理学工程力学学习资料动能定理

§21-3

动能定理

一．质点的动能定理：质点在运动的过程中，其动能改变量等于作用在质点上的力在此过程中所作的功。——

积分形式§21-3

动能定理

质点动能的增量等于作用在质点上力的元功——微分形式二．质点系的动能定理

设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi，速度为vi，根据质点的动能定理的微分形式，有§21-3

动能定理

质点系在某一段运动过程中，其动能改变量等于作用在质系上的所有力在运动过程中所作功的和

——积分形式

质点系动能的增量等于作用在质点系上所有力的元功之和——微分形式§21-3

动能定理

三.理想约束及内力作功（2）可动铰支座、固定铰支座（1）光滑固定面约束1、理想约束：FN其约束力作元功为零的约束。§21-3

动能定理

（3)中间铰链（4)柔索约束（不可伸长的绳索）

FT§21-3

动能定理

FNFS（5)纯滚动纯滚动的接触点为理想约束§21-3

动能定理

OxyzABrArBdrBAFF′

一般情况下，内力作功之和不为零。2、内力做功刚体：，内力作功之和为零。§21-3

动能定理

例题：均质圆盘A：m，r,滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角

，摩擦系数f，圆盘A作纯滚动，系统初始静止。求：当圆盘A沿斜面下滑距离S时，滑块B的加速度。解：选系统为研究对象运动学关系：圆盘A作平面运动滑块B作平移圆盘A作纯滚动由动能定理：对ｔ求导，得例题:均质圆柱质量为m,半径为r，绳绕在圆柱体上，固定于A点，若圆柱体与斜面的摩擦系数,求质心C沿斜面下落的加速度。θCABSθCAB解：选圆柱体为研究对象圆柱体作平面运动wD为圆柱体的速度瞬心SθCABw将上式两端对时间求一阶导数得到：

例题:长同为l

的两根均质杆用铰链B相连，C端沿光滑铅直墙壁下滑，当AB由水平位置到达铅直位置时，BC到达水平位置，求该瞬时C点的速度，系统初始静止。BCBACBCBACvBvCBC杆速度瞬心为B点，即则AB杆瞬时静止，解：取整个系统为研究对象AB杆作定轴转动BC作平面运动BCBACvBvC由得例：在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常力F，开始时系统静止，如图。求连杆OA运动到水平位置时的角速度。设连杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。OaAFBwvB解：以系统为研究对象,受力如图OaAFBwOA杆定轴转动，AB、圆盘B平面运动运动学关系：OA运动到水平位置时：vBvA在运动过程中所有的力所作的功为解得由得wvBOaAFB作业：21－11，15，16质点系动量定理的投影形式质点系动量定理质心运动定理

动力学普遍定理综合应用质点系动量矩定理定轴转动微分方程刚体的平面运动微分方程质点系动量矩定理投影式质点系的动能定理：——微分形式

——积分形式

动量定理和动量矩定理是矢量形式，因质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，应用时只需考虑质点系所受的外力；动能定理是标量形式，在很多问题中约束力不作功，因而应用它分析系统速度变化是比较方便的。

下面就只用一个定理就能求解的题目，如何选择定理，说明如下：

(1)与路程有关的问题用动能定理，与时间有关的问题用动量定理或动量矩定理。

(2)已知主动力求质点系的运动用动能定理，已知质点系的运动求约束力用动量定理或质心运动定理或动量矩定理。

(3)如果问题是要求加速度或角加速度，可用动能定理求出速度(或角速度)，然后再对时间求导，求出加速度(或角加速度)。也可用动量定理或动量矩定理求解。在用动能定理，不作功的未知力在方程中不出现，给问题的求解带来很大的方便。(4)

对于定轴转动问题，可用定轴转动的微分方程求解。对于刚体的平面运动问题，可用平面运动微分方程求解。

例题:如图均质杆质量为m，长为l，可绕距端点l/3的转轴O转动，求杆由水平位置静止开始转动到任一位置时的角速度、角加速度以及O处的约束力。jCOmgw转动到任一位置时的动能为在此过程中所有的力所作的功为解法1：用动能定理求运动FOyFOx以杆为研究对象。作定轴转动jCOmgw

将前式两边对时间求导，得jCOmgw由得解法2：用微分方程求运动COmg由定轴转动微分方程即所以即所以FOyFOxa由质心运动定理

求约束力jCOwaaCxaCyatCanCCOmgFOyFOxxyCOmgxyaCxaCyFOyFOx得：解得：

例均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时质心C的速度和杆的角速度以及地面约束力。ACqw

解：以杆为研究对象，作平面运动受力如图杆任意时刻的动能为PACqwvCvAACqwmgFNA由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，水平方向质心运动守恒，倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置(与水平方向夹角为q)时的角速度为xy

此过程只有重力作功当q＝0°时解出PACqwvCvA