第十二章直线回归与相关

第十二章直线回归与相关相关(correlation)的概念：设有两个随机变量X和Y，对于任一随机变量的每一个可能的值，另一个随机变量都有一个确定的分布与之相对应，则称这两个随机变量间存在相关关系。回归(regression)的概念：如果对于变量X的每一个可能的值Xi，都有随机变量Y的一个分布相对应，则称随机变量Y对变量X存在回归关系。第一节直线回归（linearregression）一.直线回归的概念直线回归回归直线直线回归方程回归分析二.直线回归方程的求法1.一元正态线性回归模型Yi=

+

Xi+

i2.直线回归方程的一般表达式Y=a+bX^使（Y-Y)2=min^=（a+bX-Y)2

即对f=（a+bX-Y)2求偏导数.对a求偏导:fa=2(a+bX-Y)=0对b求偏导:fb=2X(a+bX-Y)=0解该二元一次方程组得3.如何求该方程？b=XY-(X)(Y)nX2-(X)2na=Y-bX=(X-X)(Y-Y)(X-X)2=lXYlXXa为截距（intercept），b为回归系数（regressioncoefficient）。三.方程的图示1.所绘直线必然通过（X，Y）点。2.将此直线左端延长与纵轴相交，交点的纵坐标等于截距a。四.回归系数的假设检验(Y-Y)2=[(Y-Y)+(Y-Y)]2=(Y-Y)2+(Y-Y)2SS误(

SS剩)===SS回SS总H0:=0;H1:

0F=MS回MS误=SS回/

回SS误/

误

回=1,

总=n-1,

误=n-2

1.F检验SS回=(Y-Y)2

=

[(a+bX)-(a+bX)]2

=[b(X-X)]2

=b2lXXSS总=lyySS误=SS总-SS回或SS误=(Y-Y)2

2.t检验H0:=0;H1:

0t==b-

SbbSbSb=MS误(X-X)2五.直线回归的区间估计1.总体回归系数的区间估计bt/2,n-2Sb,Sb=MS误lXX2.

Y的估计

Yt/2,n-2SY,SY=SY.X

1n+(X0-X)2(X-X)23.个体Y值的容许区间Yt/2,n-2SY,SY=SY.X

1+1n(X0-X)2+(X-X)2六.直线回归方程的应用描述两变量的数量关系。利用回归方程进行预测。利用回归方程进行统计控制。七.应用直线回归应注意的问题要有实际意义。作回归分析前,应绘制散点图。回归方程不宜延伸。第二节直线相关（linearcorrelation））一.直线相关的概念二.相关系数的意义及计算相关系数（correlationcoefficient）是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。(X-X)(Y-Y)(X-X)2(Y-Y)2=lXYlxx

lYY-1r1r=

0<r<1-1<r<0r=0r=0r=1r=-1r=0r=0

直线相关的性质可由散点图直观地说明：三.相关系数的假设检验H0:=0,H1:0(1)查r界值表(2)t=r1-r2n-2,

=n-2u=rn-11（大样本）不同和n的r分布图样本r的检验一般是随着r的抽样分布的正态性为转移的，样本r的抽样分布能否呈正态与以下两个因素有关：（1）总体的值是否为零；（2）样本所含的配对数n的大小。四.总体相关系数

的区间估计作z变换:z=12ln1+r1-rz的1-可信区间:zu/2/n-3

将z作反变换:r=e2z-1e2z+1五.相关分析应注意的问题要有实际意义，并能作出合理的解释。观察值必须是同质资料。X、Y服从二元正态分布。要判断是否适合作直线相关分析。在实际工作中，应区别相关有统计学意义与相关程度。第三节直线回归与相关的区别和联系一.区别1.资料要求不同；2.应用情况不同；3.量纲不同。二.联系1.方向一致；2.假设检验等价；3.换算：r=lxy/lXXlYYb=lxy/lXX所以b=rlYY/lXXr=blXX/lYY另有：r=bb

4.用回归解释相关（1）r2=SS回SS总r2习惯上写成R2，称为决定系数或确定系数。（2）相关系数不能作为回归估计精度的指标。第四节秩相关适用下列资料不服从双变量正态分布；总体分布型未知；用等级表示的原始数据。

一.秩相关系数rs（rankcorrelationcoefficient）的求法

表示两个变量等级相关程度用秩相关系数（等级相关系数）rs，rs的计算方法有几种，常用的是Spearman法，计算步骤如下：（1）先将X、Y分别编秩，遇相同数值取平均秩次；（2）求出每对观察值Xi、Yi所对应的秩次Ui、Vi之差di；（3）用下式计算rs：rs

=[(n3-n)/6]-(TX+TY)-d2[(n3-n)/6]-2TX[(n3-n)/6]-2TY相同秩次较多时需校正：rs=1-6d2n(n2-1)(T

=(tj3-

tj)/12)二.等级相关系数的显著性检验n50时:查rs界值表；n>50时：u=rsn-1例就下表资料分析血小板浓度和出血症的关系。12例病人的血小板浓度和出血症的关系病例号血小板数(109/L)编秩出血症状编秩dd212345678910111212013016031042054074010601230126014402000+++++±-++----++-123