【解析】江西省赣州市十五县（市）2019-2020学年高二下学期期中联考数学（理）试题

2019—2020学年第二学期赣州市十五县（市）期中联考高二年级理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）i为虚数单位，复数z满足，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先把复数分离出来，利用复数的运算可求.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算，明确复数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.：，，那么是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题否定为特称命题，即可解出．【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，：，．故选：C．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于容易题．3.2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）．A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要的定义，即可得出结论.【详解】表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，或者只是普通感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、干咳浑身乏力等外部表征．因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件．故选：A．【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题设条件，求出被积函数的原函数，求出定积分的值即可.详解】解：由题意得：,故选D.【点睛】本题主要考查定积分的计算，相对简单，需牢记定积分中求原函数的公式.是函数的导函数，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对函数求导，然后令可得关于的等式，即可解得的值，进而可求得的值.【详解】，，，解得，所以，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查导数的计算，求得的值是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.中，点在上，且，为中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用空间向量的加减法运算进行求解即可.【详解】解：在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，涉及向量的加减法运算法则，属于基础题.7.如图，由曲线，直线和轴围成的封闭图形的面积是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用定积分的几何意义表示封闭图形的面积即可．【详解】由曲线y＝﹣2，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积（2﹣）dx（﹣2）dx|﹣2|dx；故选：C【点睛】本题考查了定积分的运用；正确利用定积分与封闭图形面积的关系是关键．的过程中由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边应添加的项为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将和时不等式的左边分别写出，相减即可求得.【详解】当时，不等式左边当时，，不等式左边两式相减故选：C【点睛】此题考查数学归纳法中从到时的多出来的项，只需进行相减即可求得，属于较易题目.f（x）在R上可导，其导函数为，且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，则函数y＝x的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由极值与导数的关系确定，确定当0x﹣1以及x0时，的符号；当x＝﹣1时，＝0；当x﹣1时，符号．由此观察四个选项能够得到正确结果．【详解】∵函数f（x）在R上可导，其导函数，且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，∴当x﹣1时，0；当x＝﹣1时，＝0；当x﹣1时，0．∴当0x﹣1时，0；x0时，0；当x＝﹣1时，＝0；当x﹣1时，＜0．故选：D．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得到和长度，从而得到的值，根据正切函数的单调性，得到，从而得到答案.【详解】依题意得“斗冠”的高为米，如图，，，为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，，而，，且在上单调递增，因为，所以，故选：C．【点睛】本题考立体几何中求线段的长度和正切函数的单调性，属于简单题.定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数,再根据得出的单调性,结合偶函数可得的奇偶性,再结合奇偶性与单调性求解即可.【详解】构造函数,则.故当时,有,为减函数.又为偶函数,故也为偶函数,所以在时为增函数.又,,即,即,故,结合定义域解得或.故选：C【点睛】本题主要考查了构造函数,利用导数分析函数的单调性,进而求解不等式的问题,需要根据题意确定函数在区间上的单调性,再根据函数的奇偶性进行求解.属于中档题.的左､右焦点分别为，，为坐标原点.为曲线右支上的点，点在外角平分线上，且.若恰为顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延长交的延长线于点，根据几何关系，求得点坐标，代入双曲线方程可得齐次式，则问题得解.【详解】延长交的延长线于点，连接，过作，如下所示：不妨设，因为，且为的角平分线，故可得，故可得，且为的中点；因为为顶角的等腰三角形，故可得，由余弦定理可得，在中，因为分别为的中点，故；根据双曲线定义可知：，即；又；联立可得；因为为顶角的等腰三角形故在直角三角形中，则，由勾股定理可得故可得点坐标为，即，代入双曲线方程可得：，整理得：，同除可得，分解因式可得，解得或（舍去负根），则.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义，属综合困难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）的焦点坐标为________.【答案】【解析】【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线的焦点坐标为，求出物线的焦点坐标．【详解】解：在抛物线，即，，，焦点坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，用到抛物线的焦点坐标．在处的切线方程是______.【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，将代入得出切点坐标，最后由直线点斜式方程即可求出切线方程．【详解】解：由题可知，，则，则当时，，可得曲线在处的切线的斜率为，将代入得：，即切点为，所以切线方程为：，即，即曲线在处的切线方程是：.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于基础题.，当、、、时，观察下列等式：，，，，，可以推测，______.【答案】【解析】【分析】根据所给的已知等式可得知：各等式右边各项系数之和为，且的最高次项系数为，由此可推测出和的值，进而求得的值.【详解】，，，，由上可知，各等式右边各项系数之和为，且的最高次项系数为，所以，，，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查归纳推理，根据所给等式推测出最高次项系数和各项系数和是解答的关键，考查计算能力与推理能力，属于中等题.，，，，给出以下四个命题：（1）是偶函数；（2）是偶函数；（3）的最小值为；（4）有两个零点；其中真命题的是______.【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数，，即，解得或，所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，则，所以，函数为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数，，，令，得，且函数的定义域为，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，，则函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以，函数是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数，，由（2）知，函数的最小值为，则函数的最小值为，命题（3）正确；对于命题（4），令，可得，则或，由（2）知，，所以方程无解；令，由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，，，，由零点存在定理可知，函数在区间和上各有一个零点，所以，方程有两个实根，即函数有两个零点，命题（4）正确故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤），命题对任意，不等式恒成立，命题方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）若命题为真，求的取值范围；（2）若命题为真，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得函数在区间上的最小值，由命题为真命题可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围；（2）由命题为真可得假真，求得命题为真命题时的取值范围，再结合命题为假命题时的取值范围，可得所求结果.【详解】（1）命题对任意，不等式恒成立.函数在区间上单调递增，则.若真，可得，即，解得.因此，实数的取值范围是；（2）若命题为真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆，，解得，，则假真，所以，则.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查根据命题以及复合命题的真假求参数，同时也考查了一元二次不等式在区间上恒成立以及椭圆方程与焦点的位置关系，考查计算能力，属于基础题..（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）求得函数的导数，分别解不等式和，可分别得出函数的单调递增区间和单调递减区间；（2）利用导数求得函数在区间上的极大值和极小值，并与、的大小关系，由此可得出该函数在区间上的最大值和最小值.详解】（1），.令得或；令得.所以，函数单调递增区间是和，单调递减区间是；（2）由（1）可知，当时，；当时，；当时，.所以，函数的极大值为，极小值为，，，则，所以，当时，函数有最大值为，当时，函数有最小值为.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于基础题.是抛物线：上的点，为抛物线的焦点，且，直线：与抛物线相交于不同的两点，.（1）求抛物线的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）1或1.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义得出，即可求得值，即可求出抛物线的方程；（2）设，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及抛物线的焦点弦公式，结合已知，即可列式求出的值.【详解】解：（1）抛物线：的准线为，由得：，∴，所以抛物线的方程为.（2）设，，由，可得，则，，∵直线经过抛物线的焦点，则，解得：，所以的值为1或1.【点睛】本题考查根据抛物线的定义求抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系的应用，涉及联立方程组、韦达定理、以及抛物线的焦点弦公式，考查分析解题能力和运算能力.20.如图，在四棱锥中，四边形为梯形，且，，平面平面.（1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可知，平面，又，可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出；（2）作于，过作交于，即可知平面，建立以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，根据向量法即可求出．【详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面，，在平面内，∴平面，又∵，∴平面，而在平面内，∴平面平面；（2）作于，则平面，过作交于，如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：设，则，，，，故，，，设平面的一个法向量为，则，则可取，设平面的一个法向量为，则，则可取，∴，∴.故二面角的平面角的正弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，，的中点分别为，，的周长为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设的重心为，若，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】【