三角函数的图像及其性质1讲义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第第页课题：三角函数的图像及其性质1知识点一：三角函数性质1．三角函数的定义域与值域：函数性质定义域RR图像值域R（1）定义域：,的定义域为,的定义域为．（2）值域：,的值域为,的值域为．（3）最值：：当时，；当时，．：当时，；当时，．：既无最大值，也无最小值.2．三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是；的递增区间是.（2）复合函数的单调性：设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表增增增增减减减增减减减增要点诠释1．三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法：（1）利用sinx和cosx的值域直接求；（2）把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；（3）把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域；（4）利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．典例强化例1．函数f(x)=cos(x+)的单调递减区间是________________________________________________．例2．函数的定义域是（）A．B．C．D．例3．函数为增函数的区间是（） 举一反三1函数的定义域是____________________________________．2．函数在区间上的是最大值，最小值分别为.知识点二：三角函数对称性、奇偶性、周期性1．三角函数的对称性（1）对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对称中心为．（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．（3）相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2),函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．2．三角函数的奇偶性：（1）函数的奇偶性的定义；对定义域内任意，如果有SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"=SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"，则函数是偶函数，如果有SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"=-SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数（2）奇偶函数的性质：①定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；②为偶函数．③若奇函数的定义域包含，则．④为奇函数，为偶函数，为奇函数．3．三角函数的周期性（1）周期函数的定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期．（2）最小正周期：对于一个周期函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期．（3）,周期为,周期为．要点诠释1．一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"；最后比较SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"和SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"的关系，如果有SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"=SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"，则函数是偶函数，如果有SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"=-SKIPIF1<0\o"中国教育出版网"，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。2．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：（1）若为偶函数，则有;若为奇函数则有；（2）若为偶函数，则有;若为奇函数则有；（3）若为奇函数则有．典例强化例1．已知函数()的最小正周期为，则该函数的图象()A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点对称例2．函数是偶函数的充要条件是（）A．B．C．D．例3．设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则（）A．， B．， C．， D．，举一反三1．已知函数，则下列说法正确的是（）A．在定义域内是增函数B．的对称中心是（）C．是奇函数D．的对称轴是（）2．下列坐标所表示的点不是函数的图象的对称中心的是（）A．B．C．D．3．下列对于函数的判断正确的是（）A．函数的周期为B．对于所有函数都不可能为偶函数C．存在x0，当，使D．函数在区间内单调递增随堂基础巩固1．设函数的图象关于直线对称,它的最小正周期为，则（）A．的图象过点B．在上是减函数 C．的一个对称中心是D．的一个对称中心是2．已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．3．已知函数是定义在上的偶函数，则QUOTE的最小正周期是（）A．6πB．5πC．4πD．2π4．函数的图象大致为（）5．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．6．若函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的单调递增区间是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．课时跟踪训练1．函数的图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减函数的是（）A．B．C．D．3．已知函数它们的图象有一个横坐标为的交点,则（）A．B．C．D．4．已知的图象的一部分如图所示，若对任意都有，则的最小值为（）A．B．C．D．5．已知，则下列结论中正确的是（）A．函数的周期为B．函数的最大值为C．将的图象向左平移个单位后得到的图像D．的一个对称中心是6．设函数的最小正周期为，且，则（）

A．在单调递减B．在单调递减

C．在单调递增D．在单调递增7．设函数的图象关于直线对称,它的最小正周期为，则（）A．的图象过点B．在上是减函数C．的一个对称中心是D．的一个对称