第三章-模糊逻辑和模糊逻辑推理

第三章模糊逻辑和

模糊逻辑推理3.1二值逻辑3.2模糊逻辑及其基本运算3.3模糊语言逻辑3.4模糊变换3.5模糊逻辑推理模糊控制篇3.1二值逻辑对一句话，如果能够判断它表述的意思是真是假时，就可以称为命题。一个简单的语句叫“简单命题”，用命题联结词把两个以上的简单命题联结起来叫“复合命题”。命题联结词有：析取∨、合取∧、否定¯、蕴涵→等价←→

一、命题的概念二、二值逻辑——非是即非析取∨：意思是“或”。复合命题P∨Q只有在P和Q都是假时，才是假。例如：P＝她喜欢吃雪糕，Q＝她喜欢喝可乐。

P∨Q＝她喜欢吃雪糕或喜欢喝可乐。合取∧：意思是“与”。复合命题P∧Q只有在P和Q都是真时，才是真。例如：P＝她喜欢吃雪糕，Q＝她喜欢喝可乐。

P∧Q＝她喜欢吃雪糕和（与）喝可乐。蕴涵→：意思是“如果….那么….”例如：P＝是女孩子，Q＝她喜欢漂亮。

P→Q＝如果是女孩子那么她喜欢漂亮。等价←→：意思是“当且仅当”例如：P＝A是等边三角形，Q＝A是等角三角形。

P←→Q＝A是等边三角形当且仅当A是等角三角形。二值逻辑的运算规则称为布尔代数，布尔代数是描述逻辑运算规律的数学，又称逻辑代数。若

、

、

{0，1}，则布尔代数具有如下的运算性质：1)幂等律2)交换律3)结合律4)吸收律5)分配律6)双否律7)互补律8)德

摩根律9)常数运算法则3.2模糊逻辑及其基本运算二值逻辑的特点是一个命题不是真命题便是假命题。但在很多实际问题中要做出这种非真即假的判断是困难的。比如说“重庆的桥多”这显然是一个命题，但是这个命题究竟是真是假？那要看跟谁比较了，如果说“重庆的桥比较多”可能更为合适。也就是说如果命题的真值不是简单的取“1”或“0”，而是可以在[0，1]区间连续取值，这样对此类命题的描述就更切合实际了。这就是模糊命题。模糊命题是指带有模糊概念或模糊性的陈述句，是普通命题的推广，而模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。一、模糊逻辑的定义模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值，而是有多个值，甚至是连续量。

普通命题的真值相对于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题的真值就是隶属度函数，所以模糊逻辑的基本运算，即真值的运算，就是隶属度函数的运算。二、模糊逻辑的基本运算设P、Q、R是三个模糊命题，那么1、模糊逻辑补：对命题否定，2、模糊逻辑析取：P∨Q＝max（P，Q）3、模糊逻辑合取：P∧Q＝min（P，Q）4、模糊逻辑蕴涵：如P是真的，则

Q也是真的。

P→Q＝（1－P＋Q）

∧

1

＝min{1,（1－P＋Q）

}5、模糊逻辑等价：如P是真的，则

Q也是真的。

P←→Q＝（P→Q）

∧

（Q→P）模糊逻辑的基本运算模糊逻辑的基本运算6、模糊逻辑限界积：7、模糊逻辑限界和：8、模糊逻辑限界差：P＝她是个刁蛮的人，其真值P＝0.8Q＝她是个泼辣的人，其真值Q＝0.6那么

P∧Q＝min（P，Q）＝min(0.8,0.6)=0.6

P∨Q＝max（P，Q）＝max(0.8,0.6)=0.8

P→Q＝(1－P＋Q）∧1＝

(1－0.8＋0.6)∧1=0.8 模糊逻辑的基本运算例：设有模糊命题

根据模糊逻辑的基本运算定义，可以得出模糊逻辑运算满足模糊运算的基本定律，除了互补律外，其它八条定律与二值逻辑类似，模糊运算的互补律不成立，其互补运算满足：作用：利用模糊逻辑运算满足的基本定律公式可以化简模糊逻辑函数。3.3模糊语言逻辑所谓语言，通常指自然语言和人工语言。自然语言是指人类交流信息时使用的语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。显然，模糊语言主要是指自然语言。一、模糊语言的概念广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。我们知道，人们在日常生活中交流信息时，常常使用模糊语言来表达具有模糊性的现象和事物。可见，模糊语言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。另外，需要指出的是模糊语言又具有灵活性，在不同的场合，某一模糊概念可以代表不同的含义。如“高个子”，在中国，把大约在1.75—1.85m之间的人归结于“高个子”模糊概念里，而在欧洲，大约在1.80一1.90m之间的人才能算作“高个子”。综上所述，模糊语言实质上是具有模糊性的语言。模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。要将模糊语言表达出来，使机器能模拟人的思维、推理和判断，就需要了解模糊数、语言值、语言变量和语气算子这些概念.二、模糊数连续论域U中的一模糊数F是一个U上的正规凸模糊集。也就是说，以实数集合为全集合，一个具有连续隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数。模糊数实质上是一个模糊子集。而所谓“正规集合”的含义就是隶属度函数的最大值为1，即通俗地讲，模糊数就是那些诸如“大约5”、“10左右”等具有模糊概念的数值。三、语言值在语言系统中，那些与数值有直接联系的词，如长、短、多、少、高、低、轻、重、大、小等或者由他们再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。语言值一般是模糊的，可以用模糊数来表示。例如，成年男子身高的论域：E={130,140,150,160,170,180,190,200,210}={e1,e2,…,e9}在论域上定义语言值：[个子高]=0.2/e4+0.4/e5+0.6/e6+0.8/e7+0.95/e8+1/e9[个子矮]=1/e1+0.7/e2+0.5/e3+0.3/e4+0.1/e5四、语言变量

语言变量是用一个五元素的集合来表征的：其中：

X——语言变量名（如速度、年龄、颜色）；T（X）——语言变量名的集合；

U

——语言变量x的论域；

G——语法规则（用于产生语言变量

x的值）；

M

——算法规则（与每个语言变量含义相联系）。所谓语言变量是以自然语言中的字或句作为变量，而不是以数值作为变量。10语言变量元素之间的关系示意图

语言变量用以表征那些十分复杂或无法用精确术语进行描述的现象，其必须遵守语法规则和算法规则。为了能够更加确切地描述模糊语言变量，进一步区分和刻划模糊值得程度，常常还借用自然语言中的修饰词，如“很”、“较”、“非常”、“有点”、“大约”、“稍微”等来描述模糊值，为此引入模糊语言算子的概念。

语言算子分为语气算子、模糊化算子和判定化算子三类：

语气算子是指一类加强或削弱模糊语言表达程度的词，可加在其他模糊词的前面进行修饰。

加强语气的词称为集中算子，如“特别”、“很”、“相当”等等；减弱语气的词称为散漫化算子，如“较”、“稍微”、“有点”等。1、语气算子记H

为语气算子运算符，则原语言值A经语气算子H

的作用，形成一个新的语言值H

(A)。设原语言值A的隶属度函数为

A，新的语言值H

(A)的隶属度函数为

H(A)，则

极λ＝4

非常λ＝3很λ＝2相当λ＝1.5比较λ＝0.8略λ＝0.6稍λ＝0.4常用的语气算子

定义为：当然，语气强弱的程度因人而异，对于某一特定语气的词,其

的取值不完全一样，但是其取值应与语气的强弱程度一致。以“年老”这个词(语言值)为例，来说明语气算子的作用则例：以及假设有两个人，一个是60岁，另一个是70岁，那么他们分别属于“年老”、“很老”、“有点老”这三个语言值的隶属度可用公式求出为：从上面的隶属度可以得出这样的结论：70岁的人比60岁的人“年老”、“很老”和“有点老”的程度都高，也就是说70岁的人比60岁的人更老。2、模糊化算子模糊化算子用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化，或者将原来就已经是模糊概念的词义更加模糊化。如“大概”、“近似于”、“大约”等，如果对数字进行作用就意味着把精确数转化为模糊数.例如数字“5”是一个精确数，而如果将模糊化算子“F”作用于“5”这个精确数就变成“F(5)”这一模糊数。若模糊化算子“F”是“大约”，则“F(5)”就是“大约5”这样一个模糊数。在模糊控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确量，要采用模糊逻辑推理方法进行模糊控制，就必须首先把精确量进行模糊化处理，而模糊化的过程实质上就是使用模糊化算子来实现的。可见模糊化算子的重要性。设模糊前的集合为A，模糊化算子为F，则模糊化变换可表示为F(A)，并且它们的隶属函数关系满足如果A是清晰集，则

A(x)就是特征函数。

R(x，c)是表示模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线,即参数

的取值大小取决于模糊化算子的强弱程度。例:

论域X上的清晰集A（x）的特征函数为取c＝5，则”大约是5”这一语言值的隶属度函数可以定义为

如右图所示：3、判定化算子判定化算子与模糊化算子的作用相反。它是将原来具有模糊词义的词进行肯定化处理。如“趋向于”、“大半是”、“偏向于”等。设判定化前的集合为A，它的隶属函数为μA(x)，判定化算子为P，则判定化变换可以表示为P（A），它们的隶属函数关系满足当取

=1/2时，P1/2可用来表示“趋向于”。3.4模糊变换基于模糊关系的模糊变换是模糊控制中极为重要的运算过程。

所谓模糊变换，是指给定两个集合之间的一个模糊关系，据此将一个集合上的模糊子集经运算得到另一个集合上的模糊子集的过程。在模糊控制中，通过模糊变换可以从输入的模糊量求出所需的输出模糊量。R=A×BA’B’如图所示，当控制器的模糊关系R确定之后，若输入为A’，则可经运算，求得控制器的输出B’。上式就是模糊变换，结果B’实际上是模糊子集A’和模糊关系矩阵R的合成，它把X中的模糊集A’变为Y上的模糊集B’

，实现了论域的转换。当R表示的是某种逻辑因果关系时，则模糊变换就是一种模糊推理。设R为X×Y上的模糊关系，A’是X上的模糊子集，则可求出相应的B’为3.5模糊逻辑推理常规的逻辑推理方法如演绎推理、归纳推理都是严格的。用传统二值逻辑进行推理时，只要推理规则是正确的，小前提是肯定的，那么就一定会得到确定的结论。例如，前提：如果A，则B，如果B，则C。结论：如果A，则C。然而，在现实生活中人们常常获得的信息是不精确的、不完全的、或者事实本身就是模糊而不能完全确定的。但又需要人们利用这些信息进行判断和决策。例如，若A大，则B小。已知A较大，则B应该多少?显然这样一类问题利用传统的二值逻辑是无法得到结果的，而人们在大部分情况下能够对其进行推理和判断，那么这种不确定性推理的规则是什么呢?目前有关这方面的理论和方法还不成熟，尚在发展之中目前已知的主要不确定性推理方法可归结为四类：MYCIN法、主观贝叶斯方法、证据理论法和模糊逻辑推理法模糊逻辑推理是不确定性推理方法的一种，其基础是模糊逻辑，它是在二值逻辑三段论的基础上发展起来的。虽然它的数学基础没有形式逻辑那么严密，但用这种推理方法得到的结论与人类的思维推理结论是一致或相近的，并在实际使用中得到了验证，因此模糊逻辑推理方法已经受到了广泛的重视。模糊逻辑推理是以模糊判断为前提的，运用模糊语言规则，可推出一个新的模糊判断结论的方法。例大前提：腿长则跑步快小前提：小王腿很长结论：小王跑步很快大前提：腿长则跑步快小前提：小王腿很长结论：小王跑步很快它近似于二值逻辑的三段论推理模式。在这里“腿长”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判断和大前提的前件不是严格相同的。因此这一推理的结论也不是从前提中严格地推出来的而是近似逻辑地推出的结论。通称为假言推理或是似然推理。

判断是否属于模糊逻辑推理的标准是看推理过程是否具有模糊性，具体表现看为推理规则是不是模糊的。在模糊逻辑推理中有两种重要的推理方法，广义取式（肯定前提）推理和广义拒式（否定结论）推理：（1）广义取式（肯定前提）推理前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果x是A’

，结论：y是B’（2）广义拒式（否定结论）推理前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果y不是B’

，结论：x不是A’其中A，B，A’，B’均为模糊集合，x和y为语言变量。后面的介绍将以广义取式为例模糊逻辑的推理方法还在发展之中，比较典型的有扎德(Zadeh)方法、玛达尼(Mamdani)方法、鲍德温(Baldwin)方法、耶格(Yager)方法、楚卡莫托(Tsukamoto)方法。

从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规则推理方法又可分为四种模糊推理规则：近似推理、模糊条件推理、多输入模糊推理和多输入多规则推理。

值得指出的是，这四种推理规则都可以选用不同的推理方法(如扎德法、玛达尼法、鲍德温法等)，但通常最简单、最方便的推理法还是玛达尼的极大极小推理法。下面以模糊取式推理为例，从近似推理、模糊条件推理、多输入模糊推理和多输入多规则推理四种推理方法来进行介绍。一、近似推理规则ifAthenB在控制系统中经常存在此类现象，“如果温度低，则控制电压就增大”这样一个前提下，要问“如果温度很低，则控制电压将该是多少呢?”。很自然用人们的常识可以推知：“如果温度很低，则控制电压就很大”，这种推理方式就称为模糊近似推理。这种推理方式可以这样来表达：要得到结论B’关键在于如何计算模糊关系矩阵R=A

B前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果x是A’

，结论：y是B’=A’

R=A’

(A

B)1、Zadeh

推理法根据不同的推理方法可以得到模糊关系矩阵R的元素μA

B(x,y)的不同计算方法，主要有两种：R=（A

B）=（A

B）

（1-

A）其隶属度函数为推理结果为B’=A’

R=A’

[（A

B）

（1-

A）]其隶属度函数为2、Mamdani

推理法R=（A

B）=A×B=A

B其隶属度函数为Mamdani把模糊蕴涵关系用A和B的笛卡尔积（直积）表示：推理结果为B’=A’

R=A’

（A

B）其隶属度函数为论域X＝Y＝{1，2，3，4，5}，在X和Y上有三个模糊子集“大”、“小”、“较小”，分别如下： “大”＝0.4/3+0.7/4+1/5 “小“＝1/1+0.7/2+0.3/3 “较小”＝1/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4已知规则：为若x小，则y大，那么当x＝较小时，y＝？例已知解：（1）由Zadeh推理法且可以得到x小到y大的模糊关系矩阵Rzd由上面的隶属度值可知，当x较小时“y较大”，因此可以得到x较小时的推理结果：从中可以看出，Zadeh的推理结果与人们的思维是一致的。模糊关系合成：（2）由Mamdani推理法也可以得到x小到y大的模糊关系矩阵Rmin由上面的隶属度值可知，当x较小时“y大”，因此可以得到x较小时的推理结果：在这里,Zadeh推理比Mamdani推理更符合人们的思维。ifAthenB的Mamdani推理法即单个前提单个规则推理：二、模糊条件推理ifAthenBelseC要实现模糊推理的关键是找出模糊关系矩阵，根据逻辑表达式，其模糊关系R是X×Y

的子集：由Mamdani推理法可得模糊关系R的隶属度函数为：前提1：如果x是A，则y是B，否则y是C前提2：如果x是A’

，结论：y是B’=A’

R输入为A’时模糊控制器的输出B’：输出B’的隶属度函数为：一个系统，当输入为A（温度高）时，输出为B（湿度小），否则输出C（湿度不小）。已知

A＝1/x1+0.4/x2+0.1/x3B=0.8/y1+0.5/y2+0.2/y3C=0.5/y1+0.6/y2+0.7/y3问题：当输入A’=0.2/x1+1/x2+0.4/x3时，输出B’？例：先求关系矩阵R：所以A＝{10.40.1}B={0.80.50.2}C={0.50.60.7}因为Mamdani推理法：因此A’=[0.210.4]又因为则三、多输入单规则推理（采用Mandani推理法）多输入单规则推理在多输入单输出系统的设计中经常遇到，如在速度设定值控制系统中，“速度误差较大且速度误差的变化量为正大，那么加大输入控制电压”这样一类规则就需要用多输入模糊推理方式来解决。这种规则的一般形式为（以双输入单规则为例）：其中(A’×B’)T2

为由模糊关系矩阵(A’×B’)n×m构成的nm维行向量，n和m分别为模糊集合A与B的论域元素数。前提1：如果x是A且y是B，那么z

是C前提2：现在x是A’

且y是B’结论：z是C’=(A’ANDB’)

R=(A’×B’)T2

R前提1：如果x是A且y是B，那么z

是C前提2：现在x是A’

且y是B’结论：z是C’=(A’ANDB’)

R=(A’×B’)T2

R多输入单规则推理的模糊关系矩阵R：前提1所决定的三元模糊关系R为而(A×B)T1

为由模糊关系矩阵(A×B)n×m构成的nm维列向量，n和m分别为模糊集合A与B的论