2019吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷(解析版)

...wd......wd......wd...2019年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕1．计算3+〔﹣1〕的结果是〔〕A．2B．﹣2 C．3D．﹣2．从2019年起，长春市开场了城市轨道交通第三期建设，在建设规划中未来长春市城市轨道交通总长度将到达460000米，460000这个数字用科学记数法表示为〔〕A．4.6×104B．46×104 C．4.6×105D．4.6×3．以下立体图形中，主视图是矩形的是〔〕A．B．C．D．4．使不等式2x﹣4≥0成立的最小整数是〔〕A．﹣2B．0 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地〞问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何意思是：一根竹子，原高一丈〔一丈＝10尺〕，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为〔〕A．x2﹣3＝〔10﹣x〕2B．x2﹣32＝〔10﹣x〕2C．x2+3＝〔10﹣x〕2D．x2+32＝〔10﹣x〕26．如图，直线l1∥l2．假设∠1＝72°．∠3＝50°，则∠2的大小为〔〕A．50°B．52°C．58°D．62°7．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米．现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒．假设∠BAC＝α，则此车的速度为〔〕A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．米/秒D．米/秒8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B在函数y＝〔x＞0〕的图象上，假设∠C＝60°，AB＝2，则k的值为〔〕A．B．C．1D．2二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕9．比拟大小：2．〔填“＞〞、“＝〞或“＜“〕10．计算：6a6÷3a11．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．假设＝＝，则∠P的大小为度．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E．假设AC＝2，BC＝4，则AE的长为．13．如图，在平面直角坐标系中，点M、A、B、N依次在上轴上，点M、A的坐标分别是〔1，0〕、〔2，0〕．以点A为圆心，AM长为半径画弧，再以点B为圆心，BN长为半径画弧，两弧交于点C，测得∠MAC＝120°，∠CBN＝150°．则点N的横坐标是．14．如图，在平面直角坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．函数y＝〔x﹣h〕2的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是．三、解答题〔本大题共10小题，共78分〕15．〔6分〕先化简再求值：〔+〕÷，其中：x＝．16．〔6分〕如图，现有三张不透明的卡片，卡片的正面分别标有字母A、B、C，每张卡片除字母不同外，其余均一样，将三张卡片反面向上洗匀，从中随机抽取一张，记下字母后放回，重新洗匀，再从中随机抽取一张请用画树状图〔或列表〕的方法，求两次抽出的卡片上的字母一样的概率．17．〔6分〕小欢和小乐一起去超市购置同一种矿泉水和同一种面包，小欢买了3瓶矿泉水和3个面包共花21元钱；小乐买了4瓶矿泉水和5个面包共花32.5元钱．求此种矿泉水和面包的单价．18．〔7分〕图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5X5的网格，每个小正方形的顶点称为格点线段AB的端点均在格点上．〔1〕在图①中作正方形ABCD，正方形ABCD的面积为〔2〕在图②中作Rt△ABM，使点M在格点上，且sin∠BAM＝19．〔7分〕如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．⊙O的半径为6，∠CDB＝25°．〔1〕求∠E的度数，〔2〕求的长．〔结果保存π〕20．〔7分〕某校开展“走进中国数学史〞为主题的知识竞赛活动，八、九年级各有200名学生参加竞赛．为了解这两个年级参加竞赛学生的成绩情况，从中各随机抽取20名学生的成绩，数据如下：八年级9189778671519793729181928585958888906491九年级8493666976877782858890886788919668979988整理上面数据，得到如下统计表：成绩人数年级50≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤1001137804286样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：统计量年级平均数中位数众数方差八年级83.858891127.03九年级83.9587.5m99.45根据以上信息，答复以下问题：〔1〕写出上表中众数m的值．〔2〕试估计八、九年级这次选拔成绩80分以上的人数和．〔3〕你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好说明你的理由．〔至少从两个不同的角度说明推断的合理性〕21．〔8分〕某工地需要利用炸药实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到300米以外的安全区域，炸药导火线的长度y〔厘米〕与燃烧的时间x〔秒〕之间的函数关系如以下图．〔1〕请写出点B的实际意义，〔2〕求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．〔3〕问操作人员跑步的速度必须超过多少，才能保证安全．22．〔9分〕AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连结CB．[感知]如图①，点A、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE，可证△BCD≌△ECA，从而得出EC＝BC，∠ECB＝90°，进而得出∠ABC＝度；[探究]如图②，当点A、B在CD异侧时，[感知]得出的∠ABC的大小是否改变假设不改变，给出证明；假设改变，请求出∠ABC的大小．[应用]在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，直接写出BC的长．23．〔10分〕如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AD向终点D运动，过点P作PQ⊥AC交边AB于点Q，过点P向上作PN∥AC，且PN＝PQ，以PN、PQ为边作矩形PQMN．设点P的运动时间为t〔秒〕，矩形PQMN与菱形ABCD重叠局部图形的面积为S．〔1〕用含t的代数式表示线段PQ的长．〔2〕当点M落在边BC上时，求t的值．〔3〕当0＜t＜1时，求S与t之间的函数关系式．〔4〕如图2，假设点O是AC的中点，作直线OM．当直线OM将矩形PQMN分成两局部图形的面积比为1：2时，直接写出t的值．24．〔12分〕在平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣2ax﹣4a〔x≥0〕的图象记为M1，函数y＝﹣ax2﹣2ax+4a〔x＜0〕的图象记为M2，其中a为常数，且a≠0，图象M1，M2，合起来得到的图象记为〔1〕求图象M1与x轴的交点坐标，〔2〕当图象M1的最低点到x轴距离为3时，求a的值．〔3〕当a＝1时，假设点〔m，〕在图象M上，求m的值，〔4〕点P、Q的坐标分别为〔﹣5，﹣1〕，〔4，﹣1〕，连结PQ．直接写出线段PQ与图象M有两个交点时a的取值范围．2019年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕1．【分析】根据有理数的加法计算解答即可．【解答】解：3+〔﹣1〕＝2，应选：A．【点评】此题考察了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解此题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数一样．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将460000用科学记数法表示为：4.6×105．应选：C．【点评】此题考察了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．【解答】解：A．此几何体的主视图是等腰三角形；B．此几何体的主视图是矩形；C．此几何体的主视图是等腰梯形；D．此几何体的主视图是圆；应选：B．【点评】此题主要考察了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．4．【分析】先求出不等式的解集，再找到最小整数解即可．【解答】解：2x﹣4≥0，2x≥4，x≥2，则使不等式2x﹣﹣4≥0成立的最小整数是2，应选：C．【点评】此题考察一元一次不等式的整数解，在对于不等式整数解，要先确定未知数的取值范围，再找到满足题意的整数解．5．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为〔10﹣x〕尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为〔10﹣x〕尺，根据勾股定理得：x2+32＝〔10﹣x〕2．应选：D．【点评】此题考察了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．6．【分析】利用平行线的性质，三角形的内角和定理解决问题即可．【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠1＝∠4＝72°，∵∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣72°＝58°，应选：C．【点评】此题考察平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握根本知识，属于中考常考题型．7．【分析】由于观测点A处与高速公路距离〔AC〕为20米，则∠ACB＝90°，根据α角的正切函数值先表示BC的长，再根据速度＝路程÷时间得到汽车的速度即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，AC＝20米，∴BC＝AC•tan∠BAC＝20×tanα〔米〕．∵此车速度＝20×tanα÷4＝5tanα米/秒，应选：A．【点评】此题考察了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键．8．【分析】先根据菱形的性质求出B点坐标，再把B点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．【解答】解：∵菱形OABC中，∠C＝60°，AB＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝OC＝，∴BD＝1，∴B〔1，〕，∵顶点B在函数y＝〔x＞0〕的图象上，∴k＝1×＝．应选：B．【点评】此题考察的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式，同时也考察了菱形的性质，求出点B的坐标是解题的关键．二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分〕9．【分析】根据无理数的逐步逼近的方法，去判断＜＜，于是可知2＜＜3，即可判断正确答案．【解答】解：∵＜＜，∴2＜＜3∴2＜故答案为＜．【点评】此题考察的是实数的大小比拟，关键是要对无理数进展准确的近似判断，学会运用逐步逼近法是解题的重点．10．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：6a6÷3a2＝3故答案为：3a4【点评】此题主要考察了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．11．【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，根据等边三角形的性质解答．【解答】解：连接OC、OD，∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOC和△BOD都是等边三角形，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠P＝60°，故答案为：60．【点评】此题考察的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．12．【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，根据余角的性质得到∠CAE＝∠B，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠B，∴tan∠CAE＝tanB，∴，∴＝，∴CE＝1，∴AE＝＝＝，故答案为：．【点评】此题考察了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．13．【分析】根据含30°的直角三角形的性质和坐标特点解答即可．【解答】解：∵MAC＝120°，∴∠CAB＝60°，∵∠CBN＝150°，∴∠ABC＝30°，∴∠C＝90°，∵MA＝AC＝2﹣1＝1，∴AB＝2AC∴BC＝，∴ON＝1+1+2+＝4+，∴点N的坐标为〔4+，0〕，故答案为：〔4+，0〕，【点评】此题考察坐标与图形，关键是根据含30°的直角三角形的性质和坐标特点解答．14．【分析】由于函数y＝〔x﹣h〕2的图象为开口向上，顶点在x轴上的抛物线，故可先分别得出点A和点B的坐标，因为这两个点为抛物线与与正方形ABCD有公共点的临界点，求出即可得解．【解答】解：∵点O是边长为2的正方形ABCD的中心，∴点A和点B坐标分别为〔1，1〕和〔﹣1，1〕，∵函数y＝〔x﹣h〕2的图象为开口向上，顶点在x轴上的抛物线，∴其图象与正方形ABCD有公共点的临界点为点A和点B，把点B坐标代入y＝〔x﹣h〕2，得1＝〔﹣1﹣h〕2∴h＝0〔舍〕或h＝﹣2；把点A坐标代入y＝〔x﹣h〕2，得1＝〔1﹣h〕2∴h＝0〔舍〕或h＝2．函数y＝〔x﹣h〕2的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是﹣2≤h≤2．故答案为：﹣2≤h≤2．【点评】此题考察二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法．三、解答题〔本大题共10小题，共78分〕15．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝＝．当x＝时，原式＝＝3；【点评】此题考察分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，此题属于根基题型．16．【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母一样的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意列表如下：ABCAAABACABABBBCBCACBCCC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母一样的有3种情况，所以P〔两次抽出的卡片上的字母一样〕＝＝．【点评】此题考察的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．17．【分析】设每瓶矿泉水x元，每个面包y元，根据“小欢买了3瓶矿泉水和3个面包共花21元钱；小乐买了4瓶矿泉水和5个面包共花32.5元钱〞，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设每瓶矿泉水x元，每个面包y元，依题意，得：，解得：．答：每瓶矿泉水2.5元，每个面包4.5元．【点评】此题考察了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．【分析】〔1〕根据正方形的性质画出图形，利用勾股定理解答即可；〔2〕根据三角函数解答即可．【解答】解：〔1〕如图①所示：正方形ABCD即为所求：正方形ABCD的面积＝，故答案为：10．〔2〕如图②所示：△ABM即为所求：【点评】此题主要考察了作图与应用设计，关键是正确掌握正方形的面积计算公式，掌握三角形正弦的定义．19．【分析】〔1〕连接切点和圆心，构造直角三角形，利用圆周角定理先求出∠COB的度数，即可求出∠E；〔2〕利用弧长公式即可解决问题．【解答】解：〔1〕如图，连结OC．∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE．∴∠OCE＝90°．∵∠COB＝2∠CDB，∠CDB＝25°，∴∠COB＝50°．∴∠E＝40°．〔2〕∵∠COE＝50°，半径为6，的长为．【点评】此题考察了切线的性质、圆周角定理、直角三角形两个锐角互余及弧长公式，连接切点和圆心是解题的关键．20．【分析】〔1〕根据众数的定义直接解答即可；〔2〕先求出在随机抽取20名学生的成绩中80分以上的人数所占的百分比，再乘以总人数，即可得出答案；〔3〕根据给出的平均数和方差分别进展分析，即可得出答案．【解答】解：〔1〕∵88出现了4次，出现的次数最多，∴众数m的值为88．〔2〕根据题意得：〔7+8+8+6〕÷20×200＝290〔人〕答：估计八、九年级这次选拔成绩80分以上的人数和约为290人．〔3〕我认为九年级学生的竞赛成绩比拟好，理由如下：①九年级学生竞赛成绩的平均数较高，表示九年级竞赛成绩较好；②九年级学生竞赛成绩的方差小，表示九年级学生竞赛成绩比拟集中，整体水平较好．【点评】此题考察了频〔数〕率分布表，利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．此题还考察了方差、平均数、中位数和众数的定义．21．【分析】〔1〕直接根据图象，解答即可；〔2〕根据待定系数法，即可求得y与x的函数关系式；〔3〕根据操作人员跑步的路程大于300，列出不等式，求解即可．【解答】解：〔1〕导火线燃烧尽需要75秒；〔2〕设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b〔k≠0〕，将〔75，0〕和〔0，90〕代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数关系式为：y＝〔0≤x≤75〕；〔3〕设操作人员跑步的速度为a米/秒，根据题意得：75a＞300，解得a∴操作人员跑步的速度必须超过4米/秒，才能保证安全．【点评】此题主要考察一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第〔3〕小题的关键是操作人员跑步的路程大于300米．22．【分析】[感知]证明△BCD≌△ECA〔SAS〕即可解决问题[探究]结论不变，证明△BCD≌△ECA〔SAS〕即可解决问题．[应用]分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：【感知】，如图1中，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE．∵AC⊥DC，DB⊥MN，∴∠ACD＝∠DBA＝90°．∴∠CDB+∠CAB＝180°，∵∠CAB+∠CAE＝180°∴∠D＝∠CAE，∵CD＝AC，AE＝BD，∴△BCD≌△ECA〔SAS〕，∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝90°，即∠ECB＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案为45【探究】不改变．理由如下：如图，如图2中，在射线AN上截取AE＝BD，连接CE，设MN与CD交于点O．∵AC⊥DC，DB⊥MN，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠EAC，CD＝AC，∴△BCD≌△ECA〔SAS〕，∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝90°，即∠ECB＝90°，∴∠ABC＝45°．【拓展】如图①﹣1中，连接AD．∴∠ACD+∠ABD＝180°，∴A，C，D，B四点共圆，∴∠DAB＝∠DCB＝30°，∴AB＝BD＝，∴EB＝AE+AB＝+，∵△ECB是等腰直角三角形，∴BC＝＝+1．如图②中，同法可得BC＝﹣1．综上所述，BC的长为+1或﹣1．【点评】此题属于几何变换综合题，考察了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．23．【分析】〔1〕由菱形性质得∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝CD＝4，△ACD是等边三角形，证出△APQ是等腰三角形，得出PF＝QF，PF＝PA•sin60°＝，即可得出结果；〔2〕当点M落在边BC上时，由题意得：△PDN是等边三角形，得出PD＝PN，由得PN＝PQ＝3t，得出PD＝3t，由题意得出方程，解方程即可；〔3〕当0＜t≤时，PQ＝2t，PN＝PQ＝3t，S＝矩形PQMN的面积＝PQ×PN，即可得出结果；当＜t＜1时，△PDN是等边三角形，得出PE＝PD＝AD﹣PA＝4﹣2t，∠FEN＝∠PED＝60°，得出NE＝PN﹣PE＝5t﹣4，FN＝NE＝〔5t﹣4〕，S＝矩形PQMN的面积﹣2△EFN的面积，即可得出结果；〔4〕分两种情况：当0＜t≤时，△ACD是等边三角形，AC＝AD＝4，得出OA＝2，OG是△MNH的中位线，得出OG＝4t﹣2，NH＝2OG＝8t﹣4，由面积关系得出方程，解方程即可；当＜t≤2时，由平行线得出△OEF∽△MEQ，得出＝，即＝，解得EF＝，得出EQ＝t+，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．【解答】解：〔1〕∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝CD＝4，△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，∵PQ⊥AC，∴△APQ是等腰三角形，∴PF＝QF，PF＝PA•sin60°＝2t×＝，∴PQ＝2t；〔2〕当点M落在边BC上时，如图2所示：由题意得：△PDN是等边三角形，∴PD＝PN，∵PN＝PQ＝×2t＝3t，∴PD＝3t，∵PA+PD＝AD，即2t+3t＝4，解得：t＝．〔3〕当0＜t≤时，如图1所示：PQ＝2t，PN＝PQ＝×2t＝3t，S＝矩形PQMN的面积＝PQ×PN＝2t×3t＝6t2；当＜t＜1时，如图3所示：∵△PDN是等边三角形，∴PE＝PD＝AD﹣PA＝4﹣2t，∠FEN＝∠PED＝60°，∴NE＝PN﹣PE＝3t﹣〔4﹣2t〕＝5t﹣4，∴FN＝NE＝〔5t﹣4〕，∴S＝矩形PQMN的面积﹣2△EFN的面积＝6t2﹣2××〔5t﹣4〕2＝﹣19t2+40t﹣16，即S＝﹣19t2+40t﹣16；〔4〕分两种情况：当0＜t≤时，如图4所示：∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD＝4，∵O是AC的中点，∴OA＝2，OG是△MNH的中位线，∴OG＝3t﹣〔2﹣t〕＝4t﹣2，NH＝2OG＝8t﹣4，∴△MNH的面积＝MN×NH＝×2t×〔8t﹣4〕＝×6t2，解得：t＝；当＜t≤2时，如图5所示：∵AC∥QM，∴△OEF∽△MEQ，∴＝，即＝，解得：EF＝，∴EQ＝t+，∴△MEQ的面积＝×3t×〔t+〕＝×6t2，解得：t＝