新教材2023-2024学年高中数学第6章平面向量初步测评新人教B版必修第二册

第六章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中,正确的是()①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向是确定的;③单位向量都是同方向的;④任意向量与零向量都共线.A.①② B.②③ C.②④ D.①④2.已知空间四边形ABCD中,AB=a,CB=b,AD=c,则CD等于()A.a+b-c B.-a-b+cC.-a+b+c D.-a+b-c3.河水的流速大小为2m/s,一艘小船想沿垂直于河岸的方向驶向对岸,且速度大小为10m/s,则小船在静水中的速度大小为()A.10m/s B.226m/sC.46m/s D.12m/s4.[2023广东茂名统考]在△ABC中,AB=c,AC=b,若点M满足MC=2BM,则AM=()A.13b+23c B.23bC.53c-23b D.23b5.已知平面内两个不共线向量i,j,且a=ki+3j,b=2i+(k-1)j,若向量a与b共线,则k=()A.3或-2 B.1或-6C.-3或2 D.-1或66.点P是△ABC所在平面内一点,若AP=23AB+13AC,则△A.3 B.2 C.13 D.7.已知△ABC中,M是线段BC上靠近点B的三等分点,N是线段AC的中点,则BN=()A.12AMC.12AM+2MN D.138.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,F为线段BD上的一动点,若AF=xAE+yDC(x>0,y>0),则2-3x4A.12 B.34二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若向量a=(λ,-1)与b=(3,1)共线,则()A.λ=-3 B.|a-b|=2C.λ=3 D.|a-b|=21010.下列各组向量中,可以组成基底的是()A.a=(-2,3),b=(4,6)B.a=(2,3),b=(3,2)C.a=(1,-2),b=(7,14)D.a=(-3,2),b=(6,-4)11.在等边三角形ABC中,BD=DC,EC=2AE,AD与BE交于点F,A.AD=12C.AF=112.如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若AP=λAB+μAE,则下列判断正确的是()A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B.满足λ+μ=1的点P有两个C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个D.满足λ+μ=32的点P三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则AB+2BC=.

14.在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=λAM+μAN,则λ+μ=.

15.已知向量a=(1,3),b=2,-12,若单位向量c与a-2b平行,则c16.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且|BC|=4,|AB+AC|=|AB-AC|,则|四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)设a,b是两个不共线的向量,AB=2a-b,BC=a+b,CD=a-2b,求证:A,B,D三点共线.18.(12分)计算:(1)13(a+2b)+14(3a-2b)-12(a(2)12(3a+2b)-23a-b-7612a+37b+7619.(12分)如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若OC=λOE+μOF,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.20.(12分)平面内给定三个向量a=(3,9),b=(2,1),c=(-1,7).(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;(2)若(a+c)∥(b+kc),求实数k.21.(12分)如图,在△OCB中,点A在BC上,且点B关于点A的对称点是点C,OD=2DB,DC与OA交于点E,设OA=a,OB=b.(1)用a,b表示向量OC,(2)若OE=λOA,求实数λ的值.22.(12分)[2023湖北十堰高一]某公园有三个警卫室A,B,C,互相之间均有直道相连,AB=2千米,AC=23千米,BC=4千米,保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B,同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A,甲的速度为2千米/时,乙的速度为1千米/时.(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D,若AD=xAB+yAC,求实数x,y的值;(2)若甲、乙两人通过对讲机联系,对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米,试问有多长时间两人不能通话?参考答案第六章测评1.D2.C3.B设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则|v1|=2,|v|=10,v⊥v1,v=v1+v2,所以|v2|=v2-2v·v1+v12=4.A由题意可得AM=AB+BM=AB+13BC=5.A∵向量a与b共线,∴存在实数λ,使得a=λb,∴ki+3j=λ[2i+(k-1)j],化为(k-2λ)i+(3-λk+λ)j=0.∵i,j是同一平面内两个不共线的向量,∴k-2λ=0,6.D点P是△ABC所在平面内一点,过P作PE∥AC,PF∥AB,如图所示,由AP=23AB+13AC=AE+AF,故AE∶EB=2∶1=PC∶PB,所以△ABP与△7.C不妨设△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,以线段BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线AO为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设AC=32,故B(-3,0),N32,32,故BN=92,32,M(-1,0),A(0,3),设BN=xAM+yMN,则92=-x+52y,8.A设BD,AE交于点O,因为DE∥AB,所以△AOB∽△EOD,所以AOOE=ABDE=2,所以AO=2OE,则AE=32AO,所以AF=xAE+yDC=32xAO+yAB.因为O,F,B三点共线,所以32x+y=1,即2-3x=2y,所以2-3x4y2+1=2y4y2+1=24y+1y.因为x>0,9.AD因为a∥b,所以λ×1=-1×3,即λ=-3.因为a-b=(-6,-2),所以|a-b|=36+4=210.故选AD.10.ABC由两向量共线的坐标表示知,ABC中的向量均不共线.对于D,a=(-3,2),b=(6,-4),即a=-12b,所以a与b共线.故选ABC11.AC∵BD=DC,∴D为BC的中点,∴AD=12(AB+AC),故A正确;∵EC=2AE,∴AE=13AC=13(BC-BA),∴BE=BA+AE=BA+13(BC-BA)=13BC+23BA,故B错误;设AF=12.BCD如图,建立平面直角坐标系,取AB=1,∵AE=AD+DE=AD-AB,∴AP=λAB+μAE=(λ-μ)AB+μAD=(λ-μ)(1,0)+μ(0,1)=(λ-μ,μ).动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A,当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1且μ=0,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤1;当P∈BC时,有λ-μ=1且0≤μ≤1,则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3;当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1且μ=1,则μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3;当P∈AD时,有λ-μ=0且0≤μ≤1,则λ=μ,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2.综上,0≤λ+μ≤3.选项A,取λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时AP=AB+AE=AD,因此点P不一定是BC的中点,故A错误;选项B,当点P取点B或AD的中点时,均满足λ+μ=1,此时点P有两个,故B正确;选项C,当点P取点C时,λ-μ=1且μ=1,解得λ=2,λ+μ为3,故C正确;选项D,当点P为0,34或1,13.(-4,9)因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以AB=(2,3),BC=(-3,3),则AB+2BC=(-4,9).14.415.-35,45或35,-45由题意a-2∴|a-2b|=(-3)又a-2b|a-16.2以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,如图所示,由向量加减法的几何意义,可知AD=AB+AC,CB=AB-AC,因为|AB又由|BC|=4,且M为线段BC的中点,所以|AM|=12|AD|=117.证明∵BC=a+b,CD=a-2b,∴BD=BC+CD=2∴AB=又AB,BD有公共点B,∴A,B,D18.解(1)13(a+2b)+14(3a-2b)-12(a-b)=13a+23b+34a-12b-12a+12b=13+34-12(2)12(3a+2b)-23a-b-7612a+37b+76a=1273a+19.解在矩形OACB中,OC=又OC=λOE+μOF=λ(OA+AE)+μ(OB+BF)=λOA+13OB所以λ=μ=3420.解(1)由题意得(3,9)=m(2,1)+n(-1,7),∴2m-(2)a+c=(2,16),b+kc=(2-k,1+7k).∵(a+c)∥(b+kc),∴2(1+7k)-16(2-k)=0.解得k=1.21.解(1)由题意知A是BC的中点,则AC=又OD=2DB,所以OD=于是OC=OA+AC=OA+BA=OA+(OA-OB)=2a-b,DC=OC-(2)由题图知C,E,D三点共线,可设EC=μDC,μ∈R,又EC=OC-OE=(2a-b)-λa=(2-λ)·a-b,DC=2a-53b,所以(2-λ)·a-b=μ2a-53解得μ=35,λ22.解(1)因为AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC,因此建立如图所示的平面直角坐标系,A(0,0),B(2,0),C(0,23).设保安甲从C出发t小时后到达点D,则有