学生安全知识竞赛，规定每队2人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队2人答对的概率均为，乙队2人答对的概率分别为，，且各人回答正确与否互不影响，各队得分互不影响.(1)求甲队总得分为1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；【详解】（1）解：令“甲队第个人回答问题正确"，，令“乙队第个人回答问题正确”，，则，，.令“甲队总得分为1分”，则.由概率加法公式和事件的独立性定义得，.所以甲队总得分为1分的概率为.（2）解：令“甲队总得分为2分”，令“乙队总得分为1分”，则，，由概率加法公式和事件的独立性定义