第五章图形变换

第五章图形变换

主要介绍窗口到视区的变换二维几何变换三维几何变换投影变换10/25/20231北京邮电大学自动化学院二维图形的显示流程图（1/4）坐标系：建立了图形与数之间的对应联系世界坐标系(worldcoordinate)用户坐标系(usercoordinate)局部坐标系(localcoordinate)10/25/20232北京邮电大学自动化学院图形的几何变换通过对图形的几何变换可以改变图形的位置和大小；由简单图形得到复杂图形；实现三维图形的二维显示等等。图形几何变换有两种模式：坐标模式变换和图形模式变换。如不特别指出，本章的变换都指后一种。10/25/20233北京邮电大学自动化学院5.1二维坐标系统计算机图形学中使用的坐标系通常是人们所熟悉的直角坐标系。在不同的空间，计算机使用不同的坐标系。10/25/20234北京邮电大学自动化学院 坐标系统

为描述对象、构造场景或完成图形变换，需要不同的坐标系！1.世界坐标系 －定义对象与外界环境的关系2.设备坐标系 －定义图形显示的位置、大小3.规范化坐标 －为保证互换性（与设备无关）而定义的辅助坐标世界坐标WorldCoordinate绘图仪其它输出设备设备坐标DeviceCoordinateScreenCoordinate111规范化坐标NormalizedCoordinate10/25/20235北京邮电大学自动化学院5.1.1世界坐标系（WC）世界坐标系（WorldCoordinateSystem）是用户用来定义图形或物体的坐标系，故也称用户坐标系。10/25/20236北京邮电大学自动化学院5.1.2设备坐标系（DC）图形的输出设备所具有的坐标系称为设备坐标系（DeviceCoordinateSystem）设备坐标系是一个二维坐标系，它的度量单位是象素或步长（绘图仪）。它的定义域是整数域且有界的。例如当显示器的分辨率为1024×768时，定义域为[0，1023]×[0，767]。10/25/20237北京邮电大学自动化学院5.1.3规格化设备坐标系(NDC)不同的图形输出设备具有不同的设备坐标系,如原点位置和定义域。这就使应用程序与具体的输出设备有关，给图形处理和应用程序的移植带来不便。为此，引入一个与设备无关的规格化设备坐标系（NormalizedDeviceCoordinateSystem）。NDC的x，y坐标的取值范围均为[0，1]。10/25/20238北京邮电大学自动化学院三种坐标系的转换10/25/20239北京邮电大学自动化学院5.2窗口—视图区的变换窗口是用户在世界坐标系指定的一个矩形区域，其各边分别与坐标轴平行。可以由其左下角点和右上角点的坐标来定义。窗口中包含用户要显示的图形。视区是用户在设备坐标系中定义的一个矩形区域。用来显示窗口中的图形。窗口和视区是在不同的坐标系中定义的，因此在把窗口中的图形输出到视区之前，必须要进行坐标变换，即窗视变换。10/25/202310北京邮电大学自动化学院窗口和视区10/25/202311北京邮电大学自动化学院窗口和视区10/25/202312北京邮电大学自动化学院窗视变换的过程10/25/202313北京邮电大学自动化学院窗视变换的公式10/25/202314北京邮电大学自动化学院说明式中分别反映了视区与窗口之间在x和y方向的缩放比例，a和b则分别反映了点（xv，yv）在x和y方向的偏移量。显然，当时，窗口和视区的大小相等，在各自坐标系的位置相同。若则世界坐标系中的图形在输出设备上显示时将在x和y方向拉伸或压缩。10/25/202315北京邮电大学自动化学院如将视区设置在规格化坐标系中时，可设视区的左下角点在坐标原点，即，而，则：10/25/202316北京邮电大学自动化学院从NDC变换到DC式中Vx，Vy分别为视区x，y方向的大小，（Vx1，Vy1）为视区的左下角点。输出图形时，再将规格化设备坐标变换到设备坐标系的具体视区，设窗口中的变换到NDC中为，则：10/25/202317北京邮电大学自动化学院二维图形的显示流程图10/25/202318北京邮电大学自动化学院5.3变换的数学基础(1/4)矢量运算：和、点积、长度、叉积矢量矢量和

10/25/202319北京邮电大学自动化学院变换的数学基础(2/4)矢量的数乘

矢量的点积性质10/25/202320北京邮电大学自动化学院变换的数学基础(3/4)矢量的长度单位矢量矢量的夹角矢量的叉积10/25/202321北京邮电大学自动化学院变换的数学基础(4/4)矩阵阶矩阵Am×nn阶方阵An×n零矩阵的运算Am×n+0m×n=

Am×n行向量与列向量单位矩阵(Am×n·In=Am×n,In·Am×n=Am×n)矩阵的加法A+B矩阵的数乘KA矩阵的乘法A·B矩阵的转置A=(AT)T矩阵的逆A·A-1=A-1·A=I矩阵运算的基本性质10/25/202322北京邮电大学自动化学院5.3二维图形的几何变换5.3.1图形的变换方法为了便于实现图形的连续变换,一般采用矩阵变换的方法。二维空间点写成行矢量[x，y]。可用具有一定关系的点的集合来表示一个平面图形。写成矩阵形式10/25/202323北京邮电大学自动化学院矩阵变换实现对图形的变换如用表示经过某种变换后的新点其中T称为变换矩阵。10/25/202324北京邮电大学自动化学院5.3.2二维图形的基本变换变换矩阵中a,b,c,d

取不同的值可以实现不同的变换。10/25/202325北京邮电大学自动化学院1.比例变换时，等比例变换变换后的图形等比例放大或缩小。时，非等比例变换，变换后的图形产生畸变。以上讨论的比例变换是相对于坐标原点的。10/25/202326北京邮电大学自动化学院等比例变换以坐标原点为放缩参照点不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离10/25/202327北京邮电大学自动化学院非等比例变换10/25/202328北京邮电大学自动化学院2.对称变换对称变换也称反射变换。它的基本变换包括对坐标轴，原点和45º线的变换。10/25/202329北京邮电大学自动化学院对称变换的变换矩阵10/25/202330北京邮电大学自动化学院对x轴的对称变换10/25/202331北京邮电大学自动化学院对y轴对称变换10/25/202332北京邮电大学自动化学院对原点的对称变换10/25/202333北京邮电大学自动化学院对正45°线对称变换10/25/202334北京邮电大学自动化学院对负45°线对称变换10/25/202335北京邮电大学自动化学院3.错切变换错切变换也称为错移或错位变换。其变换矩阵常用的错切变换为单纯沿x或y方向错切。10/25/202336北京邮电大学自动化学院（1）沿x轴方向关于y错切当时，则即

10/25/202337北京邮电大学自动化学院沿x轴方向关于y的错切10/25/202338北京邮电大学自动化学院（2）沿y轴方向关于x的错切当时，则有即10/25/202339北京邮电大学自动化学院沿y轴方向关于x错切10/25/202340北京邮电大学自动化学院4.旋转变换旋转的基本变换是绕坐标原点旋转θ

角，其变换矩阵于是逆时针θ为正，顺时针θ为负。10/25/202341北京邮电大学自动化学院旋转变换10/25/202342北京邮电大学自动化学院5.平移变换与齐次坐标矩阵可以实现以上四种变换，但却无法实现平移变换10/25/202343北京邮电大学自动化学院为解决这个问题，将变换矩阵改成而把点的位置矢量扩展成这样就可以包括平移在内的各种变换了10/25/202344北京邮电大学自动化学院平移变换矩阵从而有10/25/202345北京邮电大学自动化学院齐次坐标： 为便于统一表示各种几何变换，将图形用齐次坐标表示，以方便地从一个坐标系变化到另一个坐标系，并表示特殊点(如无穷远点)齐次坐标：以n+1维向量表示一个n维向量在n维空间中点的位置向量用非齐次坐标表示时，具有n个坐标分量(p1,p2,……,pn)，且是唯一的。若用齐次坐标表示则为(hp1,hp2,……,hpn,h)，且不唯一。例如：若二维点(x,y)的齐次坐标表示为[hx,hy,h]，则[h1x,h1y,h1]，也是同一点的齐次坐标。同样：三维点的齐次坐标可表示为：[hx,hy,hz,h]5.3.3齐次坐标概念10/25/202346北京邮电大学自动化学院齐次坐标的概念这种用空间点（x，y，1）表示（x，y）或者一般地用n+1维矢量表示n维矢量的方法称为齐次坐标表示法。如令则（x，y）对应着（X，Y，H），称（X，Y，H）为（x，y）的齐次坐标，点的齐次坐标不是唯一的。当H=0时，（X，Y，0）表示一个无穷远点。10/25/202347北京邮电大学自动化学院齐次坐标的几何意义10/25/202348北京邮电大学自动化学院齐次坐标与二维变换的矩阵表示（1/4）为什么需要齐次坐标？多个变换作用于多个目标变换合成变换合成的问题引入齐次坐标

变换的表示法统一10/25/202349北京邮电大学自动化学院齐次坐标与二维变换的矩阵表示（2/4）齐次坐标定义(x,y)点对应的齐次坐标为(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线10/25/202350北京邮电大学自动化学院齐次坐标与二维变换的矩阵表示（3/4）标准齐次坐标(x,y,1)二维变换的矩阵表示平移变换旋转变换10/25/202351北京邮电大学自动化学院齐次坐标与二维变换的矩阵表示（4/4）放缩变换变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现10/25/202352北京邮电大学自动化学院5.3.4二维图形基本变换小结以上介绍的五种基本变换，再加上另外的透视变换和全比例变换都可以包含在矩阵中。根据不同的功能可分为四个子块。10/25/202353北京邮电大学自动化学院各子块的功能10/25/202354北京邮电大学自动化学院正常化处理在进行透视和全比例变换后，一般情况下H

1，这时需进行正常化处理。如透视当时，需进行正常化处理10/2