期中专题01 空间向量与立体几何小题综合（解析版）2023-2024学年高二数学上学期期中考试真题必刷满分训练（新高考山东专用）

第第页试卷第=page11页，共=sectionpages33页期中专题01空间向量与立体几何小题综合备考秘籍备考秘籍欧拉定理(欧拉公式)(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.空间的线线平行或垂直设，，则；.夹角公式设，b＝，则.异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）直线与平面所成角，(为平面的法向量).二面角的平面角（，为平面，的法向量）.异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.真题训练真题训练一、单选题1．（2022秋·山东济南·高二济南三中校考期中）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果.【详解】因为与垂直，所以，即，所以.又，所以.故选：D.2．（2022秋·山东济南·高二校考期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.3．（2022秋·山东临沂·高二校考期中）若向量，，且a→,b→的夹角的余弦值为，则实数等于（

）.A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【分析】根据空间向量的数量积运算及夹角公式，代入坐标计算即可．【详解】由题意得，解得或，故选:C．4．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考期中）如图，平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算求解即可．【详解】由已知得，故选：C．5．（2022秋·山东济南·高二济南三中校考期中）在空间四边形中，点，分别是和的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解【详解】如图所示，是的中点，则，，故选：C.6．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第一中学校考期中）已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案.【详解】因为，所以，故，故.故选：B7．（2022秋·山东潍坊·高二校考期中）若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令与共线，求出的值，依题意且与不共线反向，根据数量积的坐标表示得到不等式组，解得即可.【详解】因为，，令与共线，则，即，即，解得，此时，，即，此时与反向，又与的夹角为钝角，所以且与不共线反向，即且，解得或，即.故选：B8．（2022秋·山东济南·高二济南外国语学校校考期中）如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】.故选：D.9．（2022秋·山东济南·高二济南三中校考期中）已知平面α的一个法向量，点在α内，则到α的距离为（

）A．10 B．3C． D．【答案】D【分析】由向量的坐标运算得，再由平面的距离即可求解.【详解】由题意，得，又知平面的一个法向量，则到平面的距离，故选：D.10．（2022秋·山东济南·高二校考期中）如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直的条件得，，再由向量的数量积运算可得，根据图示可求得二面角的大小.【详解】由题意得：，，因为，所以，即，解得：，又，则，由图示得，该二面角为为锐角，即该二面角为，故选：C.二、多选题11．（2022秋·山东济南·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，若，则（

）A．三棱锥的体积为B．三棱锥的体积为C．点C到直线的距离为D．点C到直线的距离为【答案】AC【分析】利用等体积法和三棱锥的体积公式计算即可判断AB；建立如图空间直角坐标系，求出在上的投影的长度，利用向量法求出点线距即可判断CD.【详解】三棱锥即三棱锥，其体积为，故A正确，B不正确；取AC的中点O，则，，以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则，，，所以，，所以在上的投影的长度为，故点C到直线的距离，故C正确，D错误.故选：AC.12．（2022秋·山东泰安·高二新泰市第一中学校考期中）关于空间向量，以下说法不正确的是（

）A．向量，，若，则B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线【答案】AC【分析】根据向量垂直的性质可判断选项A；由共面向量定理可判断选项B；由向量的加法法则可判断选项C；由共线向量定理可判断选项D.【详解】对于A，向量，，若，若向量，均为非零向量，则由向量垂直的性质可得；若向量，其中一个为零向量，则与不垂直，故A错误；对于B，若对空间中任意一点，有，因为，所以，，，四点共面，故B正确；对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，所以不能构成空间的一组基底，故C错误；对于D，若空间四个点，，，，，由共线向量定理可知：，，三点共线，故D正确，故选：.13．（2022秋·山东济南·高二校考期中）下列命题中，正确的命题为（

）A．若，分别是平面，的法向量，则B．若，分别是平面，的法向量，则C．若是平面的法向量，是直线的方向向量，若与平面平行，则D．【答案】BD【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断A、B；由法向量的概念和直线方向向量的定义判断C，根据空间向量线性运算法则判断D.【详解】解：对于A，若，分别是两个不重合平面，的法向量，则，故A中平面，可能平行或重合，故A错误；对于B，若，分别是平面，的法向量，则，故B正确；对于C，若是平面的法向量，是直线的方向向量，与平面平行，则，所以，故C错误；对于D，，故D正确．故选：BD．14．（2022秋·山东滨州·高二校考期中）已知向量，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.【详解】向量，，则，A正确；显然，B正确；由数量积的定义得，C错误；显然，则，即有，D错误.故选：AB15．（2022秋·山东济宁·高二统考期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（

）A．几何体的外接球半径B．平面C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为D．面与底面所成角正弦值的取值范围为【答案】BCD【分析】对于A，几何体的外接球与正方体的外接球相同，可求得半径；对于B，利用面面平行的性质定理即可判断；对于C，找到异面直线与所成角，结合线面垂直的性质，列出正弦值的等式，再结合的取值范围，即可求解；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，结合三角函数的知识可进行求解.【详解】对于A，因为几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故A错误；对于B，在正方体中，且，故为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面，同理可证平面，又因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于C，由平面，平面，可得，即，由于，则异面直线与所成的角为，其正弦值为，在中，易得，所以，所以异面直线与所成角的正弦值的取值范围为，故C正确；对于D，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，则有，，设，则，所以，设平面的法向量，则，即，令，则，故，由题意知，取平面的一个法向量，则，则面与底面所成角正弦值为，由于，故当时取最小值，则取到最小值，当或时取最大值12，则取到最大值，所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，故D正确，故选：BCD.16．（2022秋·山东青岛·高二统考期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面，PA=AB=2，E为棱PB的中点，F为棱BC上的动点，则下列结论正确的为（

）A．平面平面PBC B．EF与平面ABCD所成角的最大值为C．E到面PAC的距离为 D．AE与PC所成角的余弦值为【答案】CD【分析】取的中点，可证得两两垂直，所以以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断.【详解】取的中点，连接，因为底面ABCD为菱形，，所以，因为平面，平面，所以，所以两两垂直，所以以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，因为E为棱PB的中点，所以，设（），对于A，设平面的法向量为，平面的法向量为，因为，，所以，，令，，则，，若平面平面PBC，则，解得不合题意，所以A错误，对于B，平面的一个法向量为，，设EF与平面ABCD所成角为，则，因为，所以，因为，所以大于，所以B错误，对于C，设平面的法向量为，，则，令，则，，所以E到面PAC的距离为，所以C正确，对于D，设AE与PC所成角为，，，所以，所以D正确，故选：CD17．（2022秋·山东泰安·高二新泰市第一中学校考期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（

）A．B．点E到直线的距离为C．直线与平面所成的角的正弦值为D．点到平面的距离为【答案】AC【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，则，，则，所以，故A正确；，则，所以，所以点E到直线的距离为，故B错误；因为平面，所以即为平面的一条法向量，则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；设平面的法向量为，则有，可取，则点到平面的距离为，故D错误.故选：AC.18．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（

）A．B．平面C．平面的一个法向量为D．点B到直线的距离为【答案】BCD【分析】根据已知条件及给定的几何图形写出点的坐标,再对各个选项逐一分析计算并判断作答.【详解】依题意,是正方形,,与的交点为原点,,在给定的空间直角坐标系中,,而,则点,,故错误;,,设平面的法向量,则,令,得,故正确;,即平面,故正确;,,,到的距离,故正确故选:19．（2022秋·山东临沂·高二统考期中）在平行六面体中，，，则（

）A． B．C． D．点到平面的距离等于【答案】BD【分析】对于A选项，首先根据空间向量的线性运算得，两边同时平方，然后根据数量积的运算即可求得；对于B选项，首先根据空间向量的线性运算得，然后根据数量积运算得，即可得证；对于C选项，首先根据边长证明为直角三角形，然后利用，即可验证C选项的正误；对于D选项，首先证明平面，即可得点到平面的距离，进而求出距离.【详解】对于A选项，，得，即得，故A选项错误；对于B选项，已知，，，，，故B选项正确；对于C选项，已知，且，得，又，，，故为直角三角形，所以得，，故C选项错误；对于D选项，由A选项可知，由C选项可知，即，，平面，即可得点到平面的距离.故D选项正确.故选：BD20．（2022秋·山东潍坊·高二校考期中）点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（

）A．满足的点M的轨迹长度为B．点M存在无数个位置满足直线平面C．在线段上存在点M，使异面直线与CD所成的角是30°D．若E是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为【答案】ABD【分析】利用线面垂直判定可得平面，可知点轨迹即为平面与平面的交线可判断A，利用面面平行得判定可证得平面平面，可知当轨迹为平面与平面的交线可判断B，利用坐标法，根据线线角的向量求法及二面角的向量求法可判断CD.【详解】对于A，平面，平面，，又四边形为正方形，，又平面，，平面，点轨迹即为平面与平面的交线，即为，点轨迹的轨迹长度为，A正确；对于B，，平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面，平面平面，轨迹为平面与平面的交线，即，点存在无数个位置满足直线平面，B正确；对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，在线段上存在点M，设，则，，设异面直线与CD所成的角为，又，所以，而，所以在线段上不存在点M，使异面直线与CD所成的角是，故C错误；对于D，因为，，，，，设平面的法向量，，令，，又平面的一个法向量，，，即平面与平面所成锐二面角的正切值为，D正确.故选：ABD.三、填空题21．（2022秋·山东潍坊·高二校考期中）若空间向量不共面，且，其中，为实数，则．【答案】0【分析】根据空间向量基本定理求得，即可得解.【详解】因为空间向量不共面，且，所以，所以.故答案为：.22．（2022秋·山东烟台·高二统考期中）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为．【答案】【分析】根据向量共面列方程，结合已知条件求得的值.【详解】依题意，四点共面且任意三点不共线，所以，所以，，，所以，解得.故答案为：23．（2022秋·山东德州·高二统考期中）在空间直角坐标系中，已知，，，点为线段的中点，则．【答案】【分析】利用中点坐标公式及向量的线性运算的坐标表示，结合两点间的距离公式即可求解；【详解】因为，，点为线段的中点，所以,所以,所以，故答案为：.24．（2022秋·山东泰安·高二新泰市第一中学校考期中）在棱长为的正方体中，向量在向量方向上的投影向量的模是．【答案】【分析】由正方体的性质可得向量与向量夹角为，先求出的值，进而可得答案.【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为，所以向量在向量方向上的投影向量是向量在向量方向上的投影向量的模是，故答案为：25．（2022秋·山东济宁·高二统考期中）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为.【答案】【分析】由已知，根据题意建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，然后通过异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，即可列式计算.【详解】以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以,,所以，所以，解得或（舍去）.故答案为：.26．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中）如图，棱长为2的正方体中，点E是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为．【答案】/【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出的坐标，由可推出P点轨迹，确定P点在何处时的面积取到最小值，由此可求得答案.【详解】以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图所示：则，设，则，，由,可得，故,即,取的中点N，连结，则P点轨迹为线段，过B作,垂足为Q,由于,则,又平面,平面