三角形中的边角关系命题与证明-三角形的边关系课件沪科版数学八年级上册

三角形的三边关系沪科版八年级上册数学知识梳理什么叫三角形有三条边组成.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.能组成三角形不能组成三角形适当缩短两边长度.任意三条线段都能组成三角形吗由此可以得到三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.不能组成三角形适当缩短两边长度.根据三边的长度三角形可以进行怎样的分类两条边相等等腰三角形三条边相等等边三角形根据是否有边相等分：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形能否组成三角形【例】下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，4，8；(2)5，6，11；(3)5，6，10．分析：解：怎样的三条线段可以组成三角形三条线段要符合三角形三边关系定理两条较短边之和大于较长边两条较短边之和等于或小于较长边能构成三角形不能构成三角形(1)3，4，8，347<8(2)5，6，11，611=115(3)5，6，10，611>105两条较短边之和等于较长边不能构成三角形两条较短边之和大于较长边能构成三角形方法小结：能否组成三角形问题，只要利用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，判定即可，先将三边按从小到大排列，判断两较短边之和是否大于较长边．两条较短边之和小于较长边不能构成三角形求第三边的长或范围

分析：两边已知三边关系定理得到c的取值范围

解：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三边关系定理：由三边关系定理可得：

方法小结：三角形三边关系中求范围的问题,实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式,然后解不等式即可．

分析：先求不等式的解集根据三边关系定理可以得到第三边的取值范围结合前面两个取值得到最终x的取值范围.根据x是正偶数得

出最终边长值.解：

所以第三边长为10.方法小结：这道题目考查的是不等式和三角形三边关系的综合,先正确的解出不等式的解集,然后根据三角形的三边关系定理去求出正确的边长即可.求等腰三角形的周长或边长【例】等腰三角形的一边等于3,一边等于6,求它的周长.分析：哪条是底？哪条是腰？解：等腰三角形分类讨论,利用三边关系定理排除不能组成三角形的情况求周长即可①当腰长为3,则底边长为6,此时三边长分别为3,3,6,

②当腰长为6,则底边长为3,此时三边长分别为3,6,6,

方法小结：求等腰三角形的周长的问题，首先要知道有两条边相等,根据已知的边进行分类讨论,罗列所有的可能性并检验三边长能否组成三角形,把不符合题意的舍去;符合题意的求出周长即可.【例】已知等腰三角形的周长为16,且一边长为3,则腰长是多少.分析：解：一边长为3它是底边还是腰分类讨论,用三边关

系定理验证即可

这时三角形的腰长就是.方法小结：求等腰三角形边长的问题一定要清楚题干已知条件是底边长还是腰长,如果未说明,我们就需要进行分类讨论,另外还要注意三边能不能构成三角形.

分析：根据偶数次方和绝对值的非负性求出b,c的值这个式子在哪出现过解绝对值方程用三边关系定理判断三边能不能组成三角形求周长并用三边来判断三角形形状解：

(分类讨论！)

方法小结：由题根据偶次方和绝对值的非负性求出b,c的值,再求解绝对值等式即可得到全部三边长,然后判断三边能不能构成三角形,求周长,通过三边长度判断形状即可.绝对值的化简

分析：化简绝对值要判断大小去绝对值化简即可根据三边关系定理可以

得到三边的大小关系解：因为a,b,c为△ABC的三边,

方法小结：根据三角形的三边关系化简绝对值,需要先根据三边关系定理得到两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,然后根据这个不等关系去化简绝对值即可.不等关系的证明【例】如图，P是三角形ABC内任意点，证明AP+BP+CP<AB+BC+CA<2(AP+BP+CP).分析：AP+BP+CP<AB+BC+CA无法直接证明不妨添加辅助线构造三角形证明利用三角形的三边关系定理证明可得AB+BC+CA<2(AP+BP+CP)观察△APC，由三角形的三边关系定理可得AC<AP+PC同理在△ABP和△BPC中可得AB<AP+PB,BC<BP+PCABCP【例】如图，P是三角形ABC内任意点，证明AP+BP+CP<AB+BC+CA<2(AP+BP+CP).解：如图,延长BP交AC于点D

，D在三角形ABD中,PB+PD<AB+AD①在三角形PCD中,PC<PD+CD②①+②可得：PB+PC+PD<AB+AD+PD+CD，即AB+AC>PB+PC③

，同理可证AB+BC>AP+PC

④，CA+CB>PA+PB⑤，③④⑤三式相加可得

2AB+2BC+2AC>2AP+2PC+2PB，所以AB+BC+AC>AP+PC+PB，由三边定理可得AC<AP+PC,

AB<AP+PB,BC<PB+PC，所以AB+BC+AC<2AP+2PC+2PB，所以AP+BP+CP<AB+BC+CA<2(AP+BP+CP).方法小结：与三角形三边关系相关的不等关系的证明要熟练掌握三边关系的定理，学会去添加辅助线构造三角形，并且需要足够细心，不能遗忘任何一条边.ABCP总结由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.

根据是否有边相等分为：三角形的三边关系相关知识点

三角形的定义

三角形的三边关系

三角形的分类

三角形三边关系相关题型方法总结能否组成三角形求第三边的长

或范围求等腰三角形的周长或边长绝对值的化简不等关系的证明利用定理两边之和大于第三边即可，然后用两个比较小的数的和去和第三个数比，大于第三个数就能组成三角形，反之，不能.根据三角形三边关系定理，建立不等式，求解即可得出第三边的范围，也可再根据其他限定条件求出第三边的长度.首先要知道有两条边相等，根据已知的边来进行分类讨论，罗列所有