江苏省淮安市五校联盟2023-2024学年高三上学期10月学情调查测试数学试题

第1页/共1页2024届高三五校联盟10月学情调查测试数学试题试卷满分：150分考试时长：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知，命题，命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（）A. B. C.1 D.5.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.6.已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（）A B.C. D.7.已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.98.已知，则的值为（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知为等比数列，是其前项和.若与等差中项为20，则（）A. B.公比C. D.10.已知正数满足，则（）A.的最大值为 B.的最小值为9C.的最小值为 D.的最小值为11.已知函数，则（）A.的图象关于原点中心对称B.在区间上的最小值为C.过点有且仅有1条直线与曲线相切D.若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是12.已知函数，则（）A.是方程两个不等实根，且最小值为，则B.若在上有且仅有4个零点，则C.若在上单调递增，则在上的零点最多有3个D.若的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，若，则三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.数列满足，则__________.14.已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.15.在中，角对边分别为为边中点，若，则面积的最大值为__________.16.已知函数，若恒成立，则满足条件的所有整数的取值集合为__________.（参考数据：）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数，且的最大值为3，最小正周期为.（1）求的解析式；（2）求在上的值域，并指出取得最大值时自变量的值.18.已知是等差数列前项和，且.（1）求数列的通项公式与前项和；（2）若，求数列的前项和.19.已知函数.（1）若在处取得极值，求的极值；（2）若在上的最小值为，求的取值范围.20.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：数列的前项和.21.中，角的对边为.（1）求角的大小；（2）若内切圆的半径，求的面积.22.已知函数.（1）若函数在点处的切线与函数的图象有公共点，求实数的取值范围；（2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围.

2024届高三五校联盟10月学情调查测试数学试题试卷满分：150分考试时长：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由交集运算求解.【详解】由可得又，所以，故选：A2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由，故选：D3.已知，命题，命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，利用集合间的关系即可求解.【详解】为真命题，则，故，由于，所以是的必要不充分条件，故选：B4.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可.【详解】数列前六项分别为，依题知，叠加可得：，得，当时，，满足，所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立，又，所以等号取不了，所以最小值在取得，当时，，所以最小值为.故选：C5.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由于，所以，，故选：D6.已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可列不等式求解.【详解】由于的定义域为，关于原点对称，且故为偶函数，而当为单调递增函数，故当，单调递减，由可得，平方得，解得或，故的取值范围是，故选：C7.已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求解.【详解】由于所以，要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个，故选：B8.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数和指数的互化关系可得均满足方程，进而根据一元二次方程的解，即可结合的单调性求解.【详解】令，则，由可得，进而可得故，同理可得，令或，故均为方程的实数根，故，，由于函数为单调递增函数，所以，，故选:B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知为等比数列，是其前项和.若与的等差中项为20，则（）A. B.公比C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比和首项，进而由求和公式以及通项公式即可求解.【详解】由得，又与的等差中项为20，则，所以公比为，故，故，故ACD正确，B错误，故选:ACD10.已知正数满足，则（）A.的最大值为 B.的最小值为9C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】运用基本不等式逐一判断即可.【详解】A：因为是正数，所以，当且仅当时取等号，即当时，有最大值为，因此本选项不正确；B：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当取等号，故本选项正确；C：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当时，有最小值，因此本选项不正确；D：因为是正数，，所以，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为因此本选项正确，故选：BD11.已知函数，则（）A.的图象关于原点中心对称B.在区间上的最小值为C.过点有且仅有1条直线与曲线相切D.若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判断A，求导得函数的单调性，即可求解函数的最值，进而判断B，求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断DC.【详解】的定义域为，且，所以为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确，，令得或，故在单调递增，在单调递减，故在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，又，最小值为，故B错误，设切点为，则切点处切线方程为，若切线经过，则将代入可得，所以或，故经过会有两条切线，C错误，若切线经过，则将代入得，令，则当因此在单调递增，在和单调递减，作出的图象如下：，要使过点存在3条直线与曲线相切，则直线过点与的图象有三个不同的交点，故，D正确，故选：AD12.已知函数，则（）A.是方程的两个不等实根，且最小值为，则B.若在上有且仅有4个零点，则C.若在上单调递增，则在上的零点最多有3个D.若的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦函数性质和周期公式可判断A；函数由小到大的第4个零点在区间内，第5个零点大于求解可判断B；根据单调性和第3个零点在区间内分别求出范围即可判断C；数形结合可得，然后可得，即可求出m，可判断D.【详解】A选项：由题可知，所以，A正确；B选项：若，令得，即，所以，函数由小到大的第4个零点为，第5个零点为，由题知，，解得，B正确；C选项：由得，因为在上单调递增，所以，解得，若在上有3个零点，则，解得，因，所以C错误；D选项：由图可知，，又，所以，即，因为，所以，所以，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.数列满足，则__________.【答案】##【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由题设，所以是周期为3的数列，则.故答案为：14.已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.【详解】由得，由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为，若在区间上单调递增，则，解得，故答案：15.在中，角的对边分别为为边中点，若，则面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据向量模长公式即可，结合基本不等式即可求解，进而根据三角函数的单调性，结合面积公式即可求解.【详解】由于为边中点,所以,平方,因此,由于，所以，当且仅当时等号成立，故，由于在单调递减，故当时，最小，且为钝角，,由于在单调递增，故当取最小值时，此时面积最大，故当时，此时最小，进而最小，故面积最大，由可得，故面积的最大值为，故答案为：16.已知函数，若恒成立，则满足条件的所有整数的取值集合为__________.（参考数据：）【答案】【解析】【分析】对函数求导，讨论、研究单调性，转化为极小值恒成立，构造中间函数研究使对应a的区间，即得答案.【详解】由题意且，当时，即在上递减，又，所以，定义域内存在，不符合题意；当时，时，递减；时，递增；所以，要使恒成立，只需，令且，则，所以，时，递增；时，递减；由，所以在各有一个零点，且取两个零点之间的值（含零点）时，故整数时恒成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用导数研究单调性，特殊值判断是否能使恒成立，对于求的极小值，构造中间函数研究极小值恒大于等于0的情况.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数，且的最大值为3，最小正周期为.（1）求的解析式；（2）求在上的值域，并指出取得最大值时自变量的值.【答案】（1）（2）值域为，取最大值时自变量值为【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简，即可由周期公式求解，根据最值可得，（2）由得，即可结合三角函数的性质求解.【小问1详解】，所以的最小正周期，则；且的最大值，则.所以.【小问2详解】因为，所以，则，则，所以的值域为.当取得最大值时，，所以自变量的值为.18.已知是等差数列的前项和，且.（1）求数列通项公式与前项和；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解，（2）根据当时，，；当时，，，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，解得.所以数列的通项公式为，数列的前项和.【小问2详解】由得，所以当时，，；由得，所以当时，，.所以，当时，；当时，.所以，.19.已知函数.（1）若在处取得极值，求的极值；（2）若在上的最小值为，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为（2）【解析】【分析】（1）根据极值点可得，进而可得，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值，（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.【小问1详解】，，.因为在处取得极值，所以，则.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗极大值↘极小值↗所以的极大值为，极小值为.【小问2详解】.①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；②当时，令，则或，所以上单调递减，在上单调递增，此时，的最小值为，不满足题意；③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.综上可知，实数的取值范围时.20.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：数列的前项和.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据的关系可得，进而可得为等比数列，即可求解，（2）利用放缩法，结合等比数列求和公式即可求证.【小问1详解】因为，所以①当时，，所以；当时，②①-②得，即，则，所以数列构成以为首项，3为公比的等比数列，则，所以.【小问2详解】因为，所以，所以.21.中，角的对边为.（1）求角的大小；（2）若内切圆的半径，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的角边化及降幂公式，结合余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得，因为，所以，则，即，由余弦定理得，又，所以.【小问2详解】由（1）知，因为，所以（*）.又的面积，即，则，代入（*）式得，即，所以，则，所以的面积.22.已知函数.（1）若函数在点处的切线与函数的图象有公共点，求实数的取值范围；（2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分