北京市顺义区2021年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市顺义区2021年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题本题共24分，每小题3分。第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1.数轴上A、B、C、D四个点的位置如图所示，这四个点中，表示2的相反数的点是（）A.点A B.点B C.点C D.点D【答案】A【详解】解：数轴上表示2的相反数的点是-2，即A点．

故选：A．【点睛】本题主要考查了数轴及相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2.如果（），那么下列比例式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【详解】A、由，可得到，A错误；B、由，可得到，B错误；C、由，可得到，C正确；D、由，可得到，D错误；故选：C．3.在Rt△ABC中，，，，则tanB的值为（）A. B.2 C. D.【答案】B【详解】在Rt△ABC中，，，，∴BC=，∴tanB=，故选：B．．【点睛】此题考查求角的正切值，勾股定理，熟记计算公式是解题的关键．4.将二次函数图象向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A. B. C. D.【答案】B【详解】解：将抛物线y＝2x2向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为y＝2x2﹣1，故选B．5.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于（）A.2：3 B.4：5 C.4：9 D.4：25【答案】D【详解】DE//BC，又AD：DB＝2：3，，故选：D．6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】根据题意，二次函数对称轴为，与x轴的一个交点为，则函数与x轴的另一个交点为，故设二次函数的表达式为，函数另外两点坐标，可得方程组，解得方程组得，所以二次函数表达式为．故答案为B．7.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A.70° B.80° C.110° D.140°【答案】C【详解】分析：作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．详解：作对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=∠AOC=×140°=70°∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选C．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：…0……10…有以下几个结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③关于x的方程的根为和；④当y＜0时，x的取值范围是＜x＜．其中正确的是（）A.①④ B.②④ C.②③ D.③④【答案】C【详解】由表格信息得，抛物线经过，结合抛物线的对称性可得抛物线对称轴为，故②正确；因为抛物线经过点，即抛物线与x轴一个交点为，根据抛物线的对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点为，抛物线开口向下，故①错误；故关于x的方程的根为和，故③正确；当y＜0时，抛物线在x轴的下方的图象有两部分，即或，故④错误，因此正确的有：②③，故选：C．二、填空题本题共24分，每小题3分。9.方程组的解是__________．【答案】．【详解】解：在方程组中，①②得：，解得：．代入①得：．即原方程组的解为．10.一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_______________cm．【答案】16【详解】解：如图连接OA，过O点作，垂足为H，交于点C∵的直径为52cm∴OA=OC=26cm∵，且过O点∴OC垂直且平分AB∴AH=24cm根据勾股定理得OH=10cm∴CH=OC-OH=26-10=16cm所以水的最深为16cm11.明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A、B之间的距离，在垂直AB的方向BC上确定点C，测得BC＝45m，∠C＝40°，从而计算出AB之间的距离．则AB＝_______________．（精确到0.1m）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】37.8m．【详解】由题意知：，则为直角三角形，在中，，∵BC＝45m，，∴，∴m，故答案为：37.8m．12.图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC________2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＜【详解】：连接AB、BC，如图，

∵，

∴AB=BC=CD，

∵AB+BC＞AC，

∴2CD＞AC，即AC＜2CD．

故答案为：＜．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB＝________________．【答案】【详解】解：在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠B=90°，∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠A=∠DCB，

而cosA=＝=，

∴cos∠DCB=．

故答案为：．14.如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是________米．【答案】5【详解】由可得，当t=6时，h最大=5，

所以小球距离地面的最大高度是5米，

故答案为：5．15.在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜0，y1＞y2写出一个符合条件的函数表达式________________．【答案】（答案不唯一）【详解】解：∵x1＜x2＜0，y1＞y2，∴反比例函数在其中一分支上呈下降趋势，

∴此函数图象的两个分支分别在第一、三象限，

∴k＞0．∴函数表达式可以是（答案不唯一）．

故答案是：（答案不唯一）．16.如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为_______________．【答案】1或3或8【详解】解：设AP=x，则BP=9-x，（1）当AC与BP是对应边时，∵△ACP∽△BPD，∴∵AC=2，BD=4，AP=x，BP=9-x，∴解得，x1=1，x2=8．（2）当AC与BD是对应边时，∵△ACP∽△BDP，∴∵AC=2，BD=4，AP=x，BP=9-x，∴解得；x=3．综上所述，AP的长为1或3或8．故答案为：1或3或8．三、解答题本题共52分，其中第17－20题每小题5分，第21－23题每小题6分，第24，25题每小题7分。17.解不等式组：．【答案】．【详解】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可.详解：由①得，，由②得，，∴不等式的解集为．点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.18.计算：．【答案】【详解】解：原式．19.已知：如图，点M为锐角∠APB的边PA上一点．求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD＝2∠P．作法：①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；②作射线MD．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，∴∠P＝∠CMD（）（填推理依据）．∴∠AMD＝2∠P．【答案】（1）见详解；（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.【详解】解：（1）如图，即为补全的图形，

（2）证明：∵P、C、D都在⊙M上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P=∠CMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），

∴∠AMD=2∠P．

故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．20.已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．【答案】；DC=3．【详解】证明：如图∵△ABC∽△ACD，∴∠1=∠B，又∵CD是平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴∠2=∠B，∴BD=DC．∵BD=3，∴DC=3；又∵AD=2，BD=3，∴AB=5由得即=2×5=10∴．21.一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S的最近距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【答案】10.4海里【详解】（1）解：过点S作SC⊥AB于点C，依题意可知∠1=30°，∠3=60°，AB=12，∴∠2=30°，BS=AB=12，在Rt△CSE中，∠SCB=90°，sin∠3=，∠3=60°，∴CS=BS×sin∠3=12×sin60°=12×≈12×1.73×=10.38≈10.4（海里），答：航行过程中船距灯塔S的最近距离是10.4海里．22.已知：AB为⊙O的直径，点D为弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接CB．（1）求证：BC∥DE；（2）若cosE＝，DE＝20，求BC的长．【答案】（1）见解析；（2）24【详解】（1）证明：连结OD∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，又∵点D为弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴BC//DE．（2）连接AC，在Rt△OED中，∠ODE=90°，cosE=，∴，∵DE=20，∴OE=25，∴OD=15，AB=30，∵BC//DE，∴∠ABC=∠E，∴cos∠ABC=，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cos∠ABC=，∴BC=24．23.在平面直角坐标系xOy中，有抛物线（）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）过点A（0，1）作y轴的垂线l，点B在直线l上且横坐标是2m＋1①若m的值等于1，求抛物线与线段AB的交点个数；②若抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．【答案】（1）(m，0)；（2）①2个；②【详解】（1）抛物线可化为∴顶点坐标为(m，0)．（2）①当m=1，抛物线为，点A(0，1)，B点坐标为(3，1)，令，则，∴，或∴抛物线与直线l的交点为(0，1)，(2，1)，两点均在线段AB上，∴抛物线与线段AB有2个交点．②当时，可解得：或，∵，∴，即：抛物线与直线l左交点的横坐标为，右交点的横坐标为，i>，即：，此时无解，舍去；ii>，即：，故解集为：，∴m的取值范围是．24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，过点B作BC的垂线，分别交射线，于点E，F．（1）依题意补全图形；（2）求证：AB＝AF；（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE+BD=2AC，见解析【详解】解：（1）作图如下：（2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠1=45°，∵BF⊥BC，∴∠CBF=90°，∴∠2=45°，∵射线AB绕点A顺时针旋转90°得到射线，∴∠BAF=90°，∴∠3=45°=∠2，∴AB=AF．（3）BE+BD=2AC．证明：∵射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，∴∠DAE=∠BAF=90°，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠3，AB=AF，∴△DAB≌△EAF，∴BD=EF，BF=BE+BD，在Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ABF中，BF=AB，∴BF=2AC，∴BE+BD=2AC．25.在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”如下图所示．（1）已知点A的坐标是（1，3）．①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A的“正轨点”的坐标是．②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标．（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x＋2上，求点B的“正轨点”的坐标；（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x＋m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．【答案】（1）①（-3，-1）或（2，2）；②（-1，1）；（2）或（-3，-4）；（3）且【详解】解：（1）①由图得点A与点（－3，－1），（2，2）的连线都可以是边与坐标轴垂直的正方形的对角线，

∴点A的“正轨点”的坐标（-3，-1），（2，2）；②（-1，1），∵(3-1)×=4，∴（-1，1）符合要求；（2）∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，∴或．∴或∴点B的“正轨点”的坐标是，（-3，-4）（3）设C的“正轨点”为H(n,2n+m)，①若H在C的右上方，此时m＜0，则n-m=2n+m，n