【解析】广东省惠州市高三6月模拟数学（理）试题

惠州市2020届高三模拟考试理科数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，然后再求并集运算.【详解】由，得集合B=所以A=故选：A.【点睛】本题考查集合的描述法和集合的并集运算，属于基础题.为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算对选项进行逐一化简可得答案．【详解】对于A，不是纯虚数；对于B，是实数；对于C，为纯虚数；对于D，不是纯虚数.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．的前项和为，且，，则（）A.170 B.190 C.180 D.189【答案】B【解析】【分析】把条件转化成等差数列的基本量，即和，根据条件列出方程组，解出和，利用等差数列求和公式可得答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为，解得故选B项.【点睛】等差数列通项和求和公式的考查，考查内容比较单一，综合性不高，属于简单题.4.在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【详解】由定义知sinα=，，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于基础题目..的图象大致形状是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别在和两种情况下得到函数解析式，根据指数函数单调性可判断出所求函数单调性，进而得到所求图象.详解】当时，；当时，，为上的增函数，在上单调递减，在上单调递增，可知正确.故选：.【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式，进而根据指数函数单调性判断出结果.6.已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如图所示：学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395根据以上信息，则下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】观察题中所给的散点图，结合有关概念，对选项逐一分析，得到正确结果.【详解】由散点图知两变量间是相关关系，非函数关系，所以①正确，②错误；利用概率知识进行预测，得到结论有一定的随机性，所以③错误，④正确；所以正确命题的个数为2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关相关关系的问题，涉及到的知识点有线性相关的有关概念，两个量具有相关关系的本质，属于基础题目..m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由，便得，又，，即.故选：D.【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，属于基础题.8.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“人物”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频.一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（）种.A.36 B.48 C.72 D.144【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①在4个视频中任选2个进行学习，②再对2篇文章全选，最后利用利用捆绑法，结合分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：从4个视频中选2个有种方法，2篇文章全选种方法，2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列为种方法，最后需要对捆绑元素进行松绑全排列，故满足题意的学法有.故选：C.【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】曲线右焦点为，周长要使周长最小，只需最小，如图：当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后得到函数为奇函数，则函数的图象（）A.关于点对称 B.在上单调递增C.关于直线对称 D.在处取最大值【答案】A【解析】【分析】由最小正周期为得出，由的图象向右平移个单位后得到函数为奇函数得出，进而得出，然后根据正弦型函数的图像与性质逐一对选型进行判断即可得出答案.【详解】解：函数的最小正周期为，可得，向右平移个单位后得到的函数为，因为此函数为奇函数，又，所以.故函数，对于选项：正确；对于选项：当，不具有单调性，故B错；对于选项：，故C错；对于选项：，没有取到最大值，，故D错.故选：A.【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质，属于中档题.、、是在同一平面内的单位向量，若与的夹角为，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出的值，设向量与的夹角为，利用平面向量数量积运算律和定义可求得的最大值.【详解】单位向量与的夹角为，则，，则，所以，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查平面向量数量积的定义和运算律的应用，考查计算能力，属于中等题.的定义域为R，对，，且当时，，若函数在R上恰有6个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，运用特殊值法，结合偶函数的性质可以求出，这样可以求出函数的周期，函数的零点的个数转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合进行求解即可.【详解】令，则，所以，所以，即函数的周期为2.若恰有6个零点，则，则的图象与有6个不同的交点，因为和均为偶函数且，故的图象与在上有三个不同的交点.画出函数和的图象如下图所示，由图可知：，得，，得，.（或即，故）故选：B【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的应用，考查了利用数形结合法求解已知函数零点个数求参数问题，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.是曲线的一条切线，则实数的值是_______.【答案】4【解析】【分析】求出导函数，由导数几何意义求得切点横坐标，得切点坐标，代入切线方程可得参数值．【详解】∵，∴，∵直线是曲线的一条切线，∴，解得，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标，∵切点在切线上，∴，解得，∴实数m的值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题基础，本题属于基本题．的方差为4，若，则新数据的方差为___________.【答案】16【解析】【分析】根据方程的性质求解即可.【详解】因为若样本数据的方差为，则的方差为；因为的方差为4，且，则的方差为.故答案为：16【点睛】本题主要考查了方程的性质：若样本数据的方差为，则的方差为.属于基础题.满足，，则________.【答案】【解析】【分析】根据递推公式逐项计算可得的值.【详解】且，则，，，，，，.故答案为：.【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.A,B，设P点在同一平面上且满足，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,A,B为椭圆的长轴端点，C,D为椭圆的短轴端点，动点P满足，△PAB面积最大值为,△PCD面积最小值为，则椭圆离心率为______．【答案】【解析】【分析】利用两点间的距离公式求得点的轨迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得的值及离心率的值.【详解】依题意，设，依题意的,，两边平方化简得，故圆心为，半径.所以的最大面积为，解得，的最小面积为，解得.故椭圆离心率为.【点睛】本小题主要考查阿波罗斯圆轨迹方程的求法，考查三角形的面积公式，考查椭圆的离心率以及圆的标准方程，考查了化归与转化的数学思想方法.要求一个动点的轨迹方程，可以先设出动点的坐标，然后代入题目所给的方程，如本题中比值为这个方程，化简后可求得动点的轨迹方程.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且，角为锐角.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，再化简得到角的大小；（2）先利用余弦定理得到，利用重要不等式可以整理得出，之后应用三角形的面积公式求得最大值，注意等号成立的条件；也可以应用正弦定理，将边用角表示，之后将面积转化为关于A的正弦型函数，求函数最值即可.【详解】（1）解法一：由得，即所以，为锐角，，，即解法二：由得，即所以即，，即为锐角，所以.（2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，当且仅当时取等号成立.，故的面积最大值为.解法二：，由正弦定理，得所以，由因为，则当即时，，故的面积最大值为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.中，，，，面，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角E－BD－F的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由勾股定理逆定理证得，再由已知得平面，，从而有线面垂直，得面面垂直；（2）分别以DA、DC所在直线为轴、轴，以D为垂足作面DAC的垂线DZ为轴，建系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意判断二面角是锐角还是钝角）．【详解】（1）证明：在直角梯形中由已知可得，且面，平面，面，，，面，面∴面且面，故面面；（2）分别以DA、DC所在直线为轴、轴，以D为垂足作面DAC的垂线DZ为轴，建系如图，则，设面DEB的法向量为，则，取，则，故设面DBF的法向量为，则，取，则，故则，由图可得二面角EBDF的余弦值为．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，把求二面角问题化为纯粹的计算．19.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果，优质果，精品果，礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考：方案1：不分类卖出，单价为20元/.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下表：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/）16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由.（2）从这100个水果中用分层抽样的方法抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取到精品果的数量，求的分布列及数学期望.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）计算方案2的数学期望值，与方案1比较、分析，即可得到答案；（2）用分层抽样法求抽出精品果个数，计算对应概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（1）解答一：设方案2的单价为，则单价的期望值为：因为，解答二：设方案2的单价为，则单价的期望值为：虽然，，但从采购商后期对水果分类的人力资源和时间成本角度考虑，采取方案2较好.（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个.现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，X所有可能的取值为：0，1，2，3.则，，，所有X的分布列如下：X0123P【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了概率与统计知识的应用问题，是中档题．与抛物线相交于A，B两点，且与圆相切.（1）求直线在x轴上截距的取值范围；（2）设F是抛物线的焦点，，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】(1)设直线的方程为，根据与圆相切可得，再联立抛物线的方程，根据判别式大于0可得或，再结合求解的取值范围即可.(2)设，联立直线与抛物线的方程，代入韦达定理化简，结合(1)中可得关于的方程求解即可.【详解】（1）设直线的方程为，的圆心为，半径为1.由直线与圆相切得：，化简得，直线的方程代入抛物线，消去得：，由直线与抛物线相交于A，B两点，得，将代入不等式，得或，注意到或综上知，c的取值范围是（2）设由得将代入上式，由，得，所以，解得或（舍去），故所以直线的方程为或【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线方程，利用判别式以及直线满足的条件，求解参数的问题.同时也考查了利用韦达定理代入所给条件，求解参数的问题.属于中档题..（1）当，时，恒成立，求的范围；（2）若在处的切线为，求、时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】【试题分析】（1）当时，由于，故函数单调递增，最小值为.（2）利用切点和斜率为建立方程组，解方程组求得，进一步利用导数证，从而证明原不等式成立.【试题解析】解：由，当时，得.当时，，且当时，，此时.所以，即在上单调递増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.先证，即，令，则，所以在是增函数.所以，即.①再证，即，令，则，时，，时，，时，.所以在上是减函数，在上是增函数，所以.即，所以.②由①②得，即在上成立.题目给出，并且导函数没有含有，故可直接有导数得到函数的单调区间，由此得到函数的最小值，令函数的最小值大于或等于零，即可求得的取值范围，从而解决了不等式恒成立问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.答题时请在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑.[选修4－4：坐标系与参数方程]中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程