新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案31第五章平面向量与复数第三讲平面向量的数量积

练案[31]第三讲平面向量的数量积A组基础巩固一、单选题1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|＝(D)A．2 B．3C．4 D．5[解析]解法一：由题意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq\r(42＋－32)＝5，故选D.解法二：由题意知|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a·b＝2×(－2)＋1×4＝0，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25，所以|a－b|＝5，故选D.2．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(B)A．－1 B．0C．1 D．2[解析]由已知得|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ＝60°，则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cosθ－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.3．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2eq\r(3)，则|b|＝(B)A.eq\r(3) B．1C．4 D．3[解析]因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，又因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4×|a|×|b|×cos60°＋4|b|2＝(2eq\r(3))2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1(－2舍去)，故选B.4．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(C)A．－eq\f(9,2) B．0C．3 D．eq\f(15,2)[解析]因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.5．(2023·湖南省澧县一中高三试题)若AC⊥BC，AC＝BC＝1，点P是△ABC内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是(A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．(－1,1)[解析]建立平面直角坐标系，设出点P坐标，根据向量数量积的坐标运算，转化成坐标间的关系；根据坐标的取值范围确定数量积的范围．建立平面直角坐标系，由AC⊥BC，AC＝BC＝1，∴A(0,1)，B(1,0)，设点P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x,1－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)；又P是△ABC内的一点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,y>0,x＋y<1))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－x(1－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2－eq\f(1,2)；它表示△ABC内的点到点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))距离的平方，再减去eq\f(1,2)的值；结合图形知，点P与点M重合时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))取得最小值为－eq\f(1,2)，点P与点A或B或C重合时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))取得最大值为0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)).6．(2023·新高考八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝eq\r(7)a＋eq\r(2)b，则sin〈a，c〉＝(B)A.eq\f(\r(7),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(7),9) D．eq\f(\r(2),9)[分析]利用夹角公式求解．[解析]解法一：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(eq\r(7)，eq\r(2))，cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(\r(7),1×3)＝eq\f(\r(7),3)，∴sin〈a，c〉＝eq\f(\r(2),3)，故选B.解法二：|c|2＝c2＝(eq\r(7)a＋eq\r(2)b)2＝7a2＋2eq\r(14)a·b＋2b2＝9，∴|c|＝3a·c＝a(eq\r(7)a＋eq\r(2)b)＝eq\r(7)a2＋eq\r(2)a·b＝eq\r(7)∴cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(\r(7),3)，∴sin〈a，c〉＝eq\f(\r(2),3).故选B.7．(2023·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq\o(CE,\s\up6(→))＝－7eq\o(DE,\s\up6(→))，3eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(D)A．11 B．10C．－10 D．－11[解析]以A为坐标原点，建立直角坐标系如图．则A(0,0)，B(4,0)，E(1,4)，F(5，1)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝(5,1)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－3，4)，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝－15＋4＝－11.8．(2022·江西南昌二中期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))[解析]∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－eq\f(1,2).又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．故选C.二、多选题9．(2023·山东高考预测卷)已知平面向量a＝(3,4)，b＝(7,1)，则下列结论正确的是(AD)A．a＋b＝(10,5) B．|b|＝10|a|C．a∥(a－b) D．a与b的夹角为45°[解析]根据向量的坐标运算易知A选项正确；因为|b|＝5eq\r(2)，|a|＝5，所以B选项错误；因为a－b＝(－4,3)，3×3≠4×(－4)，所以C选项错误；因为cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(25,5×5\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以a与b的夹角为45°，D选项正确．10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是(CD)A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影向量为eq\f(\r(2),2)bC．2m＋n＝4D．mn的最大值为2[解析]对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(1,2)b，B错误；对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，得mn＝eq\f(1,2)(2m·n)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋n,2)))2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．11．(2023·武汉调研)如图，点A，B在圆C上，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值(BC)A．与圆C的半径有关 B．与圆C的半径无关C．与弦AB的长度有关 D．与点A，B的位置有关[解析]如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB与D，则D是AB的中点，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos∠CAD＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·eq\f(\f(1,2)|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关，故选BC.三、填空题12．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cosa，b＝－eq\f(\r(2),10).[解析]cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×－8＋2×6,2\r(2)×10)＝－eq\f(\r(2),10).13．(2020·全国Ⅱ，13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝eq\f(\r(2),2).[解析]本题考查平面向量的数量积运算．由题意知|a|＝|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos45°＝eq\f(\r(2),2).因为ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝0，即ka2－a·b＝0，即k－eq\f(\r(2),2)＝0，得k＝eq\f(\r(2),2).14．(2022·皖中名校联考)已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影为_－1__.[解析]∵向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36，|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16.∴a·b＝－5，|b|＝1，∴向量b在向量a上的投影为|b|·cosa，b＝|b|·eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－5,5)＝－1.15．(2021·新高考Ⅱ，15)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(9,2).[解析]由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，则a·(b＋c)＝－a2，所以a·b＋c·a＝－12＝－1.由b＋c＝－a，得(b＋c)2＝(－a)2，则b2＋2b·c＋c2＝a2，即22＋2b·c＋22＝12，所以b·c＝－eq\f(7,2)，则a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(9,2).四、解答题16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．[解析](1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).(3)因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq\f(2π,3)，所以∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).B组能力提升1．(2023·甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为(D)A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)[解析]解法一：设a与b－a的夹角为θ.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0.因为a，b为非零单位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝eq\r(2).因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，所以cosθ＝eq\f(－1,1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(3π,4).解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两条对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为eq\f(3π,4).解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1,0)，b＝(0,1)，则b－a＝(－1,1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为eq\f(3π,4).2．(2023·新乡质检)已知向量a＝(0,2)，b＝(2eq\r(3)，x)，且a与b的夹角为eq\f(π,3)，则x＝(B)A．－2 B．2C．1 D．－1[解析]由题意得eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2x,2·\r(12＋x2))＝eq\f(1,2)，则2x＝eq\r(12＋x2)，解之得x＝2，x＝－2(舍去)．3．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(AC)A．|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|B．|eq\o(AP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AP2,\s\up6(→))|C.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))D.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))[解析]由题意可知，|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝eq\r(cos2α＋sin2α)＝1，|eq\o(OP2,\s\up6(→))|＝eq\r(cos2β＋－sinβ2)＝1，所以|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|，故A正确；取α＝eq\f(π,4)，则P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，取β＝eq\f(5π,4)，则P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，则|eq\o(AP1,\s\up6(→))|≠|eq\o(AP2,\s\up6(→))|，故B错误；因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝cos(α＋β)，eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))，故C正确；因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝cosα，eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,4)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\f(\r(2),2)，eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))≠eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))，故D错误．4．(2022·广西柳州期中)如图，AB是单位圆O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(B)A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)[解析]连接CD，CB，DB，如图所示：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝2，则AC＝2cos60°＝1.在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，AB＝2，则AD＝2cos30°＝eq\r(3).因为∠CAD＝30°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC2,\s\up6(→))＝1×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)－1＝eq\f(1,2).故选B.5．(多选题)(2022·湖北洪湖市第一中学高一阶段练习)已知向量a＝(3,4)，b＝(cosθ，sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是(AC)A．若a⊥b，则tanθ＝－eq\f(3,4)B．存在θ，使得|a－b|＝|a|＋|b|C．若向量b在a方向上的投影向量为eq\f(\r(2),10)a，则向量a与b的夹角为eq\f(π,4)D．与向量a共线的单位向量是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))[解析]向量a＝(3,4)，b＝(cosθ，sinθ)(0≤θ≤π)，A项，因为a⊥b，所以a·b＝(3,4)·(cosθ，sinθ)＝3cosθ＋4sinθ＝0，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(3,4)，故选项A正确；B项，要使|a－b|＝|a|＋|b|成立，则有a与b共线反向，即a＝λb(λ<0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λcosθ,4＝λsinθ))，因为λ<0,0≤θ≤π，所以sinθ≥0，所以4＝λsinθ不成立，所以方程组无解，所以不存在θ，使得|a－b|＝|a|＋|b|，故选项B错误；C项，|a|＝eq\r(32＋42)＝5，|b|＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1，因为向量b在a方向上的投影向量为eq\f(\r(2),10)a，所以向量b在a方向上的投影为eq\f(\r(2),10)|a|，即|b|cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),10)|a|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),10)×5＝eq\f(\r(2),2)，又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝eq\f(π,4)，即向量a与b的夹角为eq\f(π,4)，故选项C正确；D项，因为|a|＝eq\r(32＋42)＝5，所以与向量a共线的单位向量是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，故选项D错误．故选AC.6．如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(OC,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2).[解析]由已知得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),4)，则eq\o(OC,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\r(2)coseq\f(3π,4)＋eq\f(\r(2),4)×eq\r(2)＝－eq\f(1,2).7．(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，则实数λ的值为eq\f(1,6)；若M，N是线段BC上的动点，且|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值为eq\f(13,2).[解析]本题考查平面向量的线性运算以及数量积．由题意eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAD＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1.又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,6).以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，不妨设M(t,0)(0≤t≤5)，则N(t＋1,0)，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)，－\f(3\r(3),2)))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3)