福建省三明市永安一中高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年福建省三明市永安一中高二（下)期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．复数=（)A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K2=7。069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”．附:P(K2≥k0）0.1000。0500.0250.0100。001k02。7063。8415。0246.63510.828A．95% B．99% C．97.5％ D．90％3．某班有50名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N）服从正态分布N．已知P（90≤ξ≤100)=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为（）A．10 B．20 C．30 D．404．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y(cm）175175176177177则y对x的线性回归方程为(）A．y=x﹣1 B．y=x+1 C． D．y=1765．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x6．在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为(）A． B． C． D．8．箱子里有5个黑球,4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为（）A． B．C． D．9．在(x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．80010．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°,D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（）A． B．1 C． D．211．已知集合A={5｝，B=｛1，2｝，C={1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33 B．34 C．35 D．3612．如图，H为四棱锥P﹣ABCD的棱PC的三等分点，且PH=HC,点G在AH上,AG=mAH．四边形ABCD为平行四边形，若G，B,P，D四点共面,则实数m等于（）A． B．P,D C． D．二、填空题（每小题5分，四题共20分．答案请写在答题卡上)13．的二项展开式中的常数项为．14．已知函数f(x）=f′（）cosx+sinx,则f（）的值为．15．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．16．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点,且满足,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是．三、解答题（共70分17题10分18—22各12分解答时应按要求写出证明过程或演算步骤．）17．利用数学归纳法证明不等式:××…×＜（n∈N＊）18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m的严重问题,为了了解强度D(单位:分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii（i=1。2．…,10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（Ii﹣）2（Wi﹣）2(Ii﹣）（Di﹣）（Wi﹣）（Di﹣)1。04×10﹣1145。7﹣11。51。56×10﹣210.516.88×10﹣115.1表中Wi=lgIi，=Wi（Ⅰ）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a+blgI；（Ⅱ）当声音强度大于60分贝时属于噪音,会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响,这两个声源的声音能量分别是I1和I2,且．已知点P的声音能量等于声音能量Il与I2之和．请根据（I）中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰,并说明理由．附:对于一组数据（μl，ν1),(μ2，ν2），…(μn，νn），其回归直线ν=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=,=﹣β．19．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20％；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10％．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X(单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．20．四棱锥E﹣ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD﹣CE=1，AB=AD=AE=,且EC⊥BD（1)求证：平面BED⊥平面AEC；（2）求二面角D﹣﹣BM﹣C的平面角的余弦值．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m．（Ⅰ）求函数f(x）的单调区间；（Ⅱ）若f(x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立,求实数m的取值范围．22．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上),且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．

2016—2017学年福建省三明市永安一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．复数=()A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个复数的乘法法则化简．【解答】解:复数===i，故选C．2．某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关)的关系，运用2×2列联表进行独立性研究,经计算K2=7。069,则至少有（)的把握认为“学生的视力与座位有关”．附：P（K2≥k0）0.1000。0500。0250.0100.001k02。7063.8415.0246。63510.828A．95% B．99% C．97。5％ D．90%【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系【解答】解:∵K2=7.069＞6.635,对照表格：P（K2≥k0)0.1000。0500.0250。0100。001k02。7063.8415。0246。63510。828∴有99％的把握说学生性别与支持该活动有关系．故选B．3．某班有50名学生，一次考试的成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N．已知P(90≤ξ≤100）=0。3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为（)A．10 B．20 C．30 D．40【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N．得到考试的成绩ξ关于ξ=100对称，根据P（90≤ξ≤100)=0。3，得到P=0.3,从而得到P=0.2，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N．∴考试的成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（90≤ξ≤100）=0。3，∴P=0.3，∴P=0。2，∴该班数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10故选A．4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为(）A．y=x﹣1 B．y=x+1 C． D．y=176【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，得到结果．【解答】解：∵=176，=176，∴本组数据的样本中心点是,根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程,只有y=88+x适合，故选C．5．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据双曲线方程，算出它的右焦点为F（4，0）,也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0),结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=8，从而得出该抛物线的标准方程．【解答】解析由双曲线方程﹣=1，可知其焦点在x轴上，由a2=16，得a=4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4，0），∴抛物线的焦点为F（4，0)．设抛物线的标准方程为y2=2px(p＞0)，则由=4，得p=8，故所求抛物线的标准方程为y2=16x．故选A．6．在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】9R:平面向量数量积的运算．【分析】由只能得到角A是锐角，无法得到△ABC为锐角三角形;但△ABC为锐角三角形时，角A一定是锐角，可得．即可判断出．【解答】解：由只能得到角A是锐角,无法得到△ABC为锐角三角形；但△ABC为锐角三角形时，角A一定是锐角，故．∴“•＞0"是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．7．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同）,不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下,第2次也摸到红球的概率为（）A． B． C． D．【考点】CM:条件概率与独立事件．【分析】事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球"的概率．根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率．【解答】解:先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1==，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球"的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，根据条件概率公式,得：P2==，故选：D．8．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）A． B．C． D．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，根据所给的条件可知取到一个白球的概率和取到一个黑球的概率，第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，写出表示式．【解答】解：第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，取到一个白球的概率是，去到一个黑球的概率是其概率为．故选B．9．在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（)A．160 B．240 C．360 D．800【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】利用分步乘法原理:展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积，展开式中x的系数是5个多项式仅一个多项式出3x，其它4个都出2组成．【解答】解:（x2+3x+2）5展开式的含x的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x，其它4个都出2∴展开式中x的系数为C51•3•24=240故选项为B10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点,AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(）A． B．1 C． D．2【考点】LX：直线与平面垂直的性质．【分析】作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F,则AB1⊥平面C1DF，点FB1B的中点即为所求,由C1D⊥平面AA1BB,AB1⊂平面AA1B1B，则C1D⊥AB1，AB1⊥DF,DF∩C1D=D，满足线面垂直的判定定理，则AB1⊥平面C1DF【解答】解:作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面C1DF．四边形AA1B1B为正方形，此时点F为B1B的中点．如图则有△AA1B1∽DB1F,即⇒．故选：A11．已知集合A={5｝，B=｛1，2},C={1，3，4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33 B．34 C．35 D．36【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同点的个数，进而考虑集合B、C中的相同元素1，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案．【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33=36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36﹣3=33个，故选A．12．如图，H为四棱锥P﹣ABCD的棱PC的三等分点，且PH=HC，点G在AH上，AG=mAH．四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，则实数m等于（)A． B．P，D C． D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】若G，B,P，D四点共面，则G即为AH与平面PBD的交点，连接AC，BD交于点O，连接PO，则G即为PO与AH的交点，取HC的中点E，连接OE，结合三角形的中位线定理，可得答案．【解答】解：如下图所示：若G，B，P，D四点共面，则G即为AH与平面PBD的交点,连接AC,BD交于点O，连接PO,则G即为PO与AH的交点,如下图所示:在截面PAC中,O为AC的中点，H为PC的三等分点，取HC的中点E，连接OE，则OE=AH=2GH，故GH=AH，即AG=AH,故m=．故选：C二、填空题（每小题5分，四题共20分．答案请写在答题卡上）13．的二项展开式中的常数项为60．【考点】DB:二项式系数的性质．【分析】利用二项式的通项公式即可得出．【解答】解:二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C6r（2x）6﹣r（﹣）r=(﹣1）rC6r26﹣rx，令6﹣r=0，解得r=4，∴二项式的展开式中的常数项为（﹣1）4C6422=60，故答案为：6014．已知函数f（x）=f′()cosx+sinx，则f(）的值为1．【考点】63：导数的运算;3T：函数的值．【分析】利用求导法则:(sinx）′=cosx及(cosx）′=﹣sinx，求出f′(x），然后把x等于代入到f′(x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x)后，把x=代入到f(x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′(x）=﹣f′（）•sinx+cosx所以f′（）=﹣f′（）•sin+cos解得f′()=﹣1故f(）=f′（)cos+sin=（﹣1）+=1故答案为1．15．将序号分别为1，2,3，4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【考点】D9:排列、组合及简单计数问题．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数,然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组,分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．16．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F,准线为l，A，B是抛物线上的两个动点,且满足，设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是1．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】设|AF｜=a，|BF|=b,连接AF、BF．由抛物线定义得2｜MN｜=a+b，由余弦定理可得｜AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式,求得｜AB｜的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设｜AF｜=a，｜BF|=b,连接AF、BF，由抛物线定义，得｜AF|=|AQ|，｜BF|=｜BP｜,在梯形ABPQ中，2|MN｜=|AQ|+|BP｜=a+b．由余弦定理得,|AB｜2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab,配方得,｜AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥(a+b）2﹣(a+b)2=（a+b)2得到｜AB|≥(a+b）．∴≤1,即的最大值为1．故答案为:1．三、解答题（共70分17题10分18-22各12分解答时应按要求写出证明过程或演算步骤．）17．利用数学归纳法证明不等式:××…×＜（n∈N＊）【考点】RG：数学归纳法．【分析】数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．【解答】证明：（1)当n=1时，左边=，右边=，左边＜右边，不等式成立，（2)∵4n2﹣1＜4n2,即（2n+1）（2n﹣1）＜（2n）2．即＜，∴＜,∴＜，假设当n=k时,原式成立，即××…×＜,那么当n=k+1时，即××…××＜•=＜,即n=k+1时结论成立．根据（1）和(2）可知不等式对任意正整数n都成立．18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m的严重问题，为了了解强度D（单位:分贝）与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系,将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii（i=1。2．…,10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(Ii﹣）2（Wi﹣）2（Ii﹣）（Di﹣)(Wi﹣)（Di﹣）1.04×10﹣1145.7﹣11。51。56×10﹣210。516.88×10﹣115.1表中Wi=lgIi，=Wi(Ⅰ）根据表中数据,求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a+blgI；(Ⅱ）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．已知点P的声音能量等于声音能量Il与I2之和．请根据（I）中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附:对于一组数据（μl,ν1),（μ2，ν2）,…（μn，νn），其回归直线ν=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=,=﹣β．【考点】BK：线性回归方程．【分析】(I）根据回归系数公式得出D关于w的线性回归方程,再得出D关于I的回归方程;（II）适用基本不等式求出I1+I2的范围，利用回归方程计算噪音强度．【解答】解：（1）令wi=lgIi，，∴,∴D关于w的线性回归方程是：，∴D关于I的回归方程是：．（Ⅱ）点P的声音能量I=I1+I2，∵，∴I=I1+I2=10﹣10(）（I1+I2）=10﹣10（2+）≥4×10﹣10．∴点P的声音强度D的预报值：=10lgI+160。7=10lg4+60.7＞60．∴点P会受到噪声污染的干扰．19．某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%,二等品率为10％．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．【考点】CG:离散型随机变量及其分布列；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10,5，2，﹣3,结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式,解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率．【解答】解：(1)由题设知,X的可能取值为10，5,2,﹣3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0。2×0。9=0。18，P(X=2）=0。8×0.1=0.08，P（X=﹣3)=0.2×0.1=0。02．∴X的分布列为：X1052﹣3P0。720。180.080。02（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件．由题设知4n﹣（4﹣n)≥10,解得，又n∈N，得n=3，或n=4．所求概率为P=C43×0.83×0.2+0。84=0。8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0。8192．20．四棱锥E﹣ABCD中，△ABD为正三角形,∠BCD=120°，CB=CD﹣CE=1，AB=AD=AE=，且EC⊥BD(1）求证:平面BED⊥平面AEC；(2)求二面角D﹣﹣BM﹣C的平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定．【分析】(1）由题意可得AC⊥BD，又EC⊥BD,结合线面垂直的判定可得平面BED⊥平面AEC；（2）由(1）知AC⊥BD，证得△COE∽△CEA,可得CE2+AE2=AC2=4，即∠CEA=90°，得EO⊥AC，又BD⊥OE,建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标,得到平面DBM与平面CBM的一法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）由于△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，故连接AC交BD于O点，则△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，则AC⊥BD,又∵EC⊥BD,EC∩AC=C，故BD⊥面ACE，∴平面BED⊥平面AEC；解：(2）由（1）知AC⊥BD，且CO=，AO=，连接EO,则,∴△COE∽△CEA，又CE2+AE2=AC2=4，可得∠CEA=90°．∴∠COE=∠CEA=90°，故EO⊥AC,又BD⊥OE，故如图建立空间直角坐标系，则B（0，，0）,D（0，,0)，C（,0，0）,M（,0，),，,设平面DBM的法向量，则由，得，取z1=1,得；，设平面CBM的法向量，则由，得,取z2=1，得．∴cos＜＞=．故二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值为．21．已知函数f(x）=lnx﹣mx+m．(Ⅰ）求函数f（x）的单调区间;（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞)上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值;6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，对导函数中m进行分类讨论，由此得到单调区间．（Ⅱ）借助（Ⅰ），对m进行分类讨论，由最大值小于等于0,构造新函数，转化为最值问题．【解答】解：（Ⅰ），当m≤0时，f′（x）＞0恒成立,则函数f（x）在（0,+∞）上单调递增，此时函数f（x）的单调递增区间为(0，+∞），无单调递减区间；当m＞0时,由，