应力约束下最小重量悬臂梁桁架结构的拓扑优化设计

应力约束下最小重量悬臂梁桁架结构的拓扑优化设计

在项目实践中，许多结构主要基于接受横向力，包括接受横向或横向分布力，包括交替接收力。对于不同的具体工程结构,人们已经总结出一些设计经验。例如,巨型结构的主要承载构件尽量布置在结构的外围,以便提高结构整体截面的惯性矩。事实上,如何有效布置杆件属于结构拓扑优化问题。结构拓扑优化一直是结构优化问题中的难点。因为在给定的工况下,杆件潜在分布形式在理论上有无限多,所以一般无法将杆件所有可能分布一一列举。Michell曾研究了应力约束最小重量结构(又称Michell桁架)的一般性质,后来研究还证明该结构也是最小柔度结构。Michell分析表明,最小重量结构一般是类桁架连续体。在单工况下,杆件沿主应力方向分布,且是满应力。许多学者研究了几种情况下的Michell桁架[1~7]。由于求解的困难,目前也仅求解出很少几种极简单的结构。这些结果尽管经常并不是工程意义上的结构,但它却克服了在无限多潜在结构拓扑中寻找最优拓扑的困难。提供了这些结构理论上的最优拓扑,为结构设计提供了重要参考依据。从Michell桁架形成离散桁架,可以避免直接优化无限多潜在杆件的困难,也可以作为形成拓扑优化结构的一种有效方法[8~11]。1杆件结构图1所示结构为一个经典的Michell桁架。图中虚线表示区域分界线。区域ADFEB、区域DGF、EHF和区域GIHF各部分的解析解分别由Chan,Chan和Lewinski求出。注意这里的杆件是连续分布的,图中曲线仅表示出部分杆件。图中有向线段表示荷载的方向,它可以在其附近的圆弧表示的角度范围内变化。当集中力作用在CFI直线(图1中未标出)上时,结构成为图2(a)形式,仅有H/w=3.35889的解析解。当分布力作用在两侧弦杆上时,结构成为图2(b)形式。它是图2(a)的一部分,仅有H/w=1.98285的解析解。目前还未能找到超出这些范围的解析解。图3所示结构是采用有限元方法计算的H/w=5的Michell桁架,其它长度和非均布荷载情况的Michell桁架与此类似。2结构拓扑优化2.1桁架结构设计Michell桁架是杆件连续分布的类桁架连续体,而工程上更多采用离散桁架。为此,我们选择其中部分杆件,并尽量减少结点数量以及过短的杆件,近似得到如图4所示结构。一些算例表明[9~11],一般情况下,这种离散化引起体积的增加不大。记桁架每节的长度,其中,Hi是桁架弦杆上结点Ci+1到左端的距离,n为桁架的节数。显然有Hn=H。定义ri=ai/bi表示中间结点在每节中的位置。下面优化桁架的节数n、每节的长度hi和中间结点的位置ri。2.2平衡条件的确定由图4中I-I截面和II-II截面左侧脱离体竖向平衡条件可得:式中积分:是杆CiCi+1上的分布力静力等效地移到结点Ci上的结果。由图4中I-I截面左侧脱离体关于中间结点Ai的力矩平衡条件可得,2.3结构总体积和多元刚度单工况应力约束下最小重量桁架应该是满应力的,所以腹杆体积为,忽略弯曲应力,弦杆体积为,总体积为,Ci+1点左侧外力对Ci+1点力矩记作,结构总体积为,对于在工程上广泛使用的45°斜支撑桁架,ri=1/2,此时结构体积为,但这不是体积最小结构。为得到体积的极值,令式(11)对ri的导数为零,解得,该值与侧向荷载分布形式无关。此时结构的总体积为,式中,Mi,hi分别是由式(10)和式(1)定义的关于Hi的函数。优化问题可以表示为,在下面算例中,就2个典型荷载情况作进一步讨论。3计算3.1优化结构节长仅在顶端有集中力P作用时,带入式(15)得结构体积,为得到体积极小值,式(18)对Hi求导,解得,即各节等长,结点均匀分布。所以式(18)可以写作,注意,所以有极小值。由条件VP1/4(n-)1=VP1/4(n)可以确定杆长的临界值,也就是当,桁架有n节,式(23)带入式(24)整理得,所以,式中,int[⋅]表示向下取整。由此可以得到桁架每节长度,图5给出了优化结构节间长度变化规律。将式(27)带入式(21)可以得到优化结构体积,记作VmP,其变化规律如图6所示。对于常用的45°斜支撑桁架,将式(17)带入式(12)得,图6也给出了优化结构体积相对45°斜撑桁架体积的减少量。可以看出,总长度愈大,体积减少的越明显。在极端情况下,另外,对于图2(a)所示自由端中点受一个集中力作用的情况也有相似的结论。3.2最优结构体积求解集度为q的荷载沿弦杆均匀分布,此时有,带入式(15)得该结构体积,将式(31)带入式(16),采用数值方法求解即可得到最优结构体积,记作Vmq,如图5所示。优化结构节间长度如图7所示。将式(30)带入式(12)整理得45°斜支撑桁架体积,优化结构相对45°斜支撑桁架体积的减少情况也在图6给出。4两种荷载作用下的4和4.本文研究了横向力作用下拓扑优化结构的性质。在任意横向荷载作用下,腹杆中间结点位于每节的1∶3位置上。在顶端集中力作用下,桁架各节