大学物理第4章刚体与转动

第四章刚体的转动4-1刚体的定轴转动刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动.刚体平动质点运动

平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动

.刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+图2图1一刚体转动的角速度和角加速度参考平面角坐标<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动角速度

方向:右手螺旋方向参考轴角加速度定轴转动的特点

刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.注：首先规定转轴的正方向1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.角坐标二匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比：三角量与线量的关系4-2力矩转动定律转动惯量P*O力对转轴的力矩一力矩O讨论

1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二转动定律2）刚体质量元受外力，内力

1）单个质点与转轴刚性连接外力矩内力矩O——牛顿定律刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.转动定律定义转动惯量O三转动惯量物理意义：转动惯性的量度.类似于质量质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量：质量元

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元质量连续分布刚体的转动惯量O´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元例1一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒ORO

例2一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环的转动惯量四

平行轴定理PORO转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO注意薄板正交轴定理练一练：利用此定理求出圆环和圆盘绕直径轴的转动惯量求下列物体的转动惯量LbRRbmm1m2rmaL均匀薄球壳绕直径的转动惯量练一练：求均匀球体绕直径的转动惯量

飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些更安全？质心平动刚体运动绕通过质心轴的转动由合外力决定（应用牛顿定律）由合外力矩决定（应用转动定律）例3：图示的装置叫做阿特伍德（Atwood）机，用一细绳跨过定滑轮，而在绳的两端各悬质量为m1和m2的物体，其中m1＞m2，求它们的加速度及绳两端的张力T1和T2．设绳不可伸长，质量可忽略，它与滑轮之间无相对滑动；滑轮的半径为R，质量m，且分布均匀。解：分别隔离m1，m2，和滑轮如图，对m1和m2，有对滑轮：约束条件：解方程得：讨论：例题4一轻绳绕过一定滑轮，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子的A端有一质量为M人抓住绳端，而在另一端B系着一个质量为M/2的重物．人从静止开始以v相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度?（滑轮对过滑轮中心且垂直与轮面的轴的转动惯量J=MR2/4）选重物为研究对象，地面为参考系选滑轮为研究对象，地面为参考系选人为研究对象，绳子为参考系对于由质点和刚体组成的系统，首先要明确，处理这类问题的基本方法是隔离体法。对质点分析受力和加速度，应用牛顿定律。对刚体要分析所受力矩和角加速度，应用转动定律。然后通过角量与线量的关系，把质点的加速度与刚体的角加速度联系起来。注意：有质量的滑轮二边的绳的张力一定不等，滑轮才会在合力距的作用下转动。

例5：图示为测量刚体转动惯量的装置，待测的物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为R的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为m的物体,细线与转轴垂直。从实验测得m自静止下落高度h的时间为t,求待测刚体对转轴的转动惯量。忽略各轴承的摩擦，忽略滑轮和细线的质量，细线不可伸长，预先测定转动架对转轴的转动惯量为I。解：对m:对转动架：约束条件：解上述联立方程得：想一想：你能设计出其它方法来测量刚体的转动惯量吗？刚体的平面平行运动平面平行运动：刚体内所有的运动点都平行于某一平面平面平行运动可分解为质心的运动和绕质心的转动例6：一质量为m半径为R的均匀圆柱体，沿倾角为的粗糙斜面自静止无滑下滚，求滚动摩擦力、质心加速度，以及保证圆柱体作无滑滚动所需最小摩擦系数。解：质心运动定理绕质心转动定理：无滑动意味着约束条件为：解联立方程得：无滑滚动条件：例7：将一根质量为m的长杆用绳从两端水平地挂起来，其中一根绳子突然断了，另一根绳子内的张力是多少？解：绳断的瞬间：而约束关系：解联立方程：例8：以水平力f打击悬挂在P点的刚体，打击点为O，若打击点选择合适，则打击过程中轴对刚体的切向力Ft为0，该点称为打击中心，求打击中心到轴的距离r0解：刚体所受力矩：设刚体转动惯量为：其中称回转半径质心运动定理：转动定理：约束条件：解联立方程，消去练一练：上述结果适用于各种刚体，试就细棒求出r0(r0=2l/3)试一试：分析棒球手击球时，若击球点位于不同位置时，手的受力情况

例9一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解

细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得例10转动着的飞轮的转动惯量为，在时角加速度为，此后飞轮经历制动过程，阻力矩的大小与角速度的平方成正比，比例系数为（为大于零的常数).当时，飞轮的角加速度为，所经历的时间为例11、一个质量均匀分布的圆盘放在水平桌面上，与桌面间的摩擦系数为，总质量为，半径为。开始时角速度为，求：摩擦力矩为？角加速度为？经过多长时间停止运动？4-3角动量角动量守恒定律力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理.一质点的角动量定理和角动量守恒定律

质点运动状态的描述力的时间累积效应冲量、动量、动量定理.刚体定轴转动运动状态的描述无法区分匀速转动的圆盘和静止的圆盘的动量,因此动量对于描述刚体转动问题不是一个好的物理量.1.质点的角动量质点以角速度作半径为

的圆运动，相对圆心的角动量大小的方向符合右手法则.作用于质点的合力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.2.质点的角动量定理

质点所受对参考点O的合力矩为零（何时为零）时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.

恒矢量

冲量矩质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.3.质点的角动量守恒定律例题人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球中心为椭圆的一个焦点，已知地球平均半径R=6378km，近地距离l1=439km,A1点速度v1=8.10km,远地距离l2=2384km,求A2点的速度v2=?解：卫星在运行时只受地球对它的引力，方向始终指向地心o,这种力称为有心力，对于O点，力矩为零，,故角动量守恒。卫星在近地点A1的角动量：卫星在远地点A2的角动量:因角动量守恒，所以：于是：Kepler’sLaws:1.TheorbitofeachplanetabouttheSunisanellipsewiththeSunatonefocus(thelawoforbit);2.ThelinejoininganyplanetandtheSunsweepsoutequalareasinequaltimes(thelawofareas);例题:开普勒1,2定律万有引力为有心力,故:M=0.证明：行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1.刚体定轴转动的角动量2.刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理O不变

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.3刚体定轴转动的角动量守